高中數學例題有效設計的探索

【摘 要】高中數學教學過程中必須通過多種方式提高學生對知識的理解與認識，而例題是學生學習概念、掌握技能的主要載體，在學生的數學學習中具有重要的引導作用。借助豐富的教學案例，重點從類化例題、變式例題、一題多解、多題一解、學生自主出題的設計5個方面闡述例題的有效設計，以期起到提高數學課堂教學實效的作用。

【關鍵詞】高中數學；例題教學；有效設計

【中圖分類號】G633.6 【文獻標志碼】A 【文章編號】1005-6009（2017）11-0046-02

【作者簡介】林秀芬，福建省晉江市英林中學（福建晉江，362256）教師，二級教師。

例題教學是數學教學的重要組成部分，是教師講課時用以闡明數學概念、數學命題及初步應用的主要途徑，是把知識、技能、思想和方法聯系起來的一條紐帶。在學生的數學學習中例題具有重要的引導作用，通過例題的學習，學生應達到理解數學概念、掌握數學定理和數學公式、完善數學學習方法和豐富數學素養的目的，因而課堂教學中的例題設計就顯得尤為關鍵，教師應根據教材內容和學生實際，精心設計例題，激發學生學習的主動性和創造性，拓展學生的數學思維，提高課堂教學的實效性。

一、類化例題的設計——在歸類對比中前行

在高中數學的教學中，存在著很多混淆不清的問題。可以將這些問題分類歸檔，進行有效組合，把所學的相關知識點集中體現在例題中，并集中力量解決同類題中的核心問題，總結解這類題的方法和規律，從而達到觸類旁通的目的。

例1：

（1）求f（x）=-ax3+x2+1（a≤0）的單調區間；

（2）已知函數y=ax3+bx2+6x+1的遞增區間為（-2，3），求a，b的值；

（3）函數y=x3-2bx+6在（2，8）內是增函數，求b的取值范圍；

（4）若函數f（x）=x3+x2+mx+1是R上的單調函數，求實數m的取值范圍；

（5）若函數f（x）=lnx-ax2-2x（a≠0）存在單調遞減區間，求a的取值范圍。

通過類化例題的設計，整理了“利用導數研究含參函數單調性”的方法，包括討論“參數求單調區間”“已知單調區間求參數”“已知在某區間上單調性的恒成立問題及存在性問題求參數”的方法和規律。因此，在例題設計時，要有整體意識，在知識交會點處設計問題，在解決問題的過程中提煉數學思想方法。

二、變式例題的設計——在變換轉化中拓展

一題多變，是指教師有目的、有計劃地對命題進行合理的轉化，更換問題中的條件或結論，從而使學生掌握知識的本質屬性。一題多變能展示知識的發生過程，促進知識的遷移；能溝通知識的內在聯系，促進知識網絡的形成；能強化定理公式的條件和適用范圍，培養學生的嚴謹思維。在學生融會貫通所學知識的同時，提高學生的解題能力，培養學生的數學思維，應成為例題教學的重要目標。比如，在新課標人教A版必修2“點到直線的距離公式”講解中設計以下例題。

例2：已知點P（2，-1），求點P到直線3x-4y=0的距離。

變式一：已知點P（2，-1），求過點P且與原點的距離為2的直線l的方程。

變式二：已知點P（2，-1），求過點P且與原點的距離最大的直線l的方程，最大距離是多少？

變式三：已知點P（2，-1），是否存在過點P且與原點的距離為6的直線？若存在，求出方程；若不存在，請說明理由。

表面上看，以上題目都是點到直線距離公式的應用，實際上難度是逐級增加的。例2用點到直線的距離公式即可求出；變式一考慮斜率不存在時是否滿足條件，再利用待定系數法根據點到直線的距離公式建立等量關系，求出斜率；變式二通過數形結合的方式可知過點P與原點O距離最大的直線是過點P，且與PO垂直的直線，求出斜率，利用點斜式可得直線方程，再利用點到直線的距離公式求出距離；變式三只需比較“過P點與原點的距離最大的直線l中最大距離”與6的大小，即可判斷是否存在。

三、一題多解的設計——在主動探究中提效

一題多解就是從不同角度、按不同思路、用不同方法給出同一道例題的解答。一題多解有利于調動學生的學習積極性，在尋求變異中，勇于創新，提高學生的思維能力，積累解題經驗，豐富解題方法，使課堂成為學生合作、爭辯、探究、交流的場所。

例3：中國的春節習俗中，正月初五迎財神，小張所在的某微信群將在當天共24個整點舉行搶紅包活動，已知小張打開手機的時刻是隨機的，求他打開手機等待搶紅包的時間不多于10分鐘的概率。

在教師的引導下，學生通過分析、思考、畫圖，可以得到以下四種解題思路：利用[50，60]時間段所占的面積；利用[50，60]時間段所占的弧長；利用[50，60]時間段所占的圓心角；將時間轉化為長60的線段，研究點位于[50，60]之間的線段的概率。在一題多解中進一步掌握了幾何概型的知識與應用。

四、多題一解的設計——在總結提煉中飛躍

多題一解是用一種數學知識解決不同的數學問題，即學生做了同一知識點的許多習題后，對題目加以歸納、提煉、挖掘其本質特征，以達到事半功倍的效果。

例4：

（1）3男4女排成一列，要求男生互不相鄰，共有多少種排法？

（2）某會議室共有8個座位，現有3人就座，若要求每人左右均有空位，則不同的坐法多少種？

（3）有15盞燈，要求關掉6盞，且相鄰的燈不能全關掉，兩端的燈不能關掉，則不同的關燈方法有多少？

（4）10名同學合影，站成了前排3人，后排7人。現攝影師要從后排7人中抽2人站前排，其他人的相對順序不變，則不同的調整方法有多少種？

以上4道例題，雖內容各不相同，但在解答時都采用了同一種方法：插空法。多題一解的設計可以讓學生通過分析已知條件，抓住問題的本質和規律，真正掌握某一種數學思想方法。

五、學生自主出題的設計——在交流創造中升華

在復習課中，要把單純的知識復習轉變為學生自主梳理所學知識的過程。因為要設計題目、設計好題目，就需要學生用心把教材通讀一遍，這樣的過程就是復習。在這樣設計習題過程中，學生一般都不會分心，能認真復習、積極思考。

例如，在復習導數的公式及運算法則時，以小組合作的形式，每個小組設計2道求函數導數的例題給全班同學解答。

例5（學生設計）：求下列函數的導數。

通過引導學生自己設計例題，讓數學復習課既有一定的新鮮感，又能使學生在復習課上得到相應的訓練，發揮個性，品嘗到學習成功的喜悅。

總之，在數學課堂教學中教師要利用數學學科的特點，根據教學內容，緊扣教學目標設計好例題，加強設計精品例題的意識，以少勝多，以質為上。如果讓學生身處“做題初，趣已生；做題時，趣愈濃；做題終，趣不盡”的學習情趣中，那么我們的例題設計便是有效的。