例談中考數學壓軸題最值問題的思維分析與解題策略

林年生

（上杭縣教師進修學校,福建上杭364200）

例談中考數學壓軸題最值問題的思維分析與解題策略

林年生

（上杭縣教師進修學校,福建上杭364200）

文章以2016年福建省龍巖市中考數學求最值問題為例，從解題思維過程和解題策略兩個方面進行了詳細分析，從學生的最近發展區入手，通過有用捕捉、有關提取、有效組合三個方面展示了其思維過程，并用有效的解題策略來指導，讓一個抽象的思維過程，變成了一個簡單明了的思維過程。

最值問題；思維分析；解題策略

最值問題是初中數學的一大難點，也是中考命題中各知識的結合點和能力考查的區分點，素有“綜合性強、難度大和區分度高”等典型特點。如何才能找到突破此類問題的方略?筆者結合2016年龍巖市中考試題第25題，就中考壓軸題中最值問題的解題思維過程與解題策略，談談自己的看法，以期同行斧正。

一、試題呈現

圖1

（1）求a值及A，B兩點坐標；

（2）點P(m,n)是該拋物線上的動點，當∠CPD為銳角時，請求出m的取值范圍；

（3）點E是拋物線的頂點，⊙M沿CD所在直線平移，點C，D的對應點分別為點C′，D′，順次連接A，C′，D′，E四點，四邊形AC′D′E（只要考慮凸四邊形）的周長是否存在最小值？若存在，請求出此時圓心的坐標；若不存在，請說明理由。

二、思維過程分析

解題的過程就是信息的獲取、存儲、處理和輸出，在這個的過程，從精心審題，捕捉基本信息，到溫故知新，提取有關信息，最后去偽存真，組合有效信息進行解題，充分反映了解題者的心路歷程，分析這個過程中的知識結構和邏輯關系，是提高解題能力的有效途徑。

1.有用捕捉

有用捕捉是指從審題中捕捉有用的信息，包括從題目的文字敘述中捕捉符合信息和從題目的圖形中獲取形象信息。

（2）從題目的圖形中獲取形象信息，拋物線與y軸的交點是C，OC=2；點A、B、C、D既是拋物線上的點，又是圓上的點；第（2）小題中P(m,n)是拋物線上的點，且∠CPD為銳角；第（3）小題中四邊形AC′D′E的邊AE，C′D′是定值，存在點C′，D′使四邊形AC′D′E的周長最小。

2.有關提取

有關提取是指從自己的記憶儲存中提取有關信息，包括概念、公式、定理、法則、基本題型、解題模型、解題方法等，這些信息是解題繼續推進的依據。

概念：點和圓的位置關系，凸四邊形，周長最小值。

方法：待定系數法；一元二次方程的解法；圖形的軸對稱、平移。

公式：拋物線y=a(χ-h)2+k的對稱軸是χ=h，頂點是(h,k)。

法則：二次函數與一元二次方程的關系，函數圖象與坐標的關系，一元一次不等式解集。

定理：勾股定理及其逆定理；90°的圓周角所對的弦是直徑；兩邊成比例且夾角相等的兩個三角形相似。

題型1：解二元一次方程組（人教版《義務教育教科書·數學》七年級下冊第八章第二節“消元——解二元一次議程組”第91～92頁例1）。

題型2：求一次函數解析式（人教版《義務教育教科書·數學》八年級下冊第十九章第二節“一次函數”第93頁例4）。

模式1：A，B兩點在直線l的同側，直線上存在唯一一點P，使PA+PB的值最小。

模式2：村莊A，B位于小河的兩側，若河岸彼此平行，則可建一座與河岸垂直的橋CD，使A村到B村的路程最近。

3.有效組合

有效組合是指將從題目中捕捉到的有用信息與從記憶儲存中提取的有關信息結合起來思考，并畫出解題的思維過程，使之成為一個和諧的邏輯結構。如圖2，是第（2）小題的思維結構圖。

