絕對(duì)值三角不等式的基本模式及其應(yīng)用*

●周順鈿 (杭州高級(jí)中學(xué) 浙江杭州 310003)

絕對(duì)值三角不等式的基本模式及其應(yīng)用*

●周順鈿 (杭州高級(jí)中學(xué) 浙江杭州 310003)

文章對(duì)絕對(duì)值三角不等式的基本模式進(jìn)行解析，并結(jié)合近幾年浙江省數(shù)學(xué)高考、學(xué)考和競(jìng)賽試題，分析了該模式的解題功能，肯定了思維定勢(shì)正遷移的積極作用.

絕對(duì)值三角不等式；2邊夾逼；模式識(shí)別；思維定勢(shì).

靜心細(xì)思近年來浙江省數(shù)學(xué)高考、學(xué)考和競(jìng)賽試題，對(duì)絕對(duì)值三角不等式這個(gè)基本模式的考查頻率之高，令人印象深刻.尤其是2016年浙江省數(shù)學(xué)高考，選擇、填空、解答這3種題型的壓軸題，都能找到絕對(duì)值三角不等式的影子，幾乎達(dá)到了登峰造極的地步.

1 絕對(duì)值三角不等式的基本模式

圖1

在△ABC中，由“三角形兩邊之和大于第三邊、兩邊之差小于第三邊”可得

||a|-|b||<|a+b|<|a|+|b|，

對(duì)任意向量a,b，有不等式

||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|

成立，其中：

1)當(dāng)a,b至少有1個(gè)為零向量時(shí)，有

|a+b|=|a|+|b|.

2)當(dāng)a,b均為非零向量時(shí)，

①當(dāng)a,b不共線時(shí)，

||a|-|b||<|a+b|<|a|+|b|；

②當(dāng)a,b共線同向時(shí)，

|a+b|=|a|+|b|；

③當(dāng)a,b共線反向時(shí)，

||a|-|b||=|a+b|<|a|+|b|.

評(píng)注 以-b替代b，有不等式||a|-|b||≤|a-b|≤|a|+|b|成立，它也可以由△ABD邊的關(guān)系得到幾何解釋.

這就是向量形式下的絕對(duì)值三角不等式.特別地，當(dāng)向量a,b的起點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)O重合、終點(diǎn)落在x軸上時(shí)，上述不等式就轉(zhuǎn)化為實(shí)數(shù)形式下的絕對(duì)值三角不等式：

||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|.

其中等號(hào)成立的條件是：

①|(zhì)a+b|=|a|+|b|?ab≥0；

②|a-b|=|a|+|b|?ab≤0；

③|a+b|=|a|-|b|?(a+b)b≤0；

④|a-b|=|a|-|b|?(a-b)b≥0.

推論 |a-c|≤|a-b|+|b-c|.

推廣 |a1+a2+…+an|≤|a1|+|a2|+…+|an|.

一般情況下所討論的向量空間(如實(shí)數(shù)空間、復(fù)數(shù)空間、Rn)都是很特殊的距離空間(線性賦范空間)，其中有一個(gè)很重要的性質(zhì)叫做三角不等式，這正是絕對(duì)值不等式的一個(gè)縮影，這里的絕對(duì)值就是一個(gè)范數(shù).

絕對(duì)值三角不等式是人教版《數(shù)學(xué)(選修4-5)》“不等式選講”中的內(nèi)容，《浙江省高考數(shù)學(xué)考試大綱》明確要求考生：掌握不等式||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|及其應(yīng)用，它是數(shù)學(xué)解題的一個(gè)重要模式，也是浙江省數(shù)學(xué)高考的重要考點(diǎn)之一[1].

2 絕對(duì)值三角不等式的模式應(yīng)用

2.1 基本模式的正用

( )

(2016年4月浙江省數(shù)學(xué)學(xué)考試題第18題)

分析 由題意：總存在x0∈[1,2]，使得f(x0)≥m成立，只需m≤f(x)max,x∈[1,2].記f(x)max=h(a,b),對(duì)任意的實(shí)數(shù)a,b，總存在x0∈[1,2]，使得f(x0)≥m成立，即m≤h(a,b)min，亦即

m≤(f(x)max)min,其中x∈[1,2].

