厘清分數(shù)意義 優(yōu)化學習過程

趙勝華

【摘 要】由“分數(shù)和除法”的教學難點引發(fā)思考，嘗試研讀分數(shù)概念的上位知識，把握分數(shù)概念的本質(zhì)；解讀學生學習分數(shù)的認知障礙，厘清分數(shù)概念的教學體系；引領(lǐng)學生經(jīng)歷規(guī)定“單位量”的重要性，體驗“單位量”的相對性和動態(tài)性，從而優(yōu)化分數(shù)概念的教學。

【關(guān)鍵詞】分數(shù)概念 認知障礙 單位量 優(yōu)化教學

人教版五年級下冊“分數(shù)的意義”單元的第二節(jié)新授課“分數(shù)和除法”是一節(jié)難上的課。用學生的話來描述：本來我有點懂的，越上越糊涂了。課后學生對于“把2平方米的花圃平均分給3個小組，每個小組分到這個花圃的（ ），每個小組分得（ ）平方米”這種類型的題目屢做屢錯，屢改屢錯。為什么會這樣呢？下面一起來看兩則教學實踐的案例。

初次教學實踐

【案例一】

環(huán)節(jié)一：復習鋪墊

把一些餅平均分給4個同學，每人分得幾個？每人分得這些餅的幾分之幾？

初步感知因總數(shù)不一定，每人分幾個無法確定，而每人分得的始終為這些餅的。

環(huán)節(jié)二：探究新知

1.等分1個餅。

（1）如果餅的個數(shù)是1個，那每人分得幾個？每人分得這些餅的幾分之幾？

引導學生列除法算式計算，比較兩個的不同。

（2）如果是這個餅分給3個人呢？分給7個人呢？

引導學生列式計算，強化用分數(shù)單位表示商，凸顯兩個分數(shù)單位的不同意義。

2.等分3個餅。

如果把3 個餅平均分給4個人，每人分得多少個？

3.等分任意個餅。

把（ ）個餅平均分給（ ）個人，每人分得多少個？

學生自己填數(shù)，列算式計算，教師根據(jù)學生的匯報板書。

4.觀察板書，歸納并用字母表示分數(shù)與除法的關(guān)系

【案例二】

環(huán)節(jié)一：直接設疑，引出核心問題

出示“平均分”，提問：你學過的數(shù)學知識中，哪些數(shù)跟“平均分”有關(guān)？

引出課題：分數(shù)和除法有什么關(guān)系？

環(huán)節(jié)二：探索研究分數(shù)和除法的關(guān)系

2.把3塊餅平均分給4個小朋友，每人分得多少塊？

（2）師生一起操作再次驗證3小塊為塊。

3.把3塊餅平均分給5個小朋友，每人分得多少塊？

引導學生列出除法算式，形成板書。

4.觀察板書（如下圖）。

（1）引導學生區(qū)分表示關(guān)系的分數(shù)和表示具體數(shù)量的分數(shù)的相同點和不同點，并嘗試理解為什么可以用這樣的分數(shù)表示除法的商。

（2）小結(jié)：在除法里，被除數(shù)表示總數(shù)，除數(shù)表示份數(shù)；而表示具體數(shù)量的分數(shù)，分子就是總數(shù)，分母就是平均分的份數(shù)。因此，被除數(shù)相當于分子，除數(shù)相當于分母。

5.建立模型，用符號表示分數(shù)與除法的關(guān)系。

環(huán)節(jié)三：練習反思，體驗分數(shù)與除法關(guān)系有什么用？

教學反思

上面兩節(jié)課的引入和探究看似不同，實則兩位教師對“分數(shù)的定義”及對學生的認知情況的判斷是相似的。兩位教師都基于“分數(shù)的份數(shù)定義”，借助操作、觀察、比較，從“具體量”和“分率”的角度理解算理，然后通過不完全歸納得出分數(shù)和除法的關(guān)系。案例一中的教師停留在“被除數(shù)相當于分子，除數(shù)相當于分母”的表面形式，案例二的教師借助推演嘗試引導學生理解“表示具體數(shù)量的分數(shù)，分子就是總數(shù)，分母就是平均分的份數(shù)”，實踐的效果表明僅是教師的一廂情愿，學生并不領(lǐng)情。此外，筆者還收集了十余個該課案例，教學設計及實踐效果與上述案例大同小異。

