強化數(shù)學建模教學 提高學生應用知識能力

廣東省云浮市新興縣惠能中學(527400) 張鳳平

強化數(shù)學建模教學 提高學生應用知識能力

廣東省云浮市新興縣惠能中學(527400) 張鳳平

一、問題的提出

隨著素質(zhì)教育的不斷深入和新課程改革的全面實施,高考越來越重視考核學生應用所學知識解決實際問題的能力.事實上,近幾年的高考數(shù)學試題明顯加強對密切聯(lián)系生產(chǎn)和生活實際的應用性問題的考查力度.例如,2011年全國理科卷2的車險問題,2011全國理科新課標卷的質(zhì)量指標值衡量問題;2012年全國理科、文科卷2的乒乓球比賽問題,2012年全國理科、文科新課標卷的花的購買與銷售問題;2013年全國理科、文科卷2的羽毛球比賽問題,2013年全國理科新課標1卷的產(chǎn)品檢驗問題,文科新課標1卷的比較兩種治療失眠癥的藥(分別成為A藥,B藥)的療效問題;2014年全國理科、文科新課標1卷的測量產(chǎn)品質(zhì)量指標值問題;2015年全國理科新課標1卷的產(chǎn)品的宣傳、銷售、利潤問題.然而,從近幾年的高考年報所反映的數(shù)據(jù)來看,因為應用性問題的得分率是每一年高考所有題中最低的,從另一個側(cè)面說明學生應用所學知識解決實際問題的能力卻是最薄弱的.因此,在課堂教學中開展數(shù)學建?；顒?提高學生運用所學的知識解決實際問題的能力,是適應當前教育改革和開展素質(zhì)教育、實施新課標的迫切需要.

二、數(shù)學建模的基本理論:

(一)基本概念

1.數(shù)學模型: 簡單地說,數(shù)學模型就是用數(shù)學語言來模擬空間形式和數(shù)量關(guān)系的模型.確切地說,數(shù)學模型就是對于一個特定的對象為了一個特定目標,根據(jù)特有的內(nèi)在規(guī)律,做出一些必要的簡化假設(shè),運用適當?shù)臄?shù)學工具,得到的一個數(shù)學結(jié)構(gòu).一切數(shù)學概念、公式、理論體系、算法系統(tǒng)、表格、圖示等都可稱為數(shù)學模型.

2.數(shù)學建模: 把現(xiàn)實世界中的實際問題加以提煉,抽象為數(shù)學模型,求出模型的解,驗證模型的合理性,并用該數(shù)學模型所提供的解答來解釋現(xiàn)實問題的應用過程.

3.數(shù)學建模的一般流程圖.數(shù)學建模是一種數(shù)學的思想方法,是運用數(shù)學的語言和方法,遵循數(shù)學規(guī)律,通過抽象、簡化建立能近似刻畫并解決實際問題的一種強有力的數(shù)學手段.主要程序如下所示:

圖1

(二)建立數(shù)學模型的方法和步驟:

1.模型準備: 了解問題的實際背景,明確其實際意義、建模目的,搜集掌握對象的各種信息.弄清對象的特征,用數(shù)學語言來描述問題及其本質(zhì).

2.模型假設(shè): 根據(jù)實際對象的特征和建模的目的,對問題進行必要的、合理的簡化,并用精確的語言提出一些恰當?shù)募僭O(shè).

3.模型建立: 在假設(shè)的基礎(chǔ)上,利用對象的內(nèi)在規(guī)律和適當?shù)臄?shù)學工具來刻畫各變量之間的數(shù)學關(guān)系,建立相應的數(shù)學結(jié)構(gòu).

4.模型求解: 利用獲取的數(shù)據(jù)資料,采用解方程、畫圖形、證明定理、邏輯運算、數(shù)值運算等各種傳統(tǒng)的和近代的數(shù)學方法,特別是計算機技術(shù),對模型的所有參數(shù)做出計算(估計).

5.模型分析: 對模型解答所得結(jié)果進行數(shù)學上的誤差判定,數(shù)據(jù)穩(wěn)定性等分析.

6.模型檢驗: 將模型分析結(jié)果與實際情形進行比較,以此來驗證模型的準確性、合理性和適用性.如果模型與實際較吻合,則要對計算結(jié)果給出其實際含義,并進行解釋.如果模型與實際吻合較差,則應該修改假設(shè),再次重復整個建模過程.

7.模型應用: 應用方式因問題的性質(zhì)和建模的目的而異.

