理錯教學：為數學理解而教

◎楊萬東

理錯教學：為數學理解而教

◎楊萬東

在學生學習數學的過程中，理解學生差錯不僅僅是一門藝術，更是一門學問。于是，我們進行了小學數學“理錯教學”的實踐研究。近年來，我和團隊成員們致力于“理錯教學”的實踐研究，在“理錯”課堂中與學生一起共生共長。

一、理錯教學的內涵詮釋

《說文解字》中說：“理，治玉也。”也就是把玉從石中加工出來。在數學課堂上，學生的差錯就是璞玉。理錯就是把學生的錯誤資源當作一塊“璞玉”，老師及時進行剖析、加工、引導，從而讓學生的錯誤資源成為學生成長的媒介。所謂“理錯教學”，是指把學生在課堂教學中出現的差錯作為一種教學資源，及時理睬學生的差錯資源，讓學生“理會”差錯資源的來龍去脈，通過教師的“理答”，引導學生將差錯“理整”，建構自己的知識體系，進而讓學生“理解”差錯，實現少出錯乃至不出錯的目的。

二、理錯教學的價值訴求

（一）理解教育的縱向拓展

理解教育為全國教學論專業委員會副主任、華東師范大學理解教育研究所所長、博士生導師熊川武教授所開創。他認為，教育應該“理解學生，教在心靈；理解老師，勤學奮進；理解自己，塑造人生；理解他人，和諧共存”。隨著理解教育研究的深入，“理解型學習”的概念逐漸被廣大研究者和一線教師所認可。理解學生數學學習差錯，成為一個很有必要且十分重要的研究話題。從這個意義上來說，理錯教學是理解型學習的具體闡釋，也是理解教育的實踐表達。

（二）化錯教學的橫向補充

“化錯教學”是全國著名特級教師華應龍老師的教學主張。其核心要義就是教師能夠藝術地處理隨機生成的差錯，巧妙地彰顯了差錯的寶貴價值，促進學生身心化入到創造性學習活動中。他把化錯教學分為三個階段，即“容”“融”“榮”。培養學生直面錯誤、超越錯誤的求真人格，從而將教學活動引向心靈深處。理錯教學，就是從兒童立場的另一個視角出發，探尋適合學生數學學習的存在方式，達到既提高教學質量又提升育人質量的目的。

（三）有效學習的有機整合

在數學教學中，“錯”字當頭，能否容納，取決于數學教師的見識和胸懷。理錯教學首先要求教師尊重學生。不管孩子在課堂上出現什么差錯，教師都應該尊重他們的想法，給他們自主探究的空間。這就要求教師給學生創造可以出錯的時空。這既是對出錯過程的深刻反思，也是對差錯育人的獨特欣賞。因此，加強小學數學理錯教學的研究，不僅有助于提高學生有效學習的效度，而且有助于提高小學生的質疑品質與創新意識。

三、理錯教學的實踐樣態

“理錯教學”包括“理踩”—“理會”—“理答”—“理整”—“理解”五個階段。這是理錯教學的教學過程，也是理錯教學的操作策略。

（一）第一階段：理睬——遇見“錯”

數學家華羅庚說：“天下只有啞巴沒有說過錯話，天下只有白癡沒有錯過問題，天下沒有數學家沒算錯過題。”在數學課堂上，學生出錯是一件正常的事。學生出錯，教師要像發現新大陸一樣，以積極的態度及時理睬差錯資源，善于發現差錯資源背后隱藏的獨特價值，為后續教學過程做好鋪墊。例如，一年級學生在解答這道題：“小朋友們排成一隊去操場，從前往后數，小明是第5個，從后往前數，小明是第4個，一共有多少個小朋友？”常常有學生列出“5+4=9（個）”的錯誤算式，對此教師不必生氣。教師要能正確地預見學生的錯誤結果，并以寬容的心態甚至欣賞的眼光去對待學生。羅杰斯先生說過：“只有心理安全、心理自由，才能創造。”學生心理安全了，教師才能傾聽到孩子內心深處最真實的想法。課堂上有差錯，實質性的數學學習活動才會真正發生。理睬，讓課堂上的差錯資源這塊“璞玉”，得以發現，得到關注。

（二）第二階段：理會——懂得“錯”

心理學家蓋耶指出：“誰不考慮嘗試錯誤，不允許學生犯錯誤，就將錯過最富有成效的學習時刻。”課堂是允許孩子出錯的地方。有益的數學學習，是一個不斷嘗試錯誤的學習過程。“一花一世界，一葉一菩提。”同一道題，不同的學生，有著不同的思維。教師要引導學生充分暴露錯誤的思維過程，讓學生們在比較、辨析、思辨中發現錯誤。例如，教學“平行四邊形的面積計算”一課，課始教師創設教學情景后，組織學生猜想平行四邊形的面積的計算公式。不少學生猜想“平行四邊形面積是兩條相鄰的邊的乘積”，這是因為長方形和正方形的面積計算都是用相鄰兩條邊相乘得到的。學生的這種錯誤思維是受到頭腦中思維定勢（長方形和正方形的面積計算公式）影響的。當教師弄清楚學生出現差錯背后的原因后，就能有的放矢地引導學生認識差錯，從而將教學活動引向深入。理會，讓學生充分暴露數學思維過程，使教師明白學生的困惑，進而有效地幫助學生。