案例二的教師課后有這樣一句自我評價，“因為我對學生的問題估計不足，試教效果并不十分理想”。筆者認為這是由兩個原因造成的：首先是教師對“分數(shù)概念”的體系認識不清晰；其次是教師對學生認識“分數(shù)意義”思維上的障礙點判斷有誤。具體分析如下。

一、分數(shù)是一個兼具多重意義的數(shù)學概念

Kieren的研究提出分數(shù)的五個構(gòu)想（subconstructs），即部分/整體、比率、商、度量和運作。這五個構(gòu)想不但彼此互相關(guān)聯(lián)，而且還可以從不同的觀點來解釋分數(shù)的意義，其中“部分/整體”是分數(shù)發(fā)展的基礎(chǔ)。國內(nèi)外大部分的研究者認同了這個觀點。張丹教授認為這五個構(gòu)想揭示了分數(shù)作為“量”和“率”兩個維度，需要從四個方面來完成對分數(shù)多重意義的認識。如下圖：

“比率”是指部分與整體的關(guān)系和部分與部分的關(guān)系。對比率的理解，可以幫助學生完成對分數(shù)的基本性質(zhì)以及通分、約分等相關(guān)知識的理解。

“度量”指的是可以將分數(shù)理解為分數(shù)單位的累積。

“商”主要是指分數(shù)轉(zhuǎn)化為除法之后運算的結(jié)果，它使學生對于分數(shù)的認識由“過程”凝聚到“對象”，即分數(shù)也是一個數(shù)，有大小，也可以和其他數(shù)一樣進行運算。

以上四個方面沒有先后之分、主次之別。換而言之，學生要完成對于分數(shù)多重意義的建構(gòu)必須使這四者相輔相成。即不能簡單地理解為到了某個階段就必須或者只能達成對某個維度的學習，其他維度將不再涉及。

現(xiàn)行的小學數(shù)學教材，一般都采用以下的定義：將單位“1”平均分成若干份，表示這樣的一份或幾份的數(shù)叫作分數(shù)。表示把單位“1”平均分成多少份的數(shù)p（p≠0）叫作分母，表示取了多少份的數(shù)q叫作分子。分數(shù)寫成，讀作p分之q。

“份數(shù)定義”的好處是直觀、明白易懂，強調(diào)了“平均”，特別是對“幾分之幾”做了貼切的說明，對理解以后的分數(shù)運算也有很重要的價值。但是，用“份數(shù)”來定義分數(shù)，也有不少缺點。首先，一份或幾份的說法，仍然和自然數(shù)靠得很近，沒有顯示出這是一種新的數(shù)。其次，平均分一個大餅之后其中的一份或幾份的說法，常讓學生誤解為分數(shù)總是小于1（比一個大餅小）。再次，由于分大餅或其他直觀圖的思維定勢，不能適當選擇單位量。

分數(shù)的真正來源，在于自然數(shù)除法的推廣。分數(shù)是由除不盡引起的，除得盡仍是整數(shù)，除不盡就需要增添新數(shù)。“份數(shù)定義”顯示過程，“商定義”表示結(jié)果，由“份數(shù)定義”到“商定義”是數(shù)系的擴充，這就是“分數(shù)和除法”這節(jié)課的目標。

數(shù)學知識的根本特點在于其很強的邏輯性和嚴密性。教學的結(jié)果，不僅應當掌握單個概念，而且還應當掌握每個具體課題和整個數(shù)學課程的完整的概念體系，數(shù)學理論的演繹結(jié)構(gòu)，使數(shù)學概念構(gòu)成了一個具有嚴密層級的體系。因此，幫助學生進行分數(shù)多維意義的關(guān)聯(lián)與整合，形成完善的知識結(jié)構(gòu)，教師首先要建立準確的概念體系，才能使教學有的放矢。

二、學生理解單位量的困難

數(shù)學知識間的內(nèi)在聯(lián)系是非常緊密的，每一部分不是孤立存在，它是前面知識的繼承和發(fā)展，又是后面知識的基礎(chǔ)和鋪墊。站在整體的角度梳理教材“顯性”和“隱形”相結(jié)合的體系，小學階段的“分數(shù)”教學可分為五個階段（如右上圖）。

這五個階段各有側(cè)重，相互滲透、相互補充，共同幫助學生實現(xiàn)對分數(shù)意義理解的不斷發(fā)展和整體建構(gòu)。由此可見，平均分的“等分概念”對于五年級學生是重點但不是難點。那么學生的思維障礙在哪里呢？

