知其所以然，才知其然
——例談數學概念教學中的溯本求源

朱紹敏

筆者認為：數學課堂教學應重視引導學生“知其所以然”，從而使學生真正“知其然”。教學中不但要讓學生知道結果，更要讓學生知道結果的來源。以下三則案例源于筆者的多年教學實踐，異曲同工之處在于重視學生的體驗和感悟、重視概念的生成過程，在知識的生長點處精心設計，溯本求源，引領學生自主探究獲得知識，做到了學有痕而教無痕。

【案例1速度單位】

（溯本求源，制造沖突）

“神十一”飛船在太空5秒飛行了約40千米，飛船的速度約是（ ）。

小方騎自行車，2小時騎了16千米。小方騎自行車的速度是（ ）。

師：神舟飛船和小方騎自行車，誰的速度快呢？

生：一樣快，都是8千米。

生：不一樣！“神十一”飛船的速度是每秒8千米，而小方騎自行車的速度是每小時8千米。

（教師板書：每秒8千米每時8千米）

師：每次都要寫這么長的一句話來補充說明，好麻煩呀！你能不能設計一種新型的單位，讓人一看單位就全明白了？

生：可以在千米的后面加上斜桿再加上時間單位。

（請學生上黑板上來：8千米/秒 8千米/時）

師：我們寫速度單位時，不僅要寫路程單位，也要寫時間單位，大家要完整地表示出來。

師：你對速度有什么新的認識？速度表示什么？

生：速度表示每秒、每分、每時走幾米。

師：是的，速度表示每秒、每分、每時……單位時間里所走的路程。它和時間、路程有著密切的關系，速度單位是復合單位，不僅含時間單位同時含路程單位。

【評析：從兩個8千米的同與不同引起學生思維的激辯，水到渠成地引出速度概念是復合單位的深層含義。】

【案例2利用數對確定位置】

（現場資源，直觀感悟）

師：班里來了一位新老師，你能用一句話來表述一下數學課代表現在所處的位置嗎？

生：數學課代表在我的左邊。

生：數學課代表在我的前邊。

生：數學課代表在我的東南面。

師：這幾種表述，不同位置的人有不同的表達，老師需要先找到你的位置，然后再找你的左邊、前邊或東南面；而且，你的左邊、前邊或東南面可是有一大片同學，所以新老師還是不能找準具體哪一位是數學課代表。

師：還有其它更準確的表達方式嗎？

生：課代表在第2組第4個。

師：新老師完全可以根據你的信息，準確無誤地直接找到課代表的位置。

（板書：第2組第4個）

師：如果你只告訴新老師，課代表在第2組，情況會怎樣？你只告訴新老師，課代表在第4個，情況又會怎樣？

生：如果只說課代表在第2組，那么老師會在第2組找但不知道是第幾個；如果只說課代表在第4個，那么老師會在每組的第4個找，但還是不知道究竟是哪一組的第4個。

師：那就是說，像我們現在這樣，有好多組，每組又有好多個，這樣的情況下，若想確定某一個位置，我們不僅要交待“第幾組”，還要交待“第幾個”。只有這兩者都說明白了，才能“確定某一個位置”。這節課我們一起來學習《確定位置》。（板書）

師：剛才課代表的位置可以用數對（2，4）來表示，跟老師讀一讀這個數對：數對二四。

……

【評析：學生根據已有經驗回答“左邊”“前邊”“東南面”等，這種表述的缺點其一是位置不明確，左邊、前邊、東南面的同學不止一個；其二是這樣的表述以回答者個人為標準，要想找課代表，得先找發言同學的位置，再找他的左邊、前邊或東南面，是間接的。引導學生觀察教室的座位分布情況，提出用第×組第×個來表述。然后通過追問，讓學生感受：確定位置時，僅從“行”或“列”的一維角度出發是不夠的，確定位置需要二維性，這也是數對中兩個數的來源。】

【案例3長方形的面積】

（操作表象，內化推理）

1.小組合作測面積。

鋪一鋪：利用1平方分米的小正方形測大長方形紙的面積。

說一說：我用面積是（）的小正形去鋪，每行（）個，有（）行，共（）個，這個長方形的面積是（）。

師：你怎么算出這個長方形共鋪12個的？算式是什么？

生：算式是4×3。

（板書：4×3=12）

師：4、3、12各表示什么？

生：4表示每行個數，3表示行數，12表示總個數。

師：看來求總個數可以用每行個數乘行數。

（板書：每行個數×行數＝總個數）

師（橫豎各鋪一條邊）：這種鋪法，沒鋪滿，你們怎么看出一共可以鋪12個呀？

生：橫鋪一行有4個，說明每行是4個；豎排一列有3個，說明有3行。

師：同學們真聰明，這種鋪法，雖然沒有鋪滿，但沿長邊鋪一行已經可以看出每行個數，沿寬鋪一列可以看出能鋪的行數。用每行個數乘行數，就可以求出總個數，總個數知道了，面積也就知道了。

【評析：從滿鋪到各鋪一邊，這是思維的第一次提煉：拋開操作中具體事物的外衣，留下了具有思維含量的數學思考。】

2.想象鋪，求面積。

（1）屏幕出示：中間一個紅色大長方形，右上角一個小正方形。

師：看屏幕，右上角這個小正方形的面積是1平方厘米，請你估一估，中間這個紅色長方形的面積。你會怎么估？

生：我估每行鋪5個，能鋪3行，共15個，所以我估它的面積是15平方厘米。

生：我估面積是18平方厘米，每行鋪6個，有3行。

（屏幕出示：長6厘米，寬4厘米）

師：現在，你能確定，這個長方形的面積是多少？怎么推算的？

生：這個長方形的面積是24平方厘米。

生：我想象這樣鋪：每行鋪6個，能鋪4行，一共是24個1平方厘米。

師：每行鋪6個，能鋪4行，你是根據什么確定的？

生：長6厘米，每個小正方形的邊長是1厘米，說明每行能鋪6個；寬4厘米，說明能鋪4行。

師：看電腦老師鋪。（課件演示）他說對了嗎？

（板書算式6×4=24）

師：為什么剛開始估不準呢？

生：因為剛開始，我們不知道長和寬。

師：為什么長、寬不知道，面積就估不準？

生：長寬不知道，每行個數和行數就不能確定，所以不能確定面積。

題目：一個長方形游泳池，長50米，寬30米，它的池面面積是多少？

師：你會用什么方法來解決這個問題呢？有想下水去鋪一鋪的想法嗎？那你會有什么好辦法？

生：不用下水去鋪，用長乘寬就可以！

生：長乘寬等于面積！

師：大家聽明白了嗎？長幾，每行個數就是幾；寬幾，行數就是幾。我們原來用“每行個數×行數”求出總個數，來推算面積。現在，知道了這個奧秘以后，我們可以直接用“長×寬”來求長方形的面積了。

（板書：長×寬=長方形的面積）

【評析：學生從“操作鋪求面積”→“想象鋪求面積”→“根據長寬直接推算面積”，學生的思維從實際操作的層面，過渡到了“用思維去把握對象”，這是學生操作活動內化的結果，體現了“操作→表象→推理”的數學思維活動過程。】