深度挖掘教材 培育核心素養—“導數在研究函數凹凸性中的作用”教學設計及反思

深圳外國語學校(518083) 朱紅光

深度挖掘教材 培育核心素養—“導數在研究函數凹凸性中的作用”教學設計及反思

深圳外國語學校(518083) 朱紅光

廣東省中學數學教學專業委員會于2016年5月18日至19日舉辦全省高中青年教師數學問題講授核心片段展示與培訓活動,活動以“研討高中數學課堂教學落實學生發展核心素養的策略和方法、深化高中數學教學改革,造就一批數學名師和學科領軍人物”為主題.筆者代表深圳市展示了公開課“導數在研究函數凹凸性中的作用”,本節課選自高中數學人教A版選修2-2第一章第三節例3.筆者根據課程特點和高二學生認知水平,運用信息技術深度挖掘教材,引導學生開展數學實驗,親身感受導數在研究函數凹凸性中的作用的全過程,培育學生直觀想象與數學抽象兩大數學核心素養,獲得了專家與聽課老師的高度評價,榮獲廣東省青年教師數學問題講授核心片段展示特等獎.下面將教學設計及反思整理成文,與大家交流.

一、教學目標

根據課程標準要求并結合本節課的內容和高二學生已具備的知識、能力和心理特點,確定本節課的教學目標為:

1.借助于計算機動畫演示與幾何畫板演示,開展數學實驗,引導學生用不同的方法解決例題3,初步理解導數反映的變化率的特點;了解凸函數、凹函數的圖象特征;理解有關凸函數、凹函數的相關結論．

2.通過解決實際問題的過程,認識到生活中處處皆數學,學會用數學的眼光去觀察現象、發現問題,從數量與數量關系、圖形與圖形關系中抽象出數學概念及概念之間的關系,從事物的具體背景中抽象出一般規律和結構,并且用數學符號或者數學術語予以表征．

二、教學重點與難點

教學重點: 例3的解決過程及結合例3研究凸函數、凹函數的性質．

教學難點: 探究凸函數、凹函數的性質的過程．

三、教學流程

圖1 教學流程圖

四、教學過程

例3．如圖,水以恒速(即單位時間內注入水的體積相同)注入下面四種底面積相同的容器中,請分別找出各容器對應的水的高度h與時間t的函數關系圖像．

圖2

設計意圖: 導數在研究函數凹凸性中的作用非常抽象,學生難以理解,借助于計算機動畫演示與幾何畫板演示,深度挖掘教材例3所蘊涵的函數凹凸性,能夠有效地突破教學難點,使學生學會用數學眼光去觀察現象、發現問題,從現實生活實例抽象出數學本質.

(一)數學實驗直觀想象

師: 如何解決這個問題呢?我們不妨注水試試看.(播放flash動畫,圖3、圖4).

圖3 計算機動畫演示前

圖4 計算機動畫演示后

師: 根據這個實驗,我們輕而易舉得到了問題的答案,那我們是不是心滿意足了呢?當然不是,我們更希望利用所學的數學知識來解釋一下為什么會這樣?怎么做呢?

我們再重現剛才的注水過程.先看第一個容器,圓柱形的,上下一樣粗.我們先注入1單位時間的水,此時容器中的水面高度對應一個數值;因為要考慮函數的圖像,所以我們干脆在平面直角坐標系中描出時間與水面高度相對應的點;再注入1單位時間的水,描出第二個點,繼續注水,就有了第三個第四個點.我們看到,在恒速注水的過程中,單位時間內的注水量是相同的,所以,容器內水面高度的改變量是不變的,描出的這些點分布在一條直線上,即水深與時間呈線性關系,如圖5.

圖5

圖6

再看第二個容器,是圓臺型的,下粗上細.我們仍然每次注入1單位時間的水,隨著容器內水面的上升,容器越來越細,所以每個單位時間內水面高度的改變量在逐漸增大,描點后再用光滑的曲線連接,如圖6.我們看到水面高度與時間的函數圖像是越來越陡峭的.同理,我們可以分析其他兩個容器.利用這種方法,我們順利解決了例3.

師: (問題1)你有其他的判斷方法嗎?

生1: 我用特殊分析法: 選注水時間的一半.以第二個容器為例,恒速注水時,此時容器中的水量是總注水量的一半,而容器中的水面高度不及總水面高度的一半.由圖6的圖象可知,應該對應A選項.同理,我們可以分析其他三個容器.利用這種方法,例3也迎刃而解.