三、對高中數(shù)學建模教學的一些設(shè)想

1.培養(yǎng)數(shù)學建模的意識

(1)數(shù)學教師在實踐中樹立自己的建模意識.教師是學生健康成長的指導者和引路人,教師的行為直接影響著學生.為了培養(yǎng)學生的建模意識,教師首先要有數(shù)學建模的意識.因此,我們不僅要在教學內(nèi)容和要求上有新的變化,而且要及時更新教育思想和教學理念.教師除了要不斷提高自身素質(zhì)、扎實數(shù)學專業(yè)知識和了解數(shù)學的發(fā)展情況外,還要不斷地學習一些新的數(shù)學建模理論,而更重要的是教師本身要養(yǎng)成運用所掌握的數(shù)學知識去解決實際問題的良好習慣,不斷強化學數(shù)學、做數(shù)學和用數(shù)學的意識.

(2)培養(yǎng)學生的建模意識.一個人意識的形成不是一朝一夕的,需要經(jīng)過長時間的培養(yǎng)和強化.培養(yǎng)學生的建模意識也一樣,需要教師在平時的課堂教學中不斷地向?qū)W生傳授和灌輸,并進行適當?shù)膹娀柧?在教學中,教師可利用現(xiàn)行的數(shù)學教材,有針對性地研究在各個教學章節(jié)中可引入哪些數(shù)學基本模型問題,讓學生在學習中培養(yǎng)建模意識.如在學習了函數(shù)一章知識后,可通過這樣的應用題讓學生懂得如何應用數(shù)學建模的方法來解決實際問題.例: 以下是某地區(qū)不同身高的未成年男性的體重平均值表: (身高單位: cm;體重單位: kg)

身高60 70 80 90 100 110體重6.137.909.9912.1515.0217.50身高120 130 140 150 160 170體重20.9226.8631.1138.8547.2555.05

1)根據(jù)表中提供的數(shù)據(jù),能否從我們已學過的函數(shù)y=ax,y=alnx+b,y=abx中選擇一種函數(shù),使它比較近似地反映該地區(qū)未成年男性體重y關(guān)于身高x的函數(shù)關(guān)系式?試求出這個函數(shù)解析式.

2)若體重超過相同身高平均值的1.2倍為偏胖,低于0.8倍為偏瘦,那么該地區(qū)某中學一男生身高為175cm,體重為78kg,他的體重是否正常?(本例子是高一數(shù)學課本中的例題)

這是一個典型的利用數(shù)學建模解決實際問題的例子.第一個問題是建立數(shù)學模型.首先,要根據(jù)表中給出的數(shù)據(jù)在直角坐標系中描出散點圖(兩圖略,詳見人教版2003年6月第一版高中《數(shù)學》第一冊(上)第87頁例3和圖2-17(1)和(2)),再根據(jù)所得的散點圖的形狀判斷應選擇的函數(shù)關(guān)系式,然后求出所選函數(shù)關(guān)系式的待定系數(shù),確定具體的函數(shù)解析式,即建立數(shù)學模型——指數(shù)函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)=2×1.02x;第二個問題,是利用確定的函數(shù)關(guān)系式來回答某男生體重是否正常,就是用所建立的數(shù)學模型來解決實際問題.

可見,教師通過這些簡單的應用問題,帶領(lǐng)學生一起來完成數(shù)學化的過程,給學生一些數(shù)學應用和數(shù)學建模的初步體驗,讓學生感受和體驗數(shù)學知識產(chǎn)生、發(fā)展和應用,獲得生活經(jīng)驗,體會成功的喜悅,更好地熟悉和了解數(shù)學建模的基本方法,逐步培養(yǎng)學生數(shù)學建模的意識.這樣的數(shù)學建模訓練使學生鞏固了知識,提高了能力,開闊了視野,從而使學生思維的創(chuàng)造性和靈活性得到有效的訓練.

2.介紹數(shù)學建模類型,提高學生選擇建模的能力

在教學中,教師要盡可能系統(tǒng)地介紹和總結(jié)中學階段常見的數(shù)學建模類型,使學生掌握相關(guān)類型的建模方法,為他們今后能主動使用數(shù)學的意識、方法、手段處理問題提供知識儲備,增加數(shù)學建模的經(jīng)驗.中學中常見的數(shù)學建模類型大致有以下幾種:

(1)函數(shù)模型.在生產(chǎn)、生活中普遍存在的成本最低、利潤最高、產(chǎn)出最大、效益最好、用料最省等應用問題,常?？梢詺w結(jié)為函數(shù)的最值問題,通過建立相應的目標函數(shù),確定變量的限制條件,運用數(shù)學的方法進行求解.

(2)方程或不等式模型.以不等式為模型的應用題是最常見的題型之一,有關(guān)統(tǒng)籌安排、最佳決策、最優(yōu)化問題以及最值等問題常常建立不等式模型求解.

