將幾何直觀融入高中代數學習

四川師范大學數學與軟件科學學院(610068) 李遠翠

將幾何直觀融入高中代數學習

四川師范大學數學與軟件科學學院(610068) 李遠翠

幾何直觀,顧名思義有兩層含義,一是幾何,即幾何圖形圖像等,二是“直觀”,借助幾何圖形的直觀性來思考問題.具體而言,幾何直觀是指借助于見到的(或想象出的)幾何圖形的形象關系,對數學對象的空間形式和數量關系進行直接感知和整體把握的能力[1].2003年頒布的《普通高中數學課程標準(實驗)》中明確提出“高中階段的數學教學應加強幾何直觀教學,重視幾何圖形在數學學習中的作用,鼓勵學生借助直觀來思考”.[3]

其實,幾何直觀不僅在圖形與幾何學習中發揮重要作用,同時也廣泛運用于代數問題的解決.高中數學中,圓錐曲線的概念理解,函數的性質探索,線性規劃問題與函數綜合問題等的處理,都可以借助幾何直觀來思考.將幾何直觀融入代數學習,將抽象的代數符號與形象的圖形語言相聯系,為直觀地理解概念、探索性質定理、簡化并解決問題提供了新的視角.那么,將幾何直觀融入代數學習究竟“妙”在哪兒?

一、直觀理解記憶數學公式定理

高中數學中,借助幾何直觀能將抽象的數學概念用圖形語言生動形象的刻畫出來,有助于概念的理解;借助幾何直觀將錯綜復雜的性質定理、關系網絡用圖形符號直觀簡潔的描繪出來,為公式定律的理解記憶提供了新的思路.

例如,導數的學習中,幾乎所有學生都能掌握函數求導,卻極少學生能理解導數的意義.借助函數圖像的直觀性,從特殊函數圖像上任意兩點所在直線斜率入手,將兩點一步步靠近,用極限的思想過渡到過某一點的切線斜率.這樣一個具體的函數圖像,直觀地運動過程能幫助學生理解導數幾何意義,也為導數性質的探索奠定了理論基礎.又如,二次函數的性質、一元二次方程的根、一元二次不等式的求解,由于涉及系數a、b、c的分類討論,給學生的記憶與理解帶來了許多障礙.其實,只需借助幾何直觀理解“三個二次”的關系,結合二次函數的圖像,能夠輕松的“看出”問題的答案.

二、探索發現數學性質定理

著名數學家徐利治曾說過“由類比、聯想引發的直觀與猜想,是發現新成果的重要源泉”.在數學學習中,利用直觀的圖形圖像生動形象的反映、描繪與刻畫研究對象的數量關系,通過觀察“猜想”數學結論,也是探索性質定理的重要途徑.

例如,函數的單調性學習,我們從一些特殊的函數圖像入手,通過觀察圖像的“上升”與“下降”,體會自變量與因變量變化規律,能夠形象直觀地理解函數的單調性及其幾何意義.又如,等差數列的求和公式的探究,教材從具體情景入手,讓學生計算泰妃陵中三角形圖案中寶石的數量.由于三角形圖案及其面積公式推導,學生可能會產生將三角形倒過來拼接的想法.通過觀察他們能夠發現拼成圖形中每一排的寶石數量相同,而等差數列也滿足與首末兩項等距離的兩項之和相等,類比這種倒過來拼接的想法,產生利用倒序相加求等差數列求和也就順理成章了.

三、簡化處理復雜代數問題

作圖是建立直觀與想象的思維支柱,根據問題情境或符號語言的描述,想象并作出圖形.借助圖形圖示將抽象的數量關系形象直觀地表示出來,簡化并解決問題問題,是解決復雜代數問題的新視角[3].下面,我們一起來看看幾何直觀在具體代數問題中的運用.

類型一:利用圖示直觀表示集合問題

集合是現代數學的基本語言,能直觀簡潔的表達數學對象間的相互關聯,Venn圖、數軸更是刻畫集合關系最直觀的語言.在解決某些復雜的集合并與交的問題時,圖解法很好地顯示出了它的優越性.

例1: 某班有36名同學參加數學、物理、化學課外探究小組,每名同學至少參加一個小組且至多參加兩個小組,已知參加數學、物理、化學小組的人數分別為26、15、13,同時參加數學和物理小組的有6人,同時參加物理和化學小組的有4人,請問同時參加數學和化學小組的有多少人?

