運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想 深刻理解數(shù)學(xué)知識

陳文淵

[摘 要]“數(shù)”和“形”是小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的研究對象，“以形助數(shù)”可以溝通幾何直觀與數(shù)學(xué)抽象之間的聯(lián)系，可以將抽象問題具體化，復(fù)雜問題簡單化，可以活躍學(xué)生思維，拓寬解題思路，提高解題能力。在教學(xué)中，教師可以通過以形表數(shù)、以形助數(shù)、以形想數(shù)、以形解數(shù)向?qū)W生滲透“數(shù)形結(jié)合”思想，使學(xué)生深刻理解數(shù)學(xué)知識。

[關(guān)鍵詞]數(shù)形結(jié)合；教學(xué)研究；數(shù)學(xué)知識

[中圖分類號] G623.5 [文獻(xiàn)標(biāo)識碼] A [文章編號] 1007-9068（2017）02-037

“數(shù)”和“形”是貫穿整個小學(xué)數(shù)學(xué)教材的兩條主線，“數(shù)”構(gòu)成了數(shù)學(xué)的抽象化符號語言，“形”構(gòu)成了數(shù)學(xué)的直觀化圖形語言，在研究抽象“數(shù)”的時候，往往要借助直觀的“形”，即將代數(shù)問題轉(zhuǎn)化成幾何圖形問題，把抽象的數(shù)學(xué)語言與直觀的圖形語言結(jié)合起來。

一、以形表數(shù)——連接“幾何直觀”與“數(shù)學(xué)抽象”之間的“紐帶”

概念的特點(diǎn)是抽象概括，是事物本質(zhì)屬性的反映。概念教學(xué)是數(shù)學(xué)教學(xué)的難點(diǎn)，因?yàn)樾W(xué)生以形象思維為主，理解抽象的概念知識有很大的難度，所以教師可以借助幾何形體，以形表數(shù)，以形引數(shù)，把抽象的概念形象化，幫助學(xué)生在直觀中理解抽象的數(shù)學(xué)知識。

例如，“乘法分配律”歷來都是學(xué)生難學(xué)，教師難教的一節(jié)課。許多教師只關(guān)注演示分配律的兩種不同表達(dá)方式，而忽略了對分配律意義的教學(xué)，學(xué)生對分配律的理解往往只停留在識記與模仿的層面，沒有真正理解概念的本質(zhì)。在教學(xué)這節(jié)課時，教師應(yīng)以形表數(shù)，以形引數(shù)，讓學(xué)生深刻理解乘法分配率的本質(zhì)。

教師出示一個長為5厘米、寬為3厘米的長方形，讓學(xué)生用兩種方法求出長方形的周長。

生1：5×2+3×2。

生2：（5+3）×2。

師：誰能說一說算式中每一步所表示的意思？（讓學(xué)生數(shù)形結(jié)合，說出算式的意思，為理解乘法分配律做好準(zhǔn)備）

（教師隱去圖中的具體數(shù)據(jù)。出示長方形 ，請學(xué)生寫出求長方形周長的方法）

生3：（長+寬）×2。

生4：長×2+寬×2。

生5：長+寬×2。

師：為什么生1的式子只乘以一個2，而生2的式子要乘以兩個2呢？生3的式子對不對？為什么？（學(xué)生作圖辨析，如圖1）

在這個以形表數(shù)的過程中，教師通過提問和引導(dǎo)作圖，有效減少（5+3）×2=5+3×2這類錯誤的出現(xiàn)。學(xué)生對乘法分配律的直觀模型有了更深刻的理解。

最后，教師以形引數(shù)，提取乘法分配律的符號模型，讓學(xué)生經(jīng)歷符號化的過程。

師：將長方形的長和寬變成a和b，周長怎樣算？a和b可以是幾？（教師出示圖2 ，讓學(xué)生猜測并證明）

教師將周長的計(jì)算變成了線段a、b的延伸，形的延伸帶動數(shù)的擴(kuò)張，使教學(xué)一下子從平鋪?zhàn)呦蚣な?，逼迫學(xué)生逐步從借助直觀的畫圖，到看圖想象，再到改造算式的活動中，理解和內(nèi)化了“分配”的實(shí)際含義，建立了意義與形式的完整聯(lián)系，成功抽取出乘法分配律的符號模型。

二、以形助數(shù)——尋找“幾何直觀”與“數(shù)學(xué)抽象”之間的“支撐”

探索規(guī)律需要較強(qiáng)的邏輯思維能力，而所需要的思維能力與學(xué)生的思維水平存在一定的差距，為縮短兩者之間的差距，就需要在它們之間尋找一個支撐點(diǎn)，而這個支撐點(diǎn)就是“數(shù)形結(jié)合”。

例如，用簡便方法計(jì)算 + + + +…+ 。看到題目后，學(xué)生的第一反應(yīng)是用異分母加減的方法計(jì)算，雖然，這樣計(jì)算比較煩瑣，但幾乎沒有學(xué)生想到用簡便方法計(jì)算。針對此現(xiàn)象，教師先引入另一道題：一塊正方形菜地，用它的 種茄子，用它的 種辣椒，用它的 種土豆，用它的 種韭菜，種這四種菜的總面積占這塊菜地的幾分之幾？當(dāng)學(xué)生列出算式后，教師引導(dǎo)學(xué)生畫圖理解（如圖3）。通過觀察圖形，學(xué)生不難發(fā)現(xiàn)其規(guī)律：要求 + + + 的和，只要用大正方形的面積減去陰影部分的面積即可，而陰影部分的面積剛好是這塊正方形菜地的 ，從而得到簡便算法 + + + =1- = 。同時，教師啟發(fā)學(xué)生思考，依此類推再分下去，當(dāng)分到 、 時，剩下的面積對應(yīng)的是 、 ，再通過簡便計(jì)算就能得出相應(yīng)的面積。

