數列論

哈爾濱師范大學研究生 馬正方

數列論

哈爾濱師范大學研究生 馬正方

本文以數列為話題，以二階等差、等比數列為論點，對該數列進行中肯的分析解讀，從而提出了二階等差、等比數列定律。

二階等差數列；二階等比數列；奇數項；偶數項

一、關于等差、等比數列定律

【二階等差數列定律】任何項數能夠滿足需要的二階等差數列（設公差為x）：（1）其中任何連續三項（或五項、七項、九項之類的奇數項），中項的平方（其他奇數項則與首尾兩項相鄰的兩項之積）減去首尾兩項之積所得的差數構成二階等差數列（與上述關于三項以及括號內相對應此等差數列的公差分別是x2、3x2、5x2、7x2之類系數均為奇數）。（2）其中任何連續四項（或六項、八項、十項之類的偶數項），與首尾兩項相鄰的兩項之積減去首尾兩項之積所得的差數構成二階等差數列（與上述關于四項以及括號內相對應此等差數列的公差分別是2x2、4x2、6x2、8x2之類系數均為偶數）。

例1 七項的二階等差數列1、3、8、16、27、41、58（從3開始，各項減前項之差為2、5、8、11、14、17這樣公差為3的等差數列）：

關于連續三項：32-1×8=1，82-3×16=16，162-8×27=40，272-16×41=73；如此這般，16-1=15，40-16=24，73-40=33，并且15、24、33構成公差為9的等差數列，從而1、16、40、73構成二階等差數列；“15、24、33”的公差9是“2、5、8、11、14、17”的公差3的平方。

關于連續四項：3×8-1×16=8，8×16-3×27=47，16×27-8×41=104，27×41-16×58=179；如此這般，47-8=39，104-47=57，179-104=75，并且39、57、75構成公差為18的等差數列，從而8、47、104、179構成二階等差數列；“39、57、75”的公差18是“2、5、8、11、14、17”的公差3的平方的2倍。

例2 九項的二階等差數列1、3、7、13、21、31、43、57、73（從3開始，各項減前項之差為2、4、6、8、10、12、14、16這樣公差為2的等差數列）：

關于連續五項：3×13-1×21=18，7×21-3×31=54，13×31-7×43=102，21×43-13×57=162；如此這般，54-18=36，102-54=48，162-102=60，并且36、48、60構成公差為12的等差數列，從而18、54、102、162構成二階等差數列；“36、48、60”的公差12是“2、4、6、8、10、12、14、16”的公差2的平方的3倍。

關于連續六項：3×21-1×31=32，7×31-3×43=88，13×43-7×57=160，21×57-13×73=248；如此這般，88-32=56，160-88=72，248-160=88，并且56、72、88構成公差為16的等差數列，從而32、88、160、248構成二階等差數列；“56、72、88”的公差16是“2、4、6、8、10、12、14、16”的公差2的平方的4倍。

例3 十項的二階等差數列3、5、10、18、29、43、60、80、103、129（從5開始，各項減前項之差為2、5、8、11、14、17這樣公差為3的等差數列）：

關于連續七項：5×43-3×60=35，10×60-5×80=200，18×80-10×103=410，29×103-18×129=665；如此這般，200-35=165，410-200=210，665-410=255，并且165、210、255構成公差為45的等差數列，從而35、200、410、665構成二階等差數列；“165、210、255”的公差45是“2、5、8、11、14、17”的公差3的平方的5倍。

二階等差數列這個名詞早已問世，我想也應該有二階等比數列這個名詞，于是我查找大量數學書籍，竟然沒有找到。我想數學不應該有禁區，于是經過研究，得到了“二階等比數列定律”。

【二階等比數列定義】一個數列從第二項開始，各項除以前項所得的商數構成等比數列，這個數列就是二階等比數列。

【二階等比數列定律】任何項數能夠滿足需要的二階等比數列（設公比為x）：（1）其中任何連續三項，首尾兩項之積減去中項的平方所得的差數構成二階等比數列，公比是x2。（2）其中任何連續N（N＞3）項，首尾兩項之積減去與首尾兩項相鄰的兩項之積所得的差數構成二階等比數列，公比也是x2。

例1 七項的二階等比數列2、2、4、16、128、2048、65536（從第二項開始，各項除以前項之商為1、2、4、8、16、32這樣公比為2的等比數列）：

關于連續三項：（首項）2×4-（中項）22=4，（亞項）2×16-42=16，4×128-162=256，16×2048-1282=16384；如此這般，16÷4=4，256÷16=16，16384÷256=64，并且4、16、64構成公比為4的等比數列，從而4、16、256、16384構成二階等比數列；“4、16、64”的公比4是“1、2、4、8、16、32”的公比2之平方。