,當(dāng)且僅當(dāng)(2-a-b)+(1-2a-b)=0時(shí)，等號(hào)成立，因此

評(píng)注 對(duì)既有存在又有任意的函數(shù)問題，常常轉(zhuǎn)化為相應(yīng)函數(shù)的最值問題.

例2 已知函數(shù)f(x)=x2+ax+b(其中a,b∈R)，記M(a,b)是|f(x)|在區(qū)間[-1,1]上的最大值.

1)證明：當(dāng)|a|≥2時(shí)，M(a,b)≥2；

2)當(dāng)a,b滿足M(a,b)≤2時(shí)，求|a|+|b|的最大值.

(2015年浙江省數(shù)學(xué)高考理科試題第18題)

M(a,b)= max{|f(-1)|,|f(1)|}≥

圖2

即

而|a|+|b|=t>0在aOb坐標(biāo)系內(nèi)表示的圖形是以O(shè)為中心、對(duì)角線與坐標(biāo)軸重合的正方形(如圖2所示)，由數(shù)形結(jié)合可知，當(dāng)a=±2，b=-1時(shí)，|a|+|b|的最大值為3.

當(dāng)ab≥0時(shí)，

|a|+|b|=|a+b|≤3；

當(dāng)ab<0時(shí)，

|a|+|b|=|-a+b|≤3.

故當(dāng)a=±2,b=-1時(shí)，|a|+|b|的最大值為3.

評(píng)注 特殊賦值、合理配湊并結(jié)合不等式的基本性質(zhì)，是證明含絕對(duì)值不等式的行之有效的方法.

(2016年浙江省數(shù)學(xué)高考理科試題第15題)

a2+2a·b+b2≤6.

a2-2a·b+b2≤6.

(或從極化恒等式入手

|a+b|2+|a-b|2=2(|a|2+|b|2)=10，

評(píng)注 向量問題的核心是向量的加、減運(yùn)算及其幾何意義，以及數(shù)量積的幾何意義.本題解法很多，但結(jié)合絕對(duì)值三角不等式求解，獨(dú)辟蹊徑，呈現(xiàn)了數(shù)學(xué)的和諧之美.

1)證明：|an|≥2n-1(|a1|-2)；

(2016年浙江省數(shù)學(xué)高考理科試題第20題)

分析 本題是以不等關(guān)系給出的遞推數(shù)列.這是近年來罕見的，許多考生望題生畏，輕言放棄，實(shí)在是很可惜.

1)根據(jù)絕對(duì)值三角不等式，已知條件可以弱化為

即 |an+1|≥2|an|-2.

(1)

如果將式(1)中的不等號(hào)改為等號(hào)，那么數(shù)列{|an|}滿足的遞推關(guān)系就是我們熟知的一階線性遞推式，它可以往“等比、等差”2個(gè)方向進(jìn)行轉(zhuǎn)化.

等比方向：式(1)可進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為

|an+1|-2≥2(|an|-2)，

依此傳遞可得

|an|-2|≥ 2(|an-1|-2)≥22(|an-2|-2)≥…≥

2n-1(|a1|-2),

于是

|an|>|an|-2≥2n-1(|a1|-2).

等差方向:式(1)的2邊同除2n+1，得

于是

|an|>2n-1(|a1|-2).

(或用反證法來說明.假設(shè)存在n0∈N*，使|an0|>2，則

于是

這與m的任意性矛盾.)

評(píng)注 本題有2個(gè)轉(zhuǎn)化是很關(guān)鍵的：一是通過絕對(duì)值三角不等式將已知不等式弱化，化歸為一階線性遞推關(guān)系；二是再將弱化的不等式化歸為等比或等差累加這2個(gè)基本類型.第2)小題證明該數(shù)列項(xiàng)的有界性，這在《數(shù)學(xué)分析》課程里是比較常見的變形技巧，如今出現(xiàn)在2016年的數(shù)學(xué)高考中，可能又會(huì)形成日后新的熱點(diǎn).