這一過程絕不是簡單的模仿和記憶，而是從正方形的面積入手，為學(xué)生構(gòu)建數(shù)形結(jié)合的平臺，將抽象的數(shù)學(xué)知識轉(zhuǎn)化為便于學(xué)生理解的表象，從而將數(shù)與形有機(jī)地結(jié)合在一起，降低學(xué)生的解題難度，同時有利于培養(yǎng)學(xué)生的觀察能力、抽象能力、推理能力和發(fā)散思維能力。

三、以形想數(shù)——架設(shè)“幾何直觀”與“數(shù)學(xué)抽象”之間的“橋梁”

計(jì)算教學(xué)應(yīng)以清晰的理論引導(dǎo)學(xué)生理解算理，在理解算理的基礎(chǔ)上掌握計(jì)算方法，使學(xué)生“知其然”，也“知其所以然”。借助直觀的圖形可以將抽象的算理形象化、簡單化，使抽象的計(jì)算過程有了形象的替代橋梁，數(shù)學(xué)不再是抽象艱澀，而變得有趣生動。

例如，“精打細(xì)算”這節(jié)課，教學(xué)目標(biāo)是讓學(xué)生掌握小數(shù)除以整數(shù)的計(jì)算方法。結(jié)果學(xué)生在解題時不是丟了商中的小數(shù)點(diǎn)，就是在豎式中點(diǎn)上小數(shù)點(diǎn)，為什么會出現(xiàn)這樣的錯誤呢？究其原因，就是沒有真正理解算理。教師可以調(diào)整教學(xué)方法，借助圖形，從小數(shù)的意義上讓學(xué)生深刻理解算理。

師：這有兩道除法豎式（如圖4），你覺得哪種寫法更合理？

生1：我認(rèn)為兩種寫法都合理，因?yàn)?5角也就是1.5元。

生2：假設(shè)這個算式中的11.5不表示錢，而是表示一些圖形（如圖5），這樣一來第二種方法就不合理。

生3：如圖6，可以把10個正方形平均分成5份，每份分到2個正方形，剩下的一個正方形就應(yīng)分成10份，變成10個0.1，和剩下的5個0.1合在一起變成15個0.1后再繼續(xù)分。把15個0.1平均分成5份，每份應(yīng)分得3個0.1，3要寫在商的十分位上，豎式中的15實(shí)際上是表示15個0.1，不應(yīng)寫或1.5。因此第一種寫法更合理。

多么巧妙的回答呀，一個簡單的圖形清楚地詮釋了計(jì)算的道理，令學(xué)生的印象深刻。

四、以形解數(shù)——開辟“幾何直觀”與“數(shù)學(xué)抽象”之間的“通道”

《九章算術(shù)》指出：析理以辭，解體用圖。小學(xué)數(shù)學(xué)中的問題不僅抽象，而且有的數(shù)量關(guān)系還比較隱蔽，不易被覺察或直接應(yīng)用。畫圖可以幫助學(xué)生將題中隱蔽的數(shù)量關(guān)系呈現(xiàn)出來，通過看圖、想圖，正確分析數(shù)量關(guān)系，尋找解決問題的策略，把學(xué)生的思維引向更深處。

教師出示例題：有一塊長方形的試驗(yàn)田，如果試驗(yàn)田的寬增加4米，或者長增加6米，面積都比原來增加48平方米，你知道原來試驗(yàn)田的面積是多少平方米嗎？學(xué)生分析該題的數(shù)量關(guān)系有一定的難度，教師可以引導(dǎo)學(xué)生畫圖（如圖7），讓學(xué)生看到圖形的變化過程。

通過觀察畫圖的過程，學(xué)生發(fā)現(xiàn)原來用48÷4就能求出長方形的長，用48÷6就能求出長方形的寬，用（48÷6）×（48÷4）就能求出長方形的面積。接著，教師給出變式練習(xí)：有一個長方形操場，長50米，寬40米。（1）如果長增加8米，面積增加多少平方米？（2）如果寬增加8米，面積增加多少平方米？（3）如果長和寬都增加8米，面積增加多少平方米？（4）如果將長方形的長和寬各減少8米，面積減少多少平方米？無論怎樣改變題目的條件，學(xué)生都能快速地解決問題。

由此看來，在教學(xué)中滲透數(shù)形結(jié)合的思想，用恰當(dāng)?shù)膱D形表示其數(shù)量關(guān)系，讓隱含條件顯現(xiàn)，能使學(xué)生解決問題的方法更具有簡約化與創(chuàng)造性。

著名數(shù)學(xué)家華羅庚指出：“數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微?！睌?shù)形結(jié)合的思想滲透在數(shù)學(xué)教學(xué)的每個領(lǐng)域，這就要求教師在實(shí)際教學(xué)中應(yīng)該努力鉆研教材，把握數(shù)形結(jié)合思想方法滲透的固著點(diǎn)，落實(shí)滲透數(shù)形結(jié)合思想方法的著力點(diǎn)，從而為學(xué)生尋找一支合適的“長篙”，引領(lǐng)學(xué)生的思維向更深處漫溯。

（責(zé)編 李琪琦）