反思為“引”，讓思維走向深刻

謝榮

[摘 要]數(shù)學(xué)教學(xué)的重要目標(biāo)是提升學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，而引導(dǎo)學(xué)生適時反思是提升學(xué)生數(shù)學(xué)思維的有效途徑。在教學(xué)中，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生在反思中分辨異同，在反思中疏通阻礙，在反思中變通發(fā)展，在反思中縱橫聯(lián)系，在反思中突破定式，讓學(xué)生的數(shù)學(xué)思維走向深刻。

[關(guān)鍵詞]數(shù)學(xué)思維能力；反思；思維定式；思維深刻

[中圖分類號] G623.5 [文獻(xiàn)標(biāo)識碼] A [文章編號] 1007-9068（2017）02-035

課程標(biāo)準(zhǔn)的提出，讓數(shù)學(xué)課堂教學(xué)從最初的追求課堂熱鬧走向了追求數(shù)學(xué)的本真，啟迪學(xué)生的思維。將具體數(shù)學(xué)知識內(nèi)容的教學(xué)與數(shù)學(xué)思維的教學(xué)有機(jī)結(jié)合，在解決具體數(shù)學(xué)知識內(nèi)容的過程中提升學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，這是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要目標(biāo)。弗賴登塔爾曾說：“反思是數(shù)學(xué)思維活動的核心與動力。”要讓學(xué)生養(yǎng)成主動反思的習(xí)慣，就需要教師在學(xué)生思維定式與僵化處適時引導(dǎo)學(xué)生反思，開闊學(xué)生的思維路徑，提升學(xué)生思維的廣度和深度。

一、反思引“辨”，在思維混沌處辨清晰

學(xué)生對問題的認(rèn)識要經(jīng)歷一個從模糊到清晰的過程，在對問題本質(zhì)沒有深刻理解之前，相近的概念、類似的方法總會讓學(xué)生的思維陷入混沌中。這時，需要教師及時引導(dǎo)學(xué)生反思，通過適當(dāng)?shù)膶Ρ龋寣W(xué)生的思維從混沌走向清晰。

例如，三年級“認(rèn)識分?jǐn)?shù)”教學(xué)片斷。

師：將6個桃平均分給2只小猴，每只小猴分得這些桃的幾分之幾？

生1：每只小猴分得這些桃的 。

生2：每只小猴分得這些桃的 。

師：你是怎么想的呢？

生1：6個桃平均分成了2份，每只小猴分得其中的1份，就是這些桃的 。

生2：6個桃平均分給2只小猴，每只小猴分到3個桃，就得到 。

師： 表示什么意思？

生2：平均分成6份，表示其中的3份。

教師引導(dǎo)學(xué)生畫圖分一分，弄清 和 的區(qū)別，雖然這里都是3個桃，但表示的意義不同。三年級的學(xué)生對分?jǐn)?shù)已經(jīng)有了初步的認(rèn)識，對平均分一個物體，得到幾分之一或幾分之幾印象深刻，但是，容易把“將幾個物體看作一個整體進(jìn)行平均分，表示這個整體的幾分之一或幾分之幾”和“每份有幾個”混淆。學(xué)生習(xí)慣把平均分的總數(shù)量當(dāng)作分母，把每份的具體數(shù)量當(dāng)作分子，這也暴露了學(xué)生沒有真正理解分?jǐn)?shù)的本質(zhì)。教師在這里就需要幫助學(xué)生進(jìn)行反思辨析，通過分一分、比一比，比較 和 的本質(zhì)含義，明確分?jǐn)?shù)的分子和分母表示的是平均分的份數(shù)，而不是具體的個數(shù)。

二、反思引“變”，在思維單一處變豐富

例如，四年級“除法解決實(shí)際問題”教學(xué)片斷。

師（出示問題）：光明小學(xué)有6個年級，每個年級有5個班，共有360盆花，平均每個班有多少盆花？

師：怎么解決這個問題？

生1：360÷6÷5。先算平均每個年級有多少盆，再算平均每個班有多少盆。

生2：360÷（6×5）。先算一共有多少個班，再算平均每個班有多少盆。

生3：360÷5÷6。這個算式的結(jié)果和前面一樣，但是意思我不知道。

不少學(xué)生也表示無法說出生3列式的意思。就這樣順著學(xué)生的思維，放棄這種解法嗎？教師通過畫圖引導(dǎo)學(xué)生反思：

先畫出示意圖，每個圓圈代表一個班。橫著分（如圖1），一行就是一個年級分得的盆數(shù)，即生1解法的第一步，先算每個年級有多少盆。學(xué)生觀察思考后，得出還可以豎著分（如圖2），一列就是每個年級的一個班分得的盆數(shù)，即生3解法的第一步，先算每個年級的一個班分得多少盆。學(xué)生的思維一下子就打開了，類似的問題都想到了用畫圖的方法來解釋。由于學(xué)生對問題認(rèn)識的局限性，以及解決方法不夠靈活，如果僅從算式表面的意義去解釋，思維就走向單一，這時就需要教師引導(dǎo)學(xué)生反思方法，變換思考途徑，借助圖形的直觀性幫助學(xué)生撥云見日，豐富學(xué)生的思維方法。

三、反思引“聯(lián)”，在思維孤立處尋關(guān)聯(lián)

無論是數(shù)學(xué)知識概念、計算方法，還是解題策略，它們都不是孤立存在的。由于課堂教學(xué)的時間有限，當(dāng)教師把一個個知識、方法的“零部件”交給學(xué)生時，學(xué)生卻一籌莫展，那么學(xué)生的思維勢必已陷入孤立無援的狀態(tài)。這時就需要教師引導(dǎo)學(xué)生反思知識的內(nèi)在聯(lián)系，讓知識概念、方法系統(tǒng)化，讓思維有序延伸和擴(kuò)充。