(3)數(shù)列模型.在生活和生產(chǎn)活動中諸如國民生產(chǎn)的增長率、污染指數(shù)降低率、經(jīng)濟活動中的存款利息、分期付款、期貨貿(mào)易、人口增長率等與月份、年份有關(guān)的實際問題常?？蓺w納為與數(shù)列有關(guān)的問題,可通過建立數(shù)學模型來解決.

(4)幾何模型.在現(xiàn)實生活中諸如測量、設(shè)計、航行、天體運行、材料加工等涉及到幾何圖形的應用題,常常需要利用圖形的幾何性質(zhì),建立相應的幾何模型,再與方程、不等式、三角函數(shù)等知識和方法相結(jié)合進行求解.

(5)排列組合模型.現(xiàn)實生活中廣泛存在著諸如運動比賽賽程安排、汽車牌照發(fā)放、課程編排等都可經(jīng)歸結(jié)為排列組合應用問題.我們分析和解決問題時,要把握好所給的條件,合理分類,分清是排列還是組合,再建立合理的排列組合模型,并正確使用兩個基本原理解決這類應用題.

3.強化數(shù)學建模意識,提高學生數(shù)學建模能力

教師要轉(zhuǎn)變教育教學觀念,樹立以人為本的學生觀,充分發(fā)揮學生的主動能動作用,為學生提供一個學數(shù)學、做數(shù)學、用數(shù)學的教學和學習環(huán)境,使學生在學習中嘗試和運用數(shù)學建模的方法去解決一些實際問題,提高數(shù)學建模能力.教師盡可能充分利用教材和課外的現(xiàn)實生活例子,創(chuàng)設(shè)一些合理、新穎、有趣的問題情境來激發(fā)學生的好奇心和求知欲,使學生積極加入數(shù)學建模的實踐活動中.如在講完了“解斜三角形”這節(jié)課后,老師可安排這樣的實習作業(yè): 測量位于河兩岸的兩座鐵鐵塔的距離.在這個實驗活動中,學生通過準備工具、設(shè)計測量方案、收集和處理測量數(shù)據(jù)、運用所學知識求出兩鐵塔的距離等系列步驟,使自己更貼近生活實際,積累生活經(jīng)驗,提高分析和解決問題的能力.同時,他們在實踐中也得到鍛煉,獲得情感體驗、構(gòu)建知識體系、掌握解決問題的方法.通過開展這樣的實踐活動,從中培養(yǎng)學生的應用意識和數(shù)學建模應用能力.

另外,教學中要調(diào)動學生參與建?；顒拥姆e極性,對建模過程中的數(shù)據(jù)加工、方法和模型的選擇、方案的解決等要給予指導和幫助,與學生一起評價各個模型是否切實可行,有利于完善數(shù)學建模的過程,使學生在數(shù)學建?；顒又懈右?guī)范,減少失誤,少走彎路,提高建模的準確率,增強解決實際問題的信心和積極性,從而提高學生數(shù)學建模的興趣與能力.

4.注意與相關(guān)學科的聯(lián)系,拓寬數(shù)學建模的途徑

數(shù)學是一門最基礎(chǔ)的學科,它是學生學習其它自然科學以至社會科學的工具,與其它學科的聯(lián)系是相當密切的.因此,我們在教學中應注意與物理、化學、生物、美術(shù)等學科的聯(lián)系,選取與之相適應的跨學科問題,或與日常生活聯(lián)系比較密切的如建筑設(shè)計中的對稱問題、銀行儲蓄利率等問題都可作為數(shù)學建模的對象,通過運用所學的知識解決這些問題,不但可使學生加深對數(shù)學知識的鞏固,而且可幫助他們加深對其它學科的理解,這也是培養(yǎng)學生建模意識的一個不可忽視的途徑.例如學習了正弦函數(shù)后,可引導學生用模型函數(shù)y=Asin(ωx+φ)寫出物理中振動圖象或交流電圖象的數(shù)學表達式,進一步加深對物理概念如振幅、周期、相位和初相等的理解.又如當學生在化學中學習了金剛石等物理性質(zhì)時,可用立幾模型來驗證它們鍵角為a

運用數(shù)學建模解決實際問題是一個綜合知識應用的過程,必須有良好的知識基礎(chǔ)和基本能力作支撐.因此,在平時的教學中,要重視強化知識訓練,夯實基礎(chǔ),培養(yǎng)學生多種能力如閱讀和語言轉(zhuǎn)化能力、抽象概括能力、讀圖用圖能力、數(shù)學檢索能力等.只要我們平時多宣傳、多灌輸、多訓練和多實踐,數(shù)學建模教學一定會取得好的效果.