一道平面幾何競賽題的推廣

廣東省中山市教育教學研究室(528400) 方勇

一道平面幾何競賽題的推廣

廣東省中山市教育教學研究室(528400) 方勇

在李勝宏、陶平生教授等主編的《高中數學競賽專題講座》(浙江大學出版社出版,2007年6月第一版)系列教材平面幾何分冊中,有一道例題引起了筆者的興趣:

第33頁:例1過正△ABC外接圓的弧AC上一點P作PD⊥直線AB于D,作PE⊥直線AC于E,作PF⊥直線BC于F.求證:

圖1

這道題看似簡單,但它卻融合了平面幾何中的四點共圓判定及性質、西姆松定理和張角定理應用,設計十分精妙,是一道非常好的高中數學競賽題.該書給出本題證明如下:

證明: 由PD⊥直線AB于D,作PE⊥直線AC于E,作PF⊥直線BC于F知A、E、P、D及E、F、C、P分別四點共圓,則∠DPE=∠BAE=60°,∠EPF=∠ECF=60°.由西姆松定理知,D、E、F三點共線,從而以P為視點,對△PDF應用張角定理,有

上述巧妙而又簡潔的證明,引起了筆者的興趣.注意到證明過程中,等邊三角形三角的等量關系在最后的等式中約去,而四點共圓判定、西姆松定理及張角定理均在本題中對一般三角形都適用,這不禁引人思考: 若為一般三角形,本題結論是否成立或者結論應該如何?

經探索,筆者發現本題結論具有一般性,即對一般三角形本題結論推廣如下:

△ABC的三邊和三角分別為a,b,c及A,B,C,過△ABC外接圓的弧AC上一點P作PD⊥直線AB于D,作PE⊥直線AC于E,作PF⊥直線BC于F.則有:

圖2

證明如下: 過P作圓O直徑交圓O于P′,過點P′作切線,延長PA,PB,PC分別交切線于A′,B′,C′.由∠PP′B+∠BPP′=90°,∠PB′P′+∠B′PP′=90°及圓周角定理,有 ∠PP′B= ∠PB′P′= ∠PCB故△PCB∽△PB′C′所以

推廣后的結論更具一般性,證明看似比原題證明復雜,實際上卻只運用了初中平面幾何中常規基礎知識,避免了使用西姆松定理、張角定理等較為精巧的知識,也許應證了數學中越一般知識來得越復雜的說法吧.

[1]李勝宏、陶平生等,高中數學競賽專題講座——平面幾何[M],浙江: 浙江大學出版社,2007.