在動態中演繹，在問題中探究
——對“平面與平面垂直”一課引發的立體幾何教學思考

夏利杰

（山東省濟南中學，山東濟南 250001）

在動態中演繹，在問題中探究
——對“平面與平面垂直”一課引發的立體幾何教學思考

夏利杰

（山東省濟南中學，山東濟南 250001）

立體幾何的教學是高中數學教學的重要組成部分，三維空間是人類生存的現實空間，認識空間圖形，培養和發展學生的空間想象能力，推理論證能力、運用圖形語言進行交流的能力以及幾何直觀能力，是數學課程標準的基本要求。根據學生的認知特征和立體幾何的特點，積極探索適合學生的教學方式。

直觀感知體驗；問題探究；空間想象能力；邏輯思維能力

英國著名數學家M.阿蒂亞曾認為，幾何是直觀邏輯，代數是有序邏輯。這表明，幾何不只是一個數學分支，而且是一種思維方式，它滲透到數學的所有分支。因此，培養學生的幾何直觀能力、把握圖形的能力就成為高中學習幾何的主要目的。“空間想象能力”是我國著名數學家華羅庚提出的，幾何直觀能力是本世紀最著名的數學家希爾伯特提出的，這兩種能力對于學生思維的發展和對數學本質的理解都是非常重要的。在教學過程中，教師要更加關注通過對整體圖形的把握去培養和發展空間想象能力，通過“直觀感知、操作確認、觀察發現、思辨論證”等學習過程，培養學生的數學思維能力。本文以平面與平面垂直一課為例，談一點在立體幾何授課方面的體會。

1 動手操作，直觀感知，在動態中學習定義

在講授面面垂直的定義時，筆者設計了這樣的教學環節。

探究學習1：利用你手中的正方形紙（1）對折（2）沿對角線折，使紙片折后兩部分分別所在的平面互相垂直，仔細觀察體會，你能試著給出面面垂直的定義嗎？

此環節老師邊巡視邊組織學生觀察，同時把制作好的幾何畫板動畫在投影上展示，設置這一環節的目的是通過動手折紙迅速的把學生組織到教學中來，同時，沿對角線折紙是為了更清晰的感知面面垂直的概念。在學生動手折紙的同時，老師要注意培養學生主動發現、自我歸納的能力，比較不同的折疊方式背后的相同點以構建面面垂直的概念，這個環節除了根據已經完成的折紙實踐之外，老師還可利用我們立體幾何中重要的載體——長方體，引導學生加深對面面垂直的認知，以深化概念，從而突破教學難點！

2 從生活到定理，探究中發現真理

學生的認知是一個由簡單到復雜，由現象到本質逐步深化升華的過程，那么在數學的課堂教學上，我們要引導學生主動地以“實踐、探索、體驗、碰撞、發現”為中心，進行自主探索式學習，使學習過程成為沿著知識發生和發展過程的再實踐、再探索、再體驗、再發現的創造性活動。

讓課堂上的數學真正回歸到數學的本質。筆者首先安排了下面的探究。

探究學習2：（1）旋轉門在轉動的過程中，門和地面的關系是怎樣的？里面蘊含了怎樣的數學原理？

這個探究活動猜想面面垂直的判定，但僅有猜想是不夠的，接下來帶領學生經過嚴格的邏輯證明，得出兩平面垂直的判定定理，當然也要指導學生達到文字語言、圖形語言與符號語言的緊密結合！得出面面垂直的判定以后，對我們的生活有什么實際意義呢？我安排了一個小環節。

學數學，用數學：如果你是一個質檢員，你怎樣去檢測、判斷建筑中的一面墻和地面是否垂直呢？

這個小環節不但使學生體會到數學是從生活中來到生活中去的一門學科，還進一步落實了面面垂直的判定定理。為了突出本節課的教學重點，筆者緊接著設置了一個例題。

學以致用1：

例1.已知RTΔABC中，AB=AC=a,AD是斜邊BC上的高，以AD為折痕使∠BDC成直角。求證：（1）平面ABD平面⊥BDC,平面ACD平面⊥BDC；（2）∠BAC=60°

這是一個折疊問題，折疊問題能更好地考察學生的空間想象能力，在折疊的過程中，哪些量變化了，哪些量沒有發生改變需要每個同學獨立解決，對于學有困難的學生，我們剛才的正方形紙片也恰好派上用場，手中的紙一擺，變與不變，立刻呈現，這也是逐步培養學生空間立體感的有效手段!

