方程思想在勾股定理中的運用

廣東省江門市實驗中學(529000) 陳銘波

方程思想在勾股定理中的運用

廣東省江門市實驗中學(529000) 陳銘波

一、利用勾股定理解決折疊問題

勾股定理揭示了直角三角形三邊之間的關系,體現了數學形結合的思想.在折疊問題中勾股定理有著非常廣泛的應用.在這類問題中常通過折疊的條件得出相等的線段,再通過勾股定理直接求出未知線段或通過勾股定理列出方程求出未知線段.

例1.如圖,把長方形紙片ABCD折疊,B、C兩點恰好重合,落在AD邊上的點P處,已知∠MPN=90°,長方體的長AD=12cm,MN=5cm,求長方形的寬.

圖1

分析: 由題意可知PM=BM,PN=CN,則PM+PN=BM+CN=BC-MN=12-5=7cm,設PM=xcm,則PN=(7-x)cm,又∠MPN=90°,在Rt△PMN中利用勾股定理可以求出PM、PN的長,然后通過面積法求出MN邊上的高即長方形的寬.

解: 設PM=x cm,則PN=12-5-x= (7-x)cm.在Rt△PMN中,由PM2+PN2=MN2得x2+(7-x)2=52,化簡得到x2-7x2+12=0,即(x-3)(x-4)=0,即x=3或x=4.過點P作PE⊥MN于點E,由得

在解題的過程中,部分學生一開始就想通過構造三角形直接求出三角形的寬而沒有想到通過面積法來求Rt△PMN的高PE來求出長方形的寬,從而導致了思維局限在一個方向上.也有一部分學生在列出方程算出PM有兩個值時就產生的疑惑,其實我們的目的是求出Rt△PMN的面積,通過面積法就可求出高PE出現兩個值對面積大小沒有影響.

例2. 已知矩形ABCD,其中AB=8cm,BC=10cm,折疊矩形ABCD的一邊AD,點D落在BC邊上的點F處,求: (1)CF的長;(2)EC的長.

圖2

分析: 由題意可知AF=

解: (1)依題意得: △ABF～=△AEF AF=AD= 10,DE=EF在Rt△ABF中,由勾股定理得BF=10-6=4cm(2)設EC=x,則EF=8-x在△ECF中,由勾股定理得CF2+EC2=EF242+x2=(8-x)2解得: x=3∴EC=3cm在求出CF的長之后,也有一部分的學生設EF=ED=x,則EC=(8-x)cm,也可以求出EC的長.

二、利用勾股定理解決實際問題

例3.現在要組建一個課外調查小組,假設你就是其中的一員,現在要測量學校旗桿的高度,測量發現旗桿頂端的繩子垂到地面還多1米,當把繩子的下端拉開5米后,發現下端剛好接觸地面,你能算出來旗桿的高度嗎?

圖3

分析:

1.根據實際情況,構造了直角三角形;

2.找出直角三角形中已知的邊和要求的邊;

(2) 兩種方法都能夠確定轉子所在的60°電角度位置區域,通過定位力矩與轉子位置的關系能夠準確找到轉子的位置;

3.分析直角三角形三邊分別存在在什么關系(運用方程思想);

4.根據三邊關系列出方程.

解: 設旗桿的高度為x米,則繩子的長度為(x+1)米.如圖,AC=x,AB=x+1在Rt△ABC中,由勾股定理得AC2+BC2=AB2x2+52=(x+1)2

解得: x=12∴AC=12答: 旗桿的高度為12米.

在實際教學中,學生遇到的問題就是無法根據數學問題建立數學模型;建立數學模型之后也有部分學生設繩子的長度為x米,則旗桿的高度為(x-1)米,同樣可求出旗桿的高度.

例4. 在我國古代數學著作《九章算術》中記載了一道有趣的問題,這個問題的意思是: 有一個水池,水面是一個邊長為10尺的正方形,在水池的中央有一根新生的蘆葦,它高出水面1尺,如果把這根蘆葦垂直拉向池邊的頂端恰好到達池邊的水面,請問這個水池的深度和這根蘆葦的長度各是多少?

圖4

解: 設這個水池的深度為x米,則這根蘆葦的長度是(x+1)米.如圖,BC=x,AB=x+1,AC=10÷2=5在Rt△ABC中,由勾股定理得AC2+BC2=AB2,x2+52= (x+1)2解得: x=12∴BC=12,AB=12+1=13.

答: 這個水池的深度是12米,這根蘆葦的長度是13米.

在解題的過程中,有部分學生不能準確讀懂題意,“水面是一個邊長為10尺的正方形”學生理解為水池的橫截面是正方形,導致解題出錯.

三、以勾股定理為橋梁,求三角形面積或周長

例5. 如圖,△ABC,AB=15 cm,AC=20 cm, BC=25 cm．求△ABC的面積．

圖5

分析: 求△ABC的面積先要作出高AD,設BD=x,則CD=(25-x),在Rt△ABD和Rt△ACD中,根據勾股定理分別把AD表示出來,由相等關系列出方程,即可求出高AD,再求△ABC面積.

解: 過點A作AD⊥BC設BD=x,則CD=(25-x),在Rt△ABD中,由勾股定理得CD2=AB2-BD2= 152-x2=25-x2在Rt△ACD中,由勾股定理得CD2=AC2-CD2=202-(25-x)2=50x-x2-225∴225-x2=50x-x2-225解得: x=9 S△ABC=

例6. 在Rt△ABC中,∠C=90°,周長為60,斜邊與一條直角邊之比為則這個三角形三邊長分別___._

解: 設這條斜邊與直角邊分別為13x,5x則另一條直角邊=周長=13x+5x+12x=60∴x=2三邊長分別是10,24,26.

由以上三種類型題目可知,直角三角形中應用方程思想,主要用于以下兩個方面:

(1)一個直角三角形中,已知一條邊的長,還知道另兩條邊的關系,(如: 之和,之差,之比等)求另兩條邊或周長面積.

(2)一個直角三角形,一條邊長也沒有告訴,但知道三邊的關系(和,差,比等),求邊長、周長、面積或者比值.

解答方法很類似,只要設其中一條邊為x,就可以得出其余邊長的代數式,然后用勾股定理,或者周長面積公式列出方程.

[1]王春才.張維新.三點一測.[Z].科學出版社,2009-9-1.

[2]謝鼓平.初中教案優化設計.[Z].新疆青少年出版社,2012-6.

[3]楊斌.初中課堂評估1+1.[Z].廣州出版社,2012-12.