在解決分數(shù)問題時最重要的一個概念就是“單位量”，也就是“單位1”。從文獻中發(fā)現(xiàn)學生無論在解決“部分/全部”“子集/集合”或數(shù)軸上的分數(shù)問題時，都有確認單位量的困難。Figueras將學生在處理“部分/全部”及“子集/集合”的分數(shù)問題時，對確認單位量的困難分成三種類型：（1）忽略給定的單位量。犯此類錯誤的學生無法確認問題中的單位量。（2）受分子控制。犯此類錯誤的學生在解決分數(shù)問題時，只考慮到問題中的分子（分割后的量），解題過程深受分子的影響。（3）受分母控制。犯此類錯誤的學生在處理分數(shù)問題時，只考慮到問題中的分母（分割份數(shù)），解題過程深受分母的影響。

從上面的兩個案例中，我們可以看到學生的具體分法雖然不一樣，但借助實踐操作都能準確得出結(jié)果為“3小塊”。學生的困惑點在于受“份數(shù)定義”的影響，造成思維定勢，忽略給定的單位量，默認總數(shù)為單位“1”。

綜合以上分析，筆者做了如下的實踐。

反思后再次教學實踐

【案例】

環(huán)節(jié)一：設疑引出核心問題

出示“平均分”，提問：你學過的數(shù)學知識中，哪些數(shù)跟“平均分”有關(guān)？

引出課題：分數(shù)和除法有什么關(guān)系？

環(huán)節(jié)二：積極探索，研究分數(shù)和除法的關(guān)系

1.出示題目：把3個餅平均分給4個人，每人分得多少個？

2.學生操作驗證。

3.學生展示不同的分法和結(jié)果。

（1）教師不評價，配合學生的想法用動畫演示分餅過程，凸顯分的方法不同，得到的塊數(shù)相同。

充分展示學生的不同意見，將矛盾集中到“3小塊究竟用哪個分數(shù)來表示？”

（學生的思考都有根有據(jù)，所以誰也說服不了誰）

（3）教師干預。

師：對于“每個人分到3小塊”，大家意見是一致的。我們爭論的焦點是有的同學認為3個餅為單位“1”，其他同學認為1個餅為單位“1”，誰也說服不了誰。不規(guī)定一下，我們的交流會很混亂。靜靜地想30秒，你們認為應該以誰為單位“1”比較合適？

生：問題“每個人分到幾個餅”，其實已經(jīng)在告訴我們1個餅為單位“1”了。

師：是的，很多時候大家表達的意思是一致的，但由于每個人設置的標準不同，就會很混亂，聰明的人這個時候就會“規(guī)定一下”，長度單位厘米、分米、米就是這樣發(fā)明的。今天我們就規(guī)定“每人分到幾個餅？”是以1個餅為單位量（同單位“1”）。

環(huán)節(jié)三：優(yōu)化操作方法，腦海里先疊再分，豐富素材，不完全歸納出除法和分數(shù)的關(guān)系。

實踐反思

實踐中壓縮操作時間，集中展示學生的不同分法，在較短的時間內(nèi)將矛盾集中到——“3小塊究竟以誰為單位量”。然后，引導學生經(jīng)歷“規(guī)定”，凸顯確定單位量的重要性，為后續(xù)靈活合理解決分數(shù)應用問題埋下伏筆。

前面案例中的兩位教師都嘗試從區(qū)分“具體量”和“分率”的角度引導學生理解，但是細心一點會發(fā)現(xiàn)，教材、教參等都沒有這兩個概念。我們只有在一些教師的教學案例中看到過，筆者認為這是教師經(jīng)驗認識的體現(xiàn)，其“合法”地位值得商榷。另外，教師用兩個更陌生、更抽象的概念來幫助學生建構(gòu)分數(shù)意義，讓學生如何“領(lǐng)情”？因此“確定單位量”才是“分數(shù)和除法”這節(jié)課應該引導學生突破的思維障礙點，從而進一步建構(gòu)分數(shù)的多重意義。

奧蘇伯爾說：“影響學習的最重要的原因是學生已經(jīng)知道了什么，我們應該根據(jù)學生原有的知識狀況進行教學影響。”這似乎更多的是在說學生的學習起點，但這其中不僅對應著學生的認知起點（知識儲備、思維方式），更隱藏著學生發(fā)展可能性的秘密。發(fā)現(xiàn)學生的“真問題”不是目的，由此減少人為的復雜，讓學生最大可能的發(fā)展，這才是教學的情懷。

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（浙江省杭州市富陽區(qū)永興小學 311400）