圖7

圖8

圖9

師: 還有其他的判斷方法嗎?

生2: 用增量分析法: 考察自變量逐次增加δx...... (圖8,圖9)

師: 還有其他的判斷方法嗎?我們可以用瞬時分析法,結合導數值的變化對函數圖象的影響進行分析(圖10).

圖10

設計意圖: 首先用計算機制作flash動畫模擬倒水過程,讓學生直接觀察;引導學生分析特殊時刻: 一半時間容器中的水深(或一半水深時對應的注水時刻);最后引導學生從水深隨時間的變化快慢進行分析.瞬時分析法—結合導數值的變化對函數圖像的影響進行分析.

(二)合作探究數學建構

師: 現在再讓我們來關注一下A,D兩個選項的函數.我們看到,這兩個函數都是單調遞增的,但是一個向下彎曲成凹形,一個向上彎曲成凸形.大家回憶一下,我們以往所研究的函數中,有沒有哪些函數的圖像也具有這種特征呢?沒錯,指數函數,對數函數,二次函數等等這些函數的圖像都具有類似的特征,因此我們有必要研究一下這類函數的性質.為了方便研究,我們不妨把向下彎曲成凹形的函數稱為凹函數,向上彎曲成凸形的稱為凸函數.那么,如何從數的角度來定義函數的凹凸性呢?(問題2)

圖11

大家想一下,所謂的凹和凸是針對什么而言的呢?沒錯,是“平”.那我們能不能在圖像中作出“平”的要素呢?沒錯,我們可以在曲線上任取兩點連接成曲線的弦,那我們看到所謂的“凸”是指,曲線上與弦相對應的那一段在弦的上方.那么,上方下方又如何量化呢?是的,我們可以借助于兩個對應點的縱坐標的大小來表示.從圖10中我們看到,橫坐標相同時,曲線上點的縱坐標要大于弦上的點的縱坐標.因為弦是任取的,為了簡便,我們可選取橫坐標為時所對應的兩個點的函數值,顯然一個是一個是從圖中我們可以看出,對于凸函數而言總有當x1=x2取不等式取等號.而凹函數恰恰相反,有

我們利用幾何畫板(圖11)分析: 當x1,x2變化時,上述不等式恒成立的,也就是與x1,x2的選取無關.因此,我們可以定義函數的凹凸性: 若平均數的函數值總大于等于函數值的平均數,則稱函數是該區間上是凸函數,反之,則稱為凹函數.

(教師引導學生理性分析凹凸函數的定義、函數值的特點以及導數值的變化對函數圖象的影響,并用幾何畫板演示學生發現的規律.)

圖12

圖13

圖14

圖15

師: (問題3)凹凸函數有什么性質呢?

那我們自然要問凹凸函數有什么性質呢?我們先研究凸函數(圖11),由例3注水的過程得到啟發,我們讓自變量x逐次增加一個單位Δx,由函數圖像可知相應的函數值的增量Δyi越來越小.而凹函數(圖12,圖13,圖14,圖15)呢, Δyi是越來越大的.因此,我們得到:

凹凸函數性質1: 若f(x)為凸函數,當自變量x逐次增加一個單位Δx時,函數值的增量Δyi越來越小,而凹函數恰恰相反,Δyi越來越大.

凹凸函數還有其他的性質嗎?我們回顧剛才的分析,考慮了Δx,Δy,那大家想一下,這兩個量和什么知識有關呢?變化率!變化率又和什么有關呢?函數的導數值.

問題4: 函數的凹凸性與函數的導數有什么關系?

圖16

圖17

既然看圖像,那就要找導數的幾何意義即切線的斜率(圖16,圖17).所以,我們利用幾何畫板(圖9)分析: 在圖中作出曲線上的點的切線,顯然,點A沿著曲線移至點B,切線變的平緩,切線的斜率變小,也就是導數值變小;而對于凹函數,切線變的陡峭,切線的斜率是增大的,也就是導數值變大.我們再利用幾何畫板看一下連續的過程,以凹函數為例,我們看到,當動點P沿著曲線向右移動時,切線越來越陡峭,切線的斜率越來越大,也就是說當自變量x增大時,導數值f′(x)是增大的,即導函數是單調遞增的.并且我們看到,導數的絕對值較大,函數的圖象就比較“陡峭”,反之呢,就“平緩”一些.

通過剛才的研究分析,我們得到了凹凸函數的又一個性質:

凹凸函數性質2: 函數在區間上為凸函數,則導函數在該區間上單調遞減;反之,若為凹函數,導函數則單調遞增.

