拉格朗日中值定理的教學設計

趙薩日娜

（吉林省經濟管理干部學院，吉林長春 130000）

1 教學背景

學生通過前期教學，對于學習本節課的相關知識基礎而言,基本掌握了直線的斜率公式、直線的方程、函數的連續性及閉區間上連續函數圖像的特點、導數的幾何意義和基本求導公式。學生的逆向思維、創造思維、邏輯思維能力有待進一步開發和鍛煉。

2 教學目標

通過本課教學使學生理解拉格朗日中值定理及其幾何解釋；了解構造輔助函數的思想方法和用羅爾定理證明拉格朗日定理的方法；掌握羅爾定理與拉格朗日定理的關系。從而達到鍛煉學生逆向思維、創造思維、邏輯思維的目的。

3 教學方法

主要采用講授法、數形結合法、啟發式教學等。

4 教學內容

4.1 羅爾定理及其幾何意義

若函數 f（x）滿足：（1）閉區間[a,b]上連續；（2）開區間（a,b）內可導；（3）f（a）=f（b），則在開區間（a,b）內至少存在一點 ξ，使得 f′（ξ）=0。 其幾何意義如（圖 1）：在端點同高的連續光滑曲線弧AB上至少有一點C,在該點處的切線是水平的。

圖1

圖2

4.2 拉格朗日定理的引出

指出定理中條件(3)f（a）=)f（b）較為苛刻,提出若去掉此條件,即，將圖1傾斜一定的角度觀察，會產生什么結論？從而引出拉格朗日中值定理。

注意,先讓學生獨立思考兩分鐘,然后提問學生,引導其從幾何圖形的變化入手得到新結論：即如圖2拉格朗日定理的幾何解釋——連續光滑曲線弧AB上至少有一點C,在該點處的切線是平行于弦AB的。

再根據幾何解釋得到其內在的數量關系：

若函數 f（x）滿足：（1）閉區間[a,b]上連續；（2）開區間（a,b）內可導，則在開區間（a,b）內至少存在一點ξ，使得

4.3 拉格朗日定理的證明

思路：構造輔助函數g（x）,要求其滿足羅爾定理條件,尤其是 g（a）=g（b）…（1）,同時由羅爾定理結論能使

證明的關鍵是構造輔助函數,方法很多,主要借助逆向思維、創造思維.這里介紹兩種典型方法。

因此，可構造輔助函數,

已知有g（a）=g（b），滿足輔助函數的兩個要求。由羅爾定理證得拉格朗日定理。

圖3

如圖3，由弧AB與弦AB端點重合的特點，試取處，其對應的弧AB上點M與 弦AB上點N的縱坐標之差為輔助函數:

則有 F（a）=F（b）=0 且

滿足了構造輔助函數的兩個要求。于是由羅爾定理,稍加整理證得拉格朗日定理。

4.4 拉格朗日定理的應用舉例

應用拉格朗日中值定理推得了用函數在區間上一階導數符號判斷函數的單調性的方法。

應用拉格朗日中值定理推得了函數在某區間上一階導數恒為零，則此函數在此區間上是常數。

例 1：設不恒為常數的函數 f（x）在[a,b]上連續,在（a,b）內可導,且 f（a）=f（b）。 試證在開區間（a,b）內至少存在一點 ξ，使得 f（ξ）＞0。

分析：依題設可知f（x）在[a,b]上滿足羅爾定理條件，而結論為導函數在某點處的值大于零，因此不能用羅爾定理，可設想，如果能利用拉格朗日中值定理，而 f（x2）-f（x1）與 x2-x1同號，則命題可證。為此構造區間。

證：因為 f（a）=f（b）,且 f（x）不為常數,因此至少存在一點 c∈(a,b),使得 f（c）≠f（a）＝f（b）。不妨設 f（c）＞f（a），在[a,c]上f（x）滿足拉格朗日中值定理條件,故至少存在一點，使由于 f（c）＞f（a）,c＞a,可知 f′（ξ）＞0,證畢。

5 教學小結

在現如今高等數學教學越發的講究實用主義教學的大環境下，為使學生更多地領悟數學的精神實質和思想方法，使學生自覺地接受數學文化的熏陶，講清楚一些經典的、重要定義、定理的來龍去脈是非常必要的，尤其應該講清楚邏輯證明的思路及過程，使學生體會嚴密有理、絲絲入扣的數學邏輯之美。

[1]張澤林.關于拉格朗日(Lagrange)中值定理的教學設計[J].咸寧學院學報,2005(6):24-26.

[2]黃強聯,朱蘭萍.關于Lagrange中值定理的逆命題[J].高等數學研究,2012,15(5):15-16.

[3]劉三陽,楊國平.關于Lagrange中值定理的反問題[J].高等數學研究,2007(5):40-41.