3 取等條件的應(yīng)用

分析 因?yàn)?/p>

1= sin2x-f(x)+f(x)+cos2x≤

|f(x)-sin2x|+|f(x)+cos2x|≤

所以

即

評(píng)注 “2邊夾逼，化不等為相等”是解決本題的關(guān)鍵.

例6 設(shè)復(fù)數(shù)z1=(2-a)+(1-b)i,z2=(3+2a)+(2+3b)i,z3=(3-a)+(3-2b)i,其中a,b∈R.當(dāng)|z1|+|z2|+|z3|取得最小值時(shí)，求3a+4b的值.

分析 觀察易得

z1+z2+z3=8+6i，

于是

|z1|+|z2|+|z3|≥|z1+z2+z3|=10.

|z1|+|z2|+|z3|取得最小值當(dāng)且僅當(dāng)

解得

從而

3a+4b=12.

(2016年浙江省數(shù)學(xué)高考理科試題第8題)

分析 本題要確認(rèn)哪個(gè)選項(xiàng)的條件能保證a，b，c是有界的.對(duì)于選擇題，宜從特例入手，避免小題大做.

取a=b,c=-a2-a，則a的取值范圍無界，故不合題意；

則a的取值范圍無界，故不合題意；

下面證明選項(xiàng)D是正確的.

根據(jù)絕對(duì)值三角不等式

1≥|a2+b+c|+|a+b2-c|≥|(a2+b+c)+(a+b2-c)|，

當(dāng)且僅當(dāng)(a2+b+c)(a+b2-c)≥0時(shí)取到等號(hào)，

于是

a2+b+a+b2≤1，即

于是

故

再由絕對(duì)值三角不等式

|c|-|a2+b|≤|a2+b+c|≤1,

得

|c|≤1+|a2+b|，

同理可得

|c|≤1+|a+b2|，

相加得2|c|≤2+|a2+b|+|a+b2|≤ 2+a2+b2+|a|+|b|.

若ab≥0，則

評(píng)注 解決數(shù)學(xué)問題應(yīng)該從正確理解概念出發(fā)，抓住概念的本質(zhì)，制定解題的策略.根據(jù)絕對(duì)值三角不等式，4個(gè)選項(xiàng)的條件依次可以弱化為

模式識(shí)別是重要的解題思想，絕對(duì)值三角不等式是數(shù)學(xué)解題的一個(gè)重要模式.在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程中，所積累的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)經(jīng)過加工，會(huì)得出有長(zhǎng)久保存價(jià)值或基本重要性的典型結(jié)構(gòu)與重要類型——模式，將其有意識(shí)地記憶下來，并作有目的地簡(jiǎn)單編碼，當(dāng)遇到一個(gè)新問題時(shí)，我們辨認(rèn)它屬于哪一類基本模式，聯(lián)想起一個(gè)已經(jīng)解決的問題，以此為索引，在記憶貯存中提取出相應(yīng)的方法來加以解決，這就是模式識(shí)別的解題策略.

從思維的角度看，模式識(shí)別的解題策略體現(xiàn)了思維定勢(shì)正遷移的積極作用.“遇新思陳，推陳出新”無非是為了在當(dāng)前問題與頭腦中已有的知識(shí)、經(jīng)驗(yàn)之間建立聯(lián)系，以誘發(fā)積極有用的思維定勢(shì).專家與普通人在解決問題時(shí)之所以會(huì)有區(qū)別，一個(gè)很重要的原因就在于專家能迅速找出貯存在大腦中的模式，作為檢索問題解法的索引，從而大大減少搜尋的時(shí)間[2].

[1] 人民教育出版社課程教材研究所.普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書·數(shù)學(xué)(選修4-5)[M].北京：人民教育出版社，2005.

[2] 羅增儒.數(shù)學(xué)解題學(xué)引論[M].西安：陜西師范大學(xué)出版社，1997.

??2016-09-23；

2016-10-25

周順鈿(1965-)，男，浙江紹興人，浙江省特級(jí)教師.研究方向：數(shù)學(xué)教育.

O122.3

A

1003-6407(2017)03-16-05