解: 如圖1所示,設同時參加數學與化學小組的有 x人,則只參加數學、物理、化學小組的分別有20-x、5、9-x人.又∵該班共有學生36人,所以26+5+9-x+4=36.∴同時參加數學和化學小組的有8人.

圖1

【點評】這是集合中常見的元素個數問題,可以利用Card(A∪B∪C)的計算公式從純代數角度解決.然而,這樣解決辦法學生只需要記住公式,解題過程就是公式的直接套用與計算,很難體現集合運算的本質.借助Venn圖直觀地表示幾何間的關系,通過具體的圖像能讓學生真正體會三個小組成員間的相互關聯.

類型二:構造圖形直觀巧解不等式問題

不等式,是高中數學的重要內容,涉及基本不等式、一元二次不等式、線性規劃問題等.幾何直觀被廣泛運用于不等式問題,不僅體現在借助圖示直觀地處理線性規劃問題,依據函數圖像解一元二次不等式,還包括構造圖形證明特殊不等式、借助圖像解含參不等式等.

證明: 如圖2,在平面上任取一點O,構造線段OA、OB、OC,使得OA=a, OB=b,OC=c,且∠AOB=∠AOC=∠BOC=120°,連接AB、AC、BC則構成△ABC.

圖2

【點評】本題通過構造三角形,利用余弦定理巧妙地將含根號的復雜代數式轉換為三角形的三邊,再利用三角形兩邊之和大于第三邊這一基本事實,實現不等式的證明.與常規的代數證明方法相比,幾何直觀沒有了復雜的平方計算、繁瑣的代數表示,證明過程更加簡潔、思路更加清晰.

類型三:借助圖像直觀處理圖像交點問題

函數,是描述客觀事物變化規律的重要數學模型.函數性質與求導、函數恒成立問題等已成為近年來高考的熱點.數形結合作為研究函數性質的重要手段,用函數圖像形象地刻畫函數變化規律,有助于直觀把握函數單調性、最值、圖像交點等性質,探索解決問題的思路.

例3: 已知函數 f(x)= |x-2|+1,g(x)= kx,若f(x)= g(x)有兩個不相等的實根,求實數k的取值范圍.

解: 已知f(x)=

圖3

作函數f(x)的圖像如圖2,其中A(2,1);f(x)=g(x)有兩個不相等的根 ?? 函數f(x)與g(x)的圖像有兩個的交點.由圖可知,當且僅當直線g(x)=kx的圖像介于直線l1與l2之間,函數f(x)與g(x)的圖像有兩個交點.又∵直線l1的斜率直線l2的斜率k2=1,∴實數k的取值范圍為

【點評】本題考察了分段函數、直線與方程等知識點.借助f(x)與g(x)的函數圖像,將代數方程f(x)=g(x)的求解,轉化為函數圖像的交點問題;通過對圖像的操作與觀察,直接“看”出函數圖像什么時候有交點,有幾個交點.與常規的直接解方程相比,圖像法求交點,免去了繁瑣的參數討論和復雜的計算過程,顯得更加直觀與簡單.圖像表示法,不僅適用于函數圖像的交點問題,也廣泛運用于函數的恒成立、方程解的個數等問題上.

類型四:借助圖形巧解特殊函數最值問題

函數最值是函數的重要性質,貫穿整個高中數學學習.除了常規的換元法、求導法等,構圖法也是處理特殊函數最值的重要手段.尤其對形如y=|x-的絕對值不等式與形如的根式不等式構圖法顯得更具優越性.

圖4

【點評】本題考察了直線與圓的位置關系,最短距離問題等,難點在于構造圖形將代數問題幾何化.但如果學生能抓住函數帶根號的特殊形式聯想到兩點間的距離公式,借助圖形與坐標來直觀表征代數式,那么這樣一個復雜函數的值域問題就可以通過直觀地圖形探索與操作來解決,求解過程顯得更加直觀簡潔.

其實,高中數學中幾何直觀的運用遠遠不止這些,我們只是希望以具體的教學實例來思考幾何直觀在高中代數學習中的運用.期待你對于高中數學中幾何直觀運用的進一步探索,也希望幾何直觀能真正運用于數學教學與問題解決中.

[1]孔凡哲,史寧中.關于幾何直觀的含義與表現形式——對《義務教育數學課程標準(2011年)版》的一點認識[J].課程·教材·教法, 2012(07): 92-97.

[2]中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準(實驗)[M],北京: 人民教育出版社.2003.

[3]顧泠沅.作為教育任務的數學思想方法[M],上海: 上海教育出版社. 2009.