四川師范大學數學與軟件科學學院(610068) 盛朝陽 邵利

數學任務認知水平的案例分析

四川師范大學數學與軟件科學學院(610068) 盛朝陽 邵利

1.數學任務認知水平

數學任務不僅是課本或教師授課計劃中出現的問題,而且是圍繞教師和學生組織和實施那些問題所進行的課堂活動.數學任務是數學任務框架的核心,在框架中,任務在三個階段被加以檢視: (1)當它出現于課程或教材或教師自己創造時;(2)教師在課堂上創建或發布任務時(即任務的組織階段);(3)學生演算或思考時(即任務的實施階段).其中在任務組織和實施階段首要考慮的是學生的認知水平,所謂認知水平指學生參與任務時所投入的思維水平和種類[1],美國匹茲堡大學“QUASAR”(Quantitative Understanding: Amplifying Student Achievement and Reasoning)的研究,依據學生參與任務的認知水平將數學任務分為4個水平: A.記憶型(重現對數學知識的記憶,不需要理解);B.無聯系的程序型(強調算法化的程序,不需要解釋意義);C.有聯系的程序型(雖有一般程序可循但須明確程序的聯系與意義,加以考慮地應用); D.做數學(任務無明顯的解決途徑,需要非算法化的復雜思維).其中記憶型和無聯系的程序型屬于低認知水平的任務,有聯系的程序型和做數學屬于高認知水平的任務.

“QUASAR”研究認為除非學生經常地、主動地和富有成效地參與認知上具有挑戰性的任務,否則學生的學習不可能深入或獲得更加豐富的概念[1].也就是要使學生的思維高水平參與到任務中的一個必要條件是組織和實施高認知水平的任務,但高認知水平在任務實施階段不容易保持,常受到課堂環境中諸多因素的影響.

因此本文通過數學任務框架這面“透鏡”,去剖析一堂公開課在任務組織和實施階段學生認知水平的變化,找到保持或降低高認知水平數學任務的原因,并作出解釋.

2.案例分析

四川成都某重點中學第30屆研討會上開展了一節公開課,執教的L老師經驗非富,課題內容是因式分解——分組分解法,此內容課標并不做要求,但L老師認為一方面分組分解因式是對前面所學的提公因式法和公式法的綜合運用,能夠發展學生綜合運用知識的能力,從中滲透化歸的思想;另一方面本節課采用學生自主探究的方式進行,通過探究各種分組方式,發展學生的開放性思維,所以L老師對這部分內容進行了補充.

2.1 任務在組織和實施階段的認知水平

筆者先將這節課4個教學環節中的數學任務分別進行了梳理,并以“QUASAR”的認知水平為依據,分析出本任務在組織階段的認知水平,如表1所示.

由表1可知舊知復習環節的兩個數學任務在組織階段均處于低認知水平,而在新知探究、例題分析、課堂小結中的三個數學任務在組織階段均處于高認知水平,由此筆者再對這三個高認知水平的數學任務在實施階段的認知水平進行分析,如表2所示.(由于例題分析環節中共有八道因式分解題,且在實施階段的情況相似,所以選取了其中一題作為該環節的任務進行分析.)

表1

表2

2.2 高認知水平任務保持或降低的原因分析

通過上面兩表分析可知本節課中在組織階段處于高認知水平的任務在實施階段能夠保持的主要原因有:

(1)任務基于學生已有的認知.任務建立在學生的“最近發展區”,學生經過一定的認知努力能夠解決,且在解決過程中老師通過觀察和傾聽來了解學生已有的思想以此給出相應幫助和反饋.

