例談競賽中的數列問題

安徽省蕭縣中學(235200) 邱宇 王明坤

例談競賽中的數列問題

安徽省蕭縣中學(235200) 邱宇 王明坤

數列是高中階段的基礎知識也是我們學習的重要內容,在高考及競賽中也有足夠的分量,甚至在大學中還要繼續學習數列,怎么提高解題能力呢?下面從4個競賽試題來研究數列的相關知識.

一、并駕齊驅找主駕——兩個數列的復合問題

例1. (2016年浙江省高中數學競賽試題)已知數列{an}、{bn}滿足a1=-1,b1=2,an+1=-bn, bn+1=2an-3bn(n∈N?),則b2015+b2016=___.

思路: 本題是兩個數列的復合,仔細觀察要求的結果必然和數列{bn}有關,這就提示我們看能不能求出{bn}的通項,另外2015和2016相差1,或者第二種思路就是采用整體的思想求出{bn+1+bn}的通項.

解: 因為bn+1=2an-3bn,所以bn+2=2an+1-3bn+1,

故 {bn+1+bn}可看作公比為 -2的等比數列.從而bn+2+bn+1=(-2)n(b2+b1),注意到b2=2a1-3b1=-8,所以b2015+b2016=(-2)2014×(-6)=-3×22015.

評析: 本題的就是要先消去an,根據條件即可得到只含bn的式子,運用轉化的數學思想;然后再把bn+1+bn看作一個整體,運用了整體的數學思想,最后再由一般到特殊即可求解.

二、同根生兄弟一家親——子數列問題

例2. (2016年全國高中數學聯賽江蘇賽區初賽試題)已知數列{an}的奇數項依次構成公差為d1的等差數列,偶數項依次構成公差為d2的等差數列,且對任意n∈N?,都有an＜an+1.若a1=1,a2=2,且數列{an}的前10項和S10=75,則a8=___.

思路: 與例1相比,看起來本題只有一個數列,貌似要簡單一些,實則要難,因為一個數列分別有奇偶兩個子列,首先n在一般的數列中容易理解,是表示項數,而奇數項和偶數項構成的數列的項數要怎么表示呢,這是一個難點.然后可嘗試找出兩個數列公差的關系,從兩個方面考慮,最后能得到d1=d2,于是問題就變得簡單.

由(1)、(2)可知 d1=d2.由 S10=75得 75=5+ 10d1+10+10d2=15+20d1解得d1=d2=3所以a8=a2+3d2=2+3×3=11.

評析: 本題看起來較難打開思路,還是從兩個子數列入手,采用分類討論的數學思想,對于子數列大學中還要進一步學習,這種類型的題目在高考和平時的月考、期末考試中也出現過,因為高考的試卷主要是有大學教授出題目,注重和高中的銜接,要引起我們的重視.另外,因為本題是填空題,不要求寫出運算過程,也可以這樣考慮: 因為a1=1,a2=2相差不大,兩個子數列都是等差數列,并且在整體{an}中始終后項大于前項,從極限逼近的角度來看,只有d1=d2才能符合條件.

三、不解函數,焉得數列——數列與函數的復合

例3. (2016年全國高中數學聯賽湖北省預賽試題)已知定義在R上的f(x)滿足:且對任意實數x,y,恒有f(x)f(y)=f(x+y)+f(x-y),若數列{an}滿足an=3f(n)-f(n-1),n∈N?

(1)求數列{an}的通項公式;

(2)令bn=是數列{bn}的前n項和,求證Sn＜1.

思路: 本題是數列與函數的復合,要求出{an}的通項公式,根據an與函數的關系,再觀察條件,先要把an+1表示出來,恰好得出{an}是等比數列,從而第(1)小題解決問題.第(2)小題求Sn,因為{bn}是復合數列,一般采用放縮、裂項的方法.

評析: 本題是競賽試題的大題,第(1)小題難度中等,條件要向結論慢慢靠近,兩次取特殊值,把f(n+1)表示出來,再湊成條件,即解決問題.運用了由特殊到一般的數學思想.第(2)小題難度偏大,光不等式變形就難以下手,這一難關過去,后面的步驟理解就容易些.其實放縮也就是從一般到特殊的數學思想.

四、上陣父子兵,父親講奉獻——數列與和的復合問題

例4. (2013年全國高中數學聯賽吉林省預賽試題)已知數列{an}的前n項和為Sn,且滿足:cn=anbn.

(1)求數列{an}的通項公式;

(2)若2bn-bn-1=0(n≥2,n∈N?),求數列{cn}的前n項和Tn;

(3)是否存在整數m,M,使得m＜Tn＜M對任意正整數n恒成立,且M-m=4?說明理由.

思路: 在式子中既有an,又有Sn,可把二者形如父子,第(1)小題要求通項,一般要把Sn消去即可,可以用到Sn-Sn-1=an,然后在得到的式子中想法求出an.第(2)小題類型比較常見,是等差和等比的復合數列.第(3)小題考慮利用不等式去解.

所以Tn+1≥Tn=1.故存在整數M=4,m=0.

評析: 此題第(1)、(2)小題采用常規數學思維方法即可,第(3)小題兩次利用不等式,難度較大,一般同學不易想到,在以后的學習中,要強化經常用到的不等式思想,使同學們能順利解決問題.

競賽中出現的數列問題要引起同學們的重視,在高考中數列的問題也可采用類似的解題技巧.在學習中,要善于歸納、總結,找到解決問題的好辦法,逐步提高中學數學的核心素養.