談“轉化思想”在三角函數教學中的妙用

廣東省梅州市梅縣區徑義中學(514781) 熊永華

談“轉化思想”在三角函數教學中的妙用

廣東省梅州市梅縣區徑義中學(514781) 熊永華

轉化是數學中最常用的思想,通常由一種形式變為另一種形式,一個問題變化為另一個問題,由繁到簡,由特殊到一般,最終解答問題的一種數學思想.在直角三角形的邊角關系的教學中,從三角函數概念建立、推理認證、計算化簡到實際問題的解決,始終貫穿著轉化思想的運用,如利用三角函數定義可以實現邊與角的轉化；利用三角函數之間互余關系,實現對“正、余弦”間進行靈活地相互轉化；利用添加輔助線,實現非直角三角形向直角三角形轉化；利用根據題意畫出圖形,實現將現實問題向數學模型上轉化等.

一、利用三角函數定義實現邊與角的轉化

在Rt△ABC中,若∠A、∠B、∠C的對邊分別為a、b、c,且∠C=90°.

圖1

要求出∠B的度數,根據已知條件,運用三角函數中的正切,可求出∠B的正切值,用特殊角三角函數值求出∠B的度數,從而利用三角函數的定義,由直角三角形中除直角外的已知邊和角,求出所有未知的邊和角,實現邊與角的轉化.

二、利用三角函數之間互余關系,實現對“正、余弦”間進行靈活地相互轉化

因為直角三角形中兩銳角互余,所以三角函數正弦、余弦存在cosA=sin(90°-A),sinA=cos(90°-A)、的等量關系,利用互余三角函數關系,實系“正、余弦之間”的轉化,來解決數學問題.

三、利用添加輔助線,實現非直角三角形向直角三角形轉化

例3. 如圖所示,在四邊形ABCD中,AB=2,CD=1,∠A=60°,∠D=∠B=90°,求此四邊形ABCD的面積.

圖2

解: 延長BC、AD相交于E.

對于非直角三角形有關問題的解決方式,往往是通過作輔助線將它們補全或分割成直角三角形,從而利用直角三角形的有關性質和三角函數的知識來解決問題,此題四邊形問題轉化為三角形,尤其是轉化為直角三角形的問題來解決,是數學思想中轉化思想的又一體現.

四、利用根據題意畫出圖形,實現將現實問題向數學模型上轉化

例4. 某水庫大壩的橫斷面是等腰梯形,壩頂寬6米,壩高10米,斜坡AB的坡度為1: 2,現要加高2米,在壩頂寬度和斜坡坡度均不變的情況下,加固一條長為50米的大壩,需要多少土石料？

圖3

解: 根據題意,畫出圖形,過E作EH⊥BC于H.

∵梯形EPCF為等腰梯形,∴PC=2PH+EF,

∵梯形ABCD為等腰梯形,AR⊥BC,

∴BC=2BR+AD.

∴V=50(S梯形EPCF-S梯形ABCD)=50×(360-260)=5000(立方米).

有關大壩加固的問題是近幾年較常出現的數學問題,這些題往往圖形較為復雜,計算步驟較多,有一定難度.解此類題,首先應根據題意畫出相應圖形,將現實生活中的事例轉化到數學問題上來,再者是建立數學模型,找出變量(如壩高增加2米)和不變量(如斜坡坡度,四邊形形狀仍為等腰梯形),利用三角函數坡度即是解決本題的關鍵.

實踐證明: 在直角三角形邊角關系的教學課堂中,運用轉化思想,進行問題間的轉化,使問題由繁到簡,由特殊到一般,能更好地培養和提高學生的解題能力和發散邏輯思維,從而達到教學目的.