如，在教學(xué)“商不變的規(guī)律”后，教師引導(dǎo)學(xué)生反思：1.怎樣讓商變化呢？2.商不變，余數(shù)是不是也不變呢？3.由商不變，你還能想到什么？ 第一個問題是引導(dǎo)學(xué)生反思從商變化的角度來透徹理解“商不變的規(guī)律”，把握“商不變規(guī)律”的本質(zhì)。第二個問題是讓學(xué)生反思“商不變的規(guī)律”對余數(shù)是否適用，為后續(xù)研究提供方向。第三個問題是引導(dǎo)學(xué)生反思“商不變的規(guī)律”與以前的學(xué)習(xí)內(nèi)容有什么關(guān)聯(lián)，發(fā)散思考求得聯(lián)系。學(xué)生有的想到有沒有積不變的規(guī)律、和不變的規(guī)律、差不變的規(guī)律，還有的想知道被除數(shù)不變的規(guī)律、除數(shù)不變的規(guī)律是什么。這樣思維就不再是“管中窺豹”，而是放眼全局，縱橫關(guān)聯(lián)了。

四、反思重構(gòu)，在思維定式處找突破

例如，六年級“平面圖形面積的復(fù)習(xí)”教學(xué)片斷。

師（出示平面圖形的紙片）：剛才我們復(fù)習(xí)了這些平面圖形的面積計算方法，你能根據(jù)它們之間的關(guān)系，把這些圖形重新排一排嗎？

（學(xué)生小組討論后匯報）

生1：我覺得長方形的面積是最重要的。因?yàn)檎叫问翘厥獾拈L方形，平行四邊形可以剪拼成長方形，三角形和梯形都可以通過轉(zhuǎn)化得到平行四邊形，圓形也可以轉(zhuǎn)化成長方形，所以長方形的面積是最重要的。（如圖3）

生2：我也同意長方形的面積是最基礎(chǔ)的，其他圖形都可以轉(zhuǎn)化成長方形。

師：看來大部分同學(xué)都認(rèn)同這種意見，長方形面積計算方法是基礎(chǔ)，由長方形的面積可逐個推導(dǎo)出其他幾個圖形的面積計算方法。還有其他的想法嗎？在計算機(jī)中，復(fù)雜的圖形都是轉(zhuǎn)化成三角形的，難道三角形是基礎(chǔ)圖形？（引導(dǎo)學(xué)生反思）

生3：如果從三角形的面積入手，長方形、正方形和平行四邊形都可以分成兩個完全相同的三角形，因此這三個圖形的面積是和它等底等高的三角形面積的2倍。

生4：梯形面積可以轉(zhuǎn)化成兩個三角形的面積或是一個大三角形的面積。（如圖4）

生5：圓形只能轉(zhuǎn)化成長方形，不能轉(zhuǎn)化成三角形。

師：我們在研究圓的面積的時候，確實(shí)是把圓形轉(zhuǎn)化成長方形，但是圓形并不只能轉(zhuǎn)化成長方形，也可以轉(zhuǎn)化成三角形（如圖5）。這樣轉(zhuǎn)化，什么不變？轉(zhuǎn)化后三角形的底和高分別是圓形中的什么呢？

生6：轉(zhuǎn)化后面積不變。三角形的底是圓的周長，高是圓的半徑，圓的面積等于三角形的面積=2πr×r÷2=πr2。這樣還可以從三角形的面積公式推算出其他平面圖形的面積公式。

在以上教學(xué)片斷中，學(xué)生有兩處容易形成思維定式：一是認(rèn)為平面圖形面積公式只能與長方形面積計算有聯(lián)系，二是認(rèn)為圓的面積只能轉(zhuǎn)化為長方形。思維定式產(chǎn)生的原因，在于教師平時的教學(xué)也按照教材的呈現(xiàn)方式循規(guī)蹈矩，亦步亦趨。在重構(gòu)圖形面積關(guān)系時，教師應(yīng)給予學(xué)生充分自主思考和探究的時間，引導(dǎo)學(xué)生反思有沒有不同的面積關(guān)系重排方式，鼓勵學(xué)生打破常規(guī)，擺脫思維定式，對每一種重構(gòu)方式進(jìn)行思考和辨析，弄清楚來龍去脈。在圓的面積的轉(zhuǎn)化教學(xué)中，教師借助圖形的幾何直觀，讓學(xué)生反思：“這樣轉(zhuǎn)化，什么不變？轉(zhuǎn)化后三角形的底和高分別是圓形中的什么？”讓學(xué)生辨清楚三角形與圓的面積相等，三角形的底是圓的周長，高是圓的半徑。這樣不但能豐富學(xué)生的活動經(jīng)驗(yàn)，在不斷觀察、反思中學(xué)生還能突破思維定式，構(gòu)建新的知識網(wǎng)絡(luò)。

反思不僅僅是對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的簡單回顧，更是對數(shù)學(xué)思維活動的再提升，它能帶動學(xué)生積極、主動地投入數(shù)學(xué)活動中，是一把啟迪學(xué)生智慧的金鑰匙。學(xué)生反思的廣度、深度以及反思的習(xí)慣養(yǎng)成上均未達(dá)到自覺程度時，就需要教師積極引導(dǎo)，使學(xué)生在反思中分辨異同，在反思中疏通阻礙，在反思中變通發(fā)展，在反思中縱橫聯(lián)系，在反思中突破定式。

（責(zé)編 李琪琦）