關于連續四項：（首項）2×16-（亞項）2×4=24，（亞項）2×128-4×16=192，4×2048-16×128=6144，16×65536-128×2048=786432；如此這般，192÷24=8，6144÷192=32，786432÷6144=128，并且8、32、128構成公比為4的等比數列，從而24、192、6144、786432構成二階等比數列；“8、32、128”的公比4是“1、2、4、8、16、32”的公比2之平方。

例2 八項的二階等比數列2、2、4、16、128、2048、65536、4194304（從第二項開始，各項除以前項之商為1、2、4、8、16、32、64這樣公比為2的等比數列）：

關于連續五項：（首項）2×128-2×16=224，（亞項）2×2048-4×128=3584，4×65536-16×2048=229376，16×4194304-128×65536=58720256；如此這般，3584÷224= 16，229376÷3584=64，58720256÷229376=256，并且16、64、256構成公比為4的等比數列，從而224、、3584、229376、58720256構成二階等比數列；“16、64、256”的公比4是“1、2、4、8、16、32、64”的公比2之平方。

二、數列是什么

哲學認為“量變引起質變”。不是個體，而是由N（N＞2）個數所構成的數列具有一定的規模效應，從而能夠進行“科學的抽象”，抽象出定理定律之類的理論知識，使人客觀、全面、本質地認識事物。數學工作者和數學愛好者應當樹立“數列價值觀”，從而豐富自己的“數學頭腦”，走“數列路線”，密切聯系數列。數列是什么？說白了，數列就是數學王國的“群眾”?。盗芯哂腥罕娦浴Ｏ嘈胚@樣的群眾，依靠這樣的群眾，尊重這樣的群眾所體現的規模效應，從而讓先進的數學文化知識大放異彩！尤其是近年來，數列方面的問題已經成為高考的熱點。筆者發表的論文《“巧妙的證明”費爾馬大定理》、《奇數之和定律破解千年懸案并且證明費爾馬大定理》和《證明哥德巴赫猜想“1+1”并且證明“1-1”》都是走“數列路線”。

三、等差數列的普遍意義

等差數列具有相當的普遍意義，因為自然數列就是公差為1的等差數列。留心處處皆學問，細微之處見精神，細節往往決定成敗啊！等差數列和等比數列雖然有一定的類比關系，但是其本質區別在于：在正整數范圍內任何遞升的三項等比數列，中項前后兩項的乘積等于中項的平方；然而在正整數范圍內，任何遞增的三項等差數列，不僅中項前后兩項的乘積，還要加上公差的平方（比等比數列多了這樣一個附加條件，即要多一個“加數”），這樣才能等于中項的平方?？上祟愒谙喈旈L久的歷史中并沒有認識到等差、等比數列存在如此的本質區別。自然數列開頭的幾個數字1、2、3、4，1、2、3就是三項等差數列，1、2、4就是三項的等比數列。然而哪個人能夠明察秋毫地認識到該等差數列存在1×3+12（公差的平方）=22，比該等比數列存在1×4=22要多一個加數，即公差的平方呢？可見熟視無睹是不行的，不留心細微之處的細節便往往“差之毫厘失之千里”，使得中項定理的發現比勾股定理的發現推遲了千年之久，可謂“差之毫厘失之千年”啊！中項定理來之不易。我勸天公多抖擻，不拘時間降定理，一道靈感劃破夜空，中項定理應運而生，正如愛迪生所言，他的發明都是百分之九十九的汗水加百分之一的靈感。靈感是什么？靈感就是天公給予勤奮者的獎賞啊！中項定理是勾股定理的好伴侶，“數形結合”的數學精華。中項定理是勾股定理的數化，而勾股定理則是中項定理的形化。可愛的中國，她是數學的故鄉，勾股定理和中項定理不約而同地誕生在中國，這是歷史的選擇?。∥覀兊淖鎳兄袊?，我們的民族叫中華，我國的腹地叫中原，還有中庸、中和、中興、中意等等不勝枚舉，“行不行”也說成“中不中”，現在又有一個定理叫中項，可見“中”的大家族多么興旺發達??！

四、點贊數列有保障

數列啊數列，數多能量大，有理其中掛，你勤它就合，任你來摘拿！

數列啊數列，或三五成群的有限，或不計其數的無限，似天地的兒女，若陰陽的化身（古人把偶數視為陰數，把奇數視為陽數），在數學舞臺上表演惟妙惟肖的喜劇活戲啊！

數列啊數列，平凡而神奇，可歌又可泣。你愛數列呀，它就把自身的秘密全盤托出獻給你！

有道是“青春萬歲”，“理想萬歲”。我根據自己對數列的理解，我要說：

數學王國的群眾——數列萬歲！