3 合作探究學定理本質，規范嚴密加強邏輯推理

遵循學生的認知規律，以問題引導學習，體現數學知識、學生認知的過程性，促使學生主動探究，培養學生的創新意識和應用意識，是數學教學的目標所在。在學習面面垂直的性質定理時，筆者安排了另一個探究學習。

探究學習3：在剛才的命題中，直線AB，平面α，平面β有以下三種關系平面α⊥平面β，構造一個新的命題直線AB⊥平面β，請同學們用書本、課桌和筆搭出模型，積極思考，判斷命題的真假。如果真，請證明，如果假，那么再添什么條件才能成立呢？

這組命題，通過互換面面垂直判定中的條件和結論組成新的命題，借以猜想面面垂直的性質，這個問題的探究大膽的放給學生討論，，讓學生以筆為線，以書本和桌面為面，整個位置關系的感知確認以學生分組討論的方式進行，討論之后每組派一名代表發言，這樣即培養了學生的協作意識，又化解了教學難點。這個環節的設計讓學生體會到立體幾何的學習生活化，可操作化。學生也在擺放的過程中能進一步鞏固所學，強化新知！

通過操作探究擺放得出的面面垂直的性質同樣需要嚴格的證明與三種語言的統一。

為了鞏固教學重點和進一步理解難點，筆者設置了下面的練習。

學以致用2：

判斷下列命題是否正確。

（1）平面α⊥平面β,則平面α內的任意一條直線必垂直于平面β（ ）

（2）平面α⊥平面β,α∩β＝l，則垂直于交線l的直線必垂直于平面β（ ）

（3）已知平面α⊥平面β,則過平面α內任意一點作交線的垂線，此垂線必垂直于平面β（ ）

（4）平面α內的一條直線和平面β內的無數條直線垂直，則平面α⊥平面β（ ）

（5）過平面α外一點P有且只有一個平面和平面α垂直（ ）

學以致用3：見課本例題，不再詳述。

（1）～（3）是為了考察面面垂直的性質，（4）～（5）是為了考察面面垂直的判定。對于學以致用3，有兩個意圖，一是為了鞏固面面垂直的性質，當然在這個問題的解決過程中，剛才的正方形紙片的對折恰是我們的實物模型，可拿來觀察幫助解決問題，同時通過老師的精心設計動畫，讓學生在驚喜中看到CD的長實際就是長方體的體對角線，對于學生的空間想象和幾何直觀能力的培養都會有所幫助！

4 教無止境，研無止境

平面與平面垂直是一節傳統課，新教材把面面垂直的定義、性質與判定放在一個課時里，所以筆者心里始終覺得內容多任務重，從開始上課就心里始終想著節約時間以便完成教學任務，這種急躁使得課前的“靜態設計”與課上的“動態生成”之間產生了小矛盾，在面面垂直的定義學習過程中占用時間稍多，導致后面定理的推導與應用顯得落實不是特別扎實。同時，正因為時間上的緊張，對于課上個別學生偶然冒出的思維沒有過多的關注，因此在上課中捕捉到的課堂生成資源很少，這與學校提倡的“綠色教學”理念尚不相符。

教無止境，學無止境，研無止境。上完本節課，感覺：教而不研則淺，研而不教則空。數學教學不是枯燥乏味、一成不變的工作，而是一門博大精深、不斷創新的學問。如何把一節課教得本質、平易近人又能讓學生學得愉快，怎樣教給學生“招”最終還能讓學生“無招勝有招”，這些都是我們平時應該多琢磨的地方。同時，理論還需要實踐來提升，教師的本質工作是教書，教會學生學習才是一名稱職的老師。現行的課程改革在繼續進行，在不斷探索的過程中，我們還需要不斷思考不斷交流，共同提高！

[1]中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準（實驗）[M].北京：人民教育出版社,2003.

[2]章建躍.“卡西歐杯”第五屆全國高中青年數學教師優秀課觀摩與評比活動總結暨大會報告理解數學理解學生 理解教學[J].中國數學教育,2010(24):3-7，15.

633.6

A

2096-4110（2017）03（b）-0096-02