綱舉目張 一通百通

劉小燕

[摘 要]小學數學應用題的很多題型都與百分率有著千絲萬縷的關聯，隨著小升初的數學試卷中應用題比分的不斷上升，百分率問題越來越受到關注。由易到難地歸納出四種常見的百分率題型，并深入淺出地進行分析，希望能起到拋磚引玉的作用。

[關鍵詞]百分率 應用題 生活實例

[中圖分類號] G623.5 [文獻標識碼] A [文章編號] 1007-9068（2017）02-061

近十年來，小升初的數學試卷中，小學數學應用題的題型一般有以下幾種：求平均數應用題、歸一問題（如工程問題）、相遇以及追及問題、比和比例問題……它們或多或少地與分數和百分率有著千絲萬縷的關聯。下面將百分率的有關知識點進行梳理。

一、已知的兩個數之間的百分率計算

常見題型：（1）甲數是乙數的百分之幾；（2）甲數比乙數多（少）百分之幾。

這是所有百分率問題的基礎，盡管這兩類題型比較簡單，但教師在教學中要予以足夠的重視，務必確保百分之百的通過率。為了提高學生解決問題的能力，教師可結合產品的合格率、考試成績的優分率等設置一些習題。對于題型（2），要讓學生在大腦中留下根深蒂固的印象：a比b多的百分率不等于b比a少的百分率！（如，5比4多25%，但4比5不是少25%，而是少20%。）

二、已知一個數a和百分率x%，求另一個數b

對此，可以設置習題：（1）50的70%為_________；（2）_____的60%為30；（3）_______比5大20%；（4）比_____大20%的數是72；（5）一件衣服打九折之后出售還賺利潤21元，進價是2400元，標價是_____元；（6）一件衣服的進價為50元，售價為80元，若按售價的八折售出，利潤是______元，利潤率為_____。

重點題型：（1）已知數a增加（或減少）百分率x%，得b，求b的值；（2）a增加（或減少）百分率x%后為已知數b，求a的值。

解這兩種題型可用圖示法： （增加對應的等式為a×（1+x%）=b）或 （減少對應的等式為a×（1-x%）=b）。

【例1】 （1）值日生乙單獨擦黑板所用時間是20秒，甲單獨擦黑板所用時間比乙多50%，兩人一起擦黑板，需多少秒？

（2）值日生甲單獨擦黑板所用時間比乙單獨擦黑板多50%，兩人一起擦需12秒，單獨擦各需多少秒？

解：（1）乙用20秒，工效是1/20；甲所用時間為20×（1+50%）=30（秒），工效是1/30。兩人一起擦的工效為1/20+1/30=1/12，所用時間為12秒。

（2）兩人一起擦需12秒，合擦工效為1/12；甲單獨擦比乙用時多50%，甲用時=乙用時×（1+50%）=乙用時的1.5倍，于是甲的工效是乙的2/3。所以乙的工效為 ÷（1+ ）= ，乙單獨擦黑板用時為20秒，甲單獨擦黑板用時為30秒。

【例2】 服裝店的某一時間以每件120元的價格賣出兩件羊毛衫，其中一件盈利25%，另一件虧損25%，賣這兩件總的來說是盈利還是虧損，或是不盈不虧？

解：結合 120和 120，可得a=120÷（1+25%）=96（元），b=120÷（1-25%）=160。由于進價a+b=256（元）大于售價120×2=240（元），所以賣這兩件總的來說虧損16元。

三、連續變化的百分率的計算

解答此類題，需要每變一步，就畫一個分析圖。

【例1】 大潤發賣場的某種電器的進價是120元，按利率25%的售價擺上貨架后，由于其供不應求，賣主將售價提高了20%，發現銷售情況不大理想，只能再將銷售價下調10%，此時該電器的售價為多少元？

解：三次變化的過程： 。利用有關等式，可得c=120×（1+25%）×（1+20%）×（1-10%）=162（元）。

四、鹽水中的百分率計算

鹽水問題就是傳統的濃度問題。掌握這類問題的關鍵只有一個：含鹽的百分率= ×100%。

常見題型：

（1）鹽與水混合，求含鹽的百分率。這一類題比較容易，但也要多讓學生練習，加深學生對含鹽率的理解。

（2）在已知含鹽率的鹽水中加入一定量的鹽或水，求新鹽水的含鹽率。只要把握新鹽水中的真實鹽量和新的鹽水量，問題就能迎刃而解。其變形題（在已知含鹽率的鹽水中加入一定量的鹽或水，并且知道新鹽水的含鹽率，求加入的量。）有一定的難度，建議用“加鹽水不變、加水鹽不變”的思路進行解題。

（3）兩種鹽水混合所涉及的運算。這類習題看似復雜，實際上不難，只要搞清鹽量的變化情況，解題就易如反掌。

（4）在已知含鹽率的鹽水中加入一定量的鹽，求新鹽水的含鹽率。（其類似題目還有在酒中加入酒精或在硫酸銅溶液中加入膽礬等）這類習題本質上是以題型（2）的形式出現，用解題型（3）的方法解題，只偶爾出現在競賽試題中。

【例1】 在含鹽率50%的40克鹽水中加入多少克鹽，才能使鹽水的含鹽率變為60%？

解1：（方程法）設需加入x克鹽，則x+40×50%=（x+40）×60%， 解得x=10。

解2：用“加鹽水不變”的思路解。加鹽之前的水=40×（1-50%）=20（克），加鹽之后的水也是20克，此時的鹽水量為20÷（1-60%）=50（克），比以前增加的量=50-40=10（克），10克就是加入的鹽量。

【例2】 李明在超市購買了以下商品：①康師傅方便面4桶，單價3.5元/桶，打九折；②脈動飲用水10瓶，單價3.1元/瓶，不打折；③蘋果2斤，單價4.5元/斤，打八五折；④雕牌洗衣粉2袋，單價5.5元/袋，打八折。

（1）仔細讀題，完成下表，并求出總付款多少元；

（2）若超市的平均贏利率為20%，則這批商品超市的成本是多少？

（3）如果李明是為5位客戶跑腿的，每位客戶都買了一份上述商品，每個客戶都允許李明多拿15%的辛苦費，那么誠信的李明必須向每位客戶收取多少費用？一共獲得多少辛苦費？

解：（1）

總付款=各商品的應付款的總和=12.6+31+7.65+8.8=60.05（元），因此實際付款60元。（5分錢各大超市還是樂意讓利的）

（2）學生在解此題時容易出現的典型錯誤是60×（1-20%）=48（元）。很明顯，如果成本是48元，收入為60元，其贏利是60-48=12（元），贏利率為12÷48×100%=25%，與已知條件矛盾。正解是60÷（1+20%）=50（元）。

（3） 李明必須向每位客戶收取的費用=60×（1+15%）=69（元），辛苦費=5×9=45（元）。

綜上，教師如能結合實際問題行之有效地完成百分率的教學任務，學生必然就能輕松自如地消滅應用題這只“攔路虎”。

（責編 金 鈴）