問題5: 你能利用導數對例3進行分析判斷嗎?

那大家再想一下,你能利用導數值的變化特點再對例3進行判斷分析嗎?沒錯,對于圓柱形容器,注水過程中,水深隨時間是均勻變化的,也就是導數值為常數,反映到圖像上是線性關系;而對于第二個容器,下粗上細,隨著容器內水面的上升,水深隨時間變化的越來越快,也就是導數值增大,所以,函數圖像變的陡峭一些.同理可以分析另兩個容器.

設計意圖: 教師設計系列問題,借助于幾何畫板軟件開展數學實驗,引導學生通過觀察分析、合作探究,初步理解導數反映的變化率的特點;了解凸函數、凹函數的圖象特征;歸納總結出凹凸函數性質.

(三)深入分析拓展延伸

圖19

思考題: ?t∈(0,1),是否有f(tx1+(1-t)x2)≤tf(x1)+(1-t)f(x2)(圖19)?

師: 剛才我們結合對例3的研究分析,利用數形結合得到了凹凸函數的定義,并進一步研究了凹凸函數的兩個性質.凹凸函數還有沒有其他的性質?凹凸函數還可以怎樣定義?若函數為凸函數,有沒有這樣的不等式成立?請大家繼續研究.

設計意圖: 啟發學生利用所學知識,對問題進行探究分析,加深對知識的理解和掌握.

五、教學反思

教師在日常課堂教學中如何落實數學核心素養呢?章建躍先生認為: 教師應增強課程意識,從平凡的日常教學中思考落實新理念的方法,在數學知識的教學中尋找發展學生核心素養的途徑,這是課堂教學落實核心素養的基本出發點.我執教的“導數在研究函數凹凸性中的作用”在日常課堂教學中培育直觀想象與數學抽象等兩個數學核心素養進行了有益的探索與嘗試.

(一)借助于信息技術開展數學實驗,有利于發展直觀想象

直觀想象是指借助空間想象感知事物的形態與變化,利用幾何圖形理解和解決數學問題．主要包括: 利用圖形描述數學問題,建立形與數的聯系,構建數學問題的直觀模型,探索解決問題的思路．

直觀想象是發現和提出數學命題、分析和理解數學命題、探索和形成論證思路的重要手段,是構建抽象結構和進行邏輯推理的思維基礎,是培養創新思維的基本要素．

我用計算機制作flash動畫模擬倒水過程與幾何畫板動態演示,借助于開展數學實驗,引導學生直接觀察與分析,深度挖掘例3所蘊涵的函數凹凸性及其性質,有助于學生用數學的眼光去觀察現象、發現問題,用數學思想方法解決問題.在問題解決的全過程中,建立了良好的數學直覺,有助于理解數學本質,促進學生直觀想象這一數學核心素養的發展.

(二)設計系列問題,引導學生合作探究,培育數學抽象

數學抽象是指舍去事物的一切物理屬性,得到數學研究對象的思維過程．主要包括: 從數量與數量關系、圖形與圖形關系中抽象出數學概念及概念之間的關系,從事物的具體背景中抽象出一般規律和結構,并且用數學符號或者數學術語予以表征．

數學抽象是數學的基本思想,是形成理性思維的重要基礎,反映了數學的本質特征,貫穿在數學的產生、發展、應用的過程中．數學抽象使得數學成為高度概括、表達準確、結論一般、有序多級的系統．通過數學抽象核心素養的培養,學生能夠更好的理解數學的概念、命題、方法和體系,形成一般性思考問題的習慣;能夠在其他學科的學習中化繁為簡,理解該學科的知識結構和本質特征．

我將現代信息技術(幾何畫板軟件)與高中數學課程(導數在研究函數凹凸性中的作用)相融合,運用基于信息技術的高中數學教學模式: “數學實驗,直觀想象——合作探究,數學建構——深入分析,拓展延伸”,精心設計了系列問題,引導學生開展數學實驗,親身感受導數在研究函數凹凸性中的作用的全過程,培育學生數學抽象核心素養.

在傳統教學中,我們很難講授導數在研究函數凹凸性中的作用,也很難深度挖掘教材例3所蘊涵的數學本質.但一旦我們將信息技術與高中數學課程相融合,將計算機為核心的信息技術作為促進學生自主學習的認知工具與情感激勵工具,有助于教師尋找在課堂教學落實學生發展核心素養的策略、方法與途徑.

[1]章建躍.《樹立課程意識落實核心素養》[J],《數學通報》(京),2016. 5.1-4,14