（三）第三階段：理答——糾正“錯”

波普爾說：“那些不愿冒著被證偽的危險去發表自己觀點的人，不能參加科學游戲。”暴露數學思維過程，有些學生能夠主動發現差錯的根源，但有些學生無法明白。這時，教師的理答尤為必要。學生講解思維過程后，教師要及時進行反應和處理。有效的理答直接關系到學生對差錯資源的深化。在課堂教學中，面對不同類型的學生，教師進行智慧的理答就不僅僅是簡單的表揚和激勵，還包括思維的幫助，智慧的啟迪，善意的提醒，嚴格的要求和良好習慣的培養。例如，教學“256－199”時，有的學生計算結果是55，思考過程是這樣的：256－200－1=56－1=55。學生在講解的過程中并沒有發現計算過程出錯。怎么辦？教師可以分兩個層次來處理：一是從檢驗的角度，讓學生想辦法來驗算。學生容易想到：199+55，這時學生意識到，個位數字相加后末尾數字是4不是6，正確結果應該是254不是256，原來的計算結果是錯誤的。二是從算理的角度，引導學生聯系生活實際來了解算理，比如創設到超市購物的情景，小明帶了256元，買東西用去199元，付給營業員200元，營業員找回1元，現有257元。這樣的引導，情境合情合理，算理通俗易懂。肯尼基·胡德說：“教學的藝術在于如何恰當地提出問題和巧妙地引導學生作答。”數學是一門具有理性美的學科。數學課堂上，教師話不在多，在于精。教師“理”在難點處，“問”在關鍵處，學生的思維才能直抵差錯根源的核心地帶。

（四）第四階段：理整——建構“錯”

奧斯卡·維爾德說：“經驗是人們給所犯的錯誤取的名字。”教師要讓學生明白，不要害怕出錯，更要知道出錯的意義——出錯、糾錯，這是通向真理的必經之路。在教學中，我們為每位學生準備了一本《錯題集》，讓學生將數學學習過程中的差錯記錄下來。《錯題集》格式包括“錯題來源”“錯誤結果”“錯因分析”“正確過程”“解題注意點”“類似習題”。我們鼓勵學生改編或創編與原題類似的習題，幫助學生建構更為穩定的知識結構和方法結構。比如，解答“有兩根同樣長的繩子，第一根剪去米，第二根剪去，哪一根剪去的長一些？”時，有出錯的學生編出這樣的“類似習題”：“有兩根同樣長的木料，第一根用去米，第二根用去，哪一根剩下的長一些？”變情境、變數據、變問題，但思考問題的方法沒有變。這樣的“類似習題”有助于檢驗學生有沒有真正弄懂原題的核心知識。在教學中，教師還可以鼓勵孩子以題組訓練的方式整理易錯的差錯資源，以便于學生從整體上建構知識。

（五）第五階段：理解——提升“錯”

佛家有三重境界：“山是山，水是水；山不是山，水不是水；山還是山，水還是水。”同樣，對學生的出錯而言，也應該有三重境界：“差錯是差錯，差錯不是差錯，差錯還是差錯。”我們認為，第一重境界對應“一道題”，第二重境界對應“一組題”，而第三重境界對應“一類題”。通常在每個單元結束，我們讓學生根據出錯原因將差錯資源進行分類整理，比如“知識缺陷”“方法不當”“思維不足”等，這樣可以幫助學生站在單元知識系統的角度來理解知識。每冊教材結束，嘗試讓學生從數學思維的角度來梳理差錯資源，并鼓勵學生分類匯編，或復印、或抄寫，剪貼成習題庫，甚至還可以創編數學試卷。“知其然，又知其所以然。”遇到類似習題時，學生就能主動領會知識要點，自覺建構思維結構，從而真正理解，以達到不出錯的目的。

差錯，猶如沙灘上美麗的貝殼。課堂上，不怕出錯，允許出錯，不是鼓勵出錯，也不會提倡出錯。少出錯甚至不出錯仍然是我們追求的目的。面對差錯，教師要善于發現它的美麗價值，按照“理踩”“理會”“理答”“理整”“理解”的操作要點，讓數學學習充滿生長的智慧，從而實現從差錯中掌握知識、習得方法、提升思維乃至擁有智慧的目的。

（作者單位：江蘇省南通經濟技術開發區教師發展中心）

（責任編輯：楊強）