等比數列背景下的一類不定方程問題

江蘇省海門中學 (226100) 張慶秋

等比數列背景下的一類不定方程問題

江蘇省海門中學 (226100) 張慶秋

數列中的不定方程問題，是近年來高考的一個熱門問題，其類型及處理方法也是多種多樣，如利用整除性、奇數與偶數、整數與小數、范圍等等．本文就等比數列背景下的一類問題，談談其基本的處理方法．

問題1 已知等比數列{an}的通項公式為an=2n，試問：數列{an}中是否存在不同的三項使其成等差數列？若存在，請求出該項；若不存在，請說明理由．

解：假設存在不同三項ar,as,at(其中r

又r-s<0,t-s>0，且r-s∈Z,t-s∈Z，易知(*)式左邊是整數，右邊不是整數，故(*)式不成立，與假設矛盾．

因此，數列{an}中不存在不同的三項使其成等差數列．

又r-s<0,t-s>0，且r-s∈Z,t-s∈Z，易知(*)式左邊是整數，右邊不是整數，故(*)式不成立，與假設矛盾．

因此，數列{an}中不存在不同的三項使其成等差數列．

因此，數列{an}中不存在不同的三項使其成等差數列．

注意到以上三個不定方程的處理，均利用了在其等式兩邊同時乘以或者除以與公比相關的一個數，達到整數與小數不相等的效果(也可以通過適當調整結合整數的整除性)，從而產生矛盾．事實上，對于任意公比為有理數(不為±1)的等比數列，均不存在不同的三項使其成等差數列．

又r-s<0,t-s>0，且r-s∈Z,t-s∈Z，易知(*)式左邊是整數，右邊不是整數，故(*)式不成立，與假設矛盾．

因此，數列{an}中不存在不同的三項使其成等差數列．

利用上述結論能夠很快解決一些以其為背景的問題，如：

分析：數列{an}中的奇數項為奇數，偶數項為偶數，故最終形成的等差數列必為{an}中的奇數項和偶數項交叉排列而成．

由問題1及其變式1、2的結論可知，偶數項至多兩項(否則將這些偶數項取出，亦成等差數列，矛盾)，從而奇數項至多三項．

因此數列{an}中最多能找到不同的五項，按照某種順序排列使其成等差數列，如1，2，3，4，5．

除了直接運用上述結論之外，其蘊含的處理方法在一些以等比數列為背景的不定方程問題中同樣有著廣泛的應用，如：

問題3 已知等比數列{an}的通項公式為an=2n，試問數列{an}中是否存在某一項，它可以表示為該數列中其它r(r∈N,r≥2)項的和？若存在，請求出該項；若不存在，請說明理由．

解法1：假設存在as，使得as=at1+at2+…+atr(其中t1

又s-t2>0,t1-t2<0,t2-t2=0,…,tr-t2>0，且s-t2,t1-t2,t2-t2,…,tr-t2∈Z，易知(*)式左邊是整數，右邊不是整數，故(*)式不成立，與假設矛盾．

因此，數列{an}中不存在某一項，它可以表示為該數列中其它r(r∈N,r≥2)項的和．

解法2：假設存在as，使得as=at1+at2+…+atr，(其中t1

因此，數列{an}中不存在某一項，它可以表示為該數列中其它r(r∈N,r≥2)項的和．