通過學生回答,老師將每一步進行了概括: ①→分組;②→組內可提公因式; ③→組間可提公因式T: 還有沒有其他的做法?(老師請另外一位學生講解他的不同分組方式,同樣通過追問讓學生不斷做出解釋以明確分組依據,并用PPT展示了過程.)在學生展示做法過程中老師通過不斷追問來讓學生明確分組分解的意義與目的,而不是僅僅關注答案的正確性.所以任務仍處于做數學水平(D).例題分析因式分解: a2+2a-9b2-6b老師在巡視中發現很多學生經歷了分組失敗的過程,于是選擇了一位成功分解但卻也經歷了那樣困境的S學生,對他的做法進行了投影,S學生第一次分組方式是: (a2+2a)-(9b2+6b)但在完成組內提公因式后就放棄了沒能繼續分解,于是老師將此問題提出: “為什么這樣的分組方式行不通?”和學生們一起探討.在共同解決這個困難后,老師繼續投影了S學生的第二次分組方式: (a2-9b2)+(2a-6b)在這次分組中順利完成了分解,可以看出,當學生遇到困難時,老師通過給學生思維搭腳手架來給與幫助,因此在過程中始終保持問題的復雜性.所以任務仍處于有聯系的程序型水平(C).保持課堂小結討論這節課的學習收獲(分組的依據,規律,目的等)由于時間有限,已臨近下課,老師直接給出了本堂課的小結且在說明時也略顯倉促,致使任務處于無聯系的程序型水平(B).降低

(2)教師強調學生對數學意義的解釋.在學生練習時教師關注的是學生正在做什么和正在思考什么,而不僅僅只是答案的正確性,通過不斷追問: “這步是在做什么?為什么這樣分組?依據是什么”等來要求學生解釋思維過程,從而促進學生的意義理解.

(3)學生成功的示范.在探究和練習任務中即使學生在分解中遇到困難,老師也并非直接講解先包辦學生的思維,而是給予適當充足的時間思考,堅持要學生參與到她所期望的高水平過程中,然后請完成較好的學生通過口答、上臺板書、投影等展示其做法并要求對每一步進行解釋.像是在解決a2+2a-9b2-6b因式分解中,老師選擇投影來呈現學生錯誤和正確的分組方式,以此暴露出學生的思維過程,從而讓學生進一步理解分組的意義.在過程中盡可能多的展示各種不同的分組方式,以啟發學生的思維.例如: 因式分解am+bm+abm+m老師分別請三位同學展示了三種方法,前兩種方法是先分組后提公因式,兩者在分組方式上不同,而第三種方法是先提公因式后分組,由此老師提出: “到底是先分組還是先提公因式?”這個問題來引發學生思考.

由此可以看出,盡管學生的認知參與程度決定他學到了什么,但教師對學生的思維和推理的支持方式和程度是決定高水平任務最終命運的一個重要因素[1].

然而,本節課中高認知水平任務下降的主要原因是時間有限.本節課的容量比較大,整節課學生一共完成了13道因式分解題目,雖然探究的時間比較充足,但討論時間很短,以致學生在總結分組依據及規律時沒能概括的完整清楚.也由于時間原因,老師沒能按計劃完成拓展應用的環節而直接進入了最后的課堂小結,但在小節中也沒有給學生回顧反思的時間,而是自己給出了本堂課的小結,也從側面反映出教師沒有意識到該教學環節對學生形成知識網絡,提高元認知能力有很大幫助,重視程度不夠,只是流于形式,致使認知水平降低.

3.總結

數學任務是個非常活躍的教學變量,一旦被釋放到真正的教室環境中,其特性將會發生變化[2].如在本節課中組織階段的處于做數學水平的任務在實施階段下降為無聯系的程序型任務,而在現代課堂中高認知水平的任務出現頻率逐漸上升,如何使任務在實施階段保持高認知水平,值得教育工作者和研究者進一步思考.

[1][美]Stein M.K.等,李忠如譯.實施初中課程標準的教學案例[M].上海: 上海教育出版社,2001.

[2]姚靜,宋偉倩,康劍平.他們為什么在應用題上失敗了[J].課程教材教法,2003.5

[3]黃興豐,程龍海,李士锜.從認知角度分析數學教學任務[J].上海教育科研,2005.5

[4]袁思情,基于“數學教學任務”的課堂實錄研究[J].中學數學月刊, 2011.2