圖2

三、解題策略

數學解題策略是指解數學題過程中所采取的總體思路，是帶有原則性的思想方法，它既能指導思維模式的靈活運用，又能統率各種具體的解題方法與較小的模式。研究解題策略是一個從實踐上升到理論，又用理論去指導實踐的過程，對提升解題能力有良好的幫助。

1.模式識別

2.動靜轉換

動和靜是事物狀態表現的兩個側面，它們相比較而存在，依情況而轉化，動中有靜，靜中寓動。在數學解題中，可用動的觀點來處理靜的數量和形態，表現為以動求靜。也可反過來，用靜的方法來處理動的事物，表現為以靜制動，因為事物在運動中總會有一些穩定的狀態，抓住這些不變的性質或不變量，可以作為解題的突破口。如第（2）小題求m的取值范圍，因m是點P的橫坐標，所以實際是問點P在運動過程中是否在某個時候滿足∠CPD<90°。注意到點A、B、C、D的特殊性，容易猜想∠CAD=90°,∠CBD=90°，因此只要能說明CD是⊙M的直徑，問題便迎刃而解了。

由（1）知，

如圖3，連接AD，AC，CD，則CD=5，∵A(1，0),C(0，-2),D(5，-2)，∴AC=5，AD=25，∴AC2+AD2=CD2，∴CD為⊙M的直徑，∴當點P在圓外部的拋物線上運動時,∠CPD為銳角，∴m的取值范圍是m<0或15。

圖3

第（3）小題求四邊形AC′D′E周長的最小值，由于⊙M沿CD所在直線平移，實際就是線段CD在平移，因只要考慮凸四邊形的情形，也就是只能在直線AE的右邊移動，取其某個時刻的位置C′D′，就是要求四邊形AC′D′E周長的最小值。

3.數形結合

大家知道，數形結合是指在研究問題的過程中，注意把數和形結合起來考慮，斟酌問題的具體情形，把圖形性質的問題轉化為數量關系的問題，或者把數量關系的問題轉化為圖形性質的問題，使復雜問題簡單化，抽象問題具體化，進而達到化難為易的目的。數形結合是研究數學問題的有效途徑和重要策略，它體現了數學的和諧美、統一美。第（3）小題求四邊形AC′D′E周長的最小值，這個問題看上去是四條線段和的最值，注意到線段EA、C′D′是定值，其實就是兩條線段AC′、D′E之和的最值問題．由圖可看到線段AC′、D′E雖然在定直線CD的同側，但與模式1區別在于這兩條線段沒有公共端點，故要把這兩條線段中的某一條移到新的位置，使其與另一條線段對接即可，聯想到模式2中運用的平移變換手法，可將線段AC′平移至D′F（或將線段D′E平移至C′F）。則AF=C′D′=CD=5,又∵A(1,0)，∴F(6,0)，作點E關于直線CD的對稱點E′，連接EE′正好過點M，交χ軸于點N，∵拋物線頂點，直線CD為，連接E′F交直線CD于點H，則當點D′與點H重合時，四邊形AC′D′E的周長最小。

圖4

4.差異分析

以第（3）小題為例來找目標差。最顯著的目標差是：

⊙M沿CD所在直線平移，點C，D的對應點分別為點C′，D′，順次連接A，C′，D′，E四點，四邊形AC′D′E（只要考慮凸四邊形）的周長是否存在最小值。

因四邊形AC′D′E的邊AE、C′D′是定值，若使四邊形AC′D′E周長最小，只要使AC′+D′E的和最小，目標差減少，根據模式1，這樣的點通過作圖是存在的（如圖4），目標差進一步減小，進而轉化為求點D′（或C′）的坐標，求點D′的坐標可以通過求直線E′F的解析式來解決，也可以用相似三角形的性質來解決。

［1］義務教育教科書·數學（七—九年級）［M］.北京：人民教育出版社，2013．

［2］羅增儒.數學解題學引論［M］.西安：陜西師范大學出版社，2008．

［3］李永明.捕捉、提取、組合、反饋四階段解題的思維剖析與思考［J］.中學數學，2015（7）．

（責任編輯：王欽敏）