基于直觀歸于本質(zhì)
——對『長方體體積=底面積×高』的教學(xué)反思

何月豐

在學(xué)習(xí)長方體體積計(jì)算時(shí)，對“長×寬×高”這個(gè)計(jì)算方法的理解是教學(xué)重點(diǎn)，對此，學(xué)生往往要經(jīng)歷觀察、操作、歸納這樣一個(gè)過程。而對于“底面積×高”的理解，過程相對就會簡略許多，一般僅以“底面積”可由“長×寬”計(jì)算得來這樣一種類似等量代換的形式來加以推理。這樣的處理，對學(xué)生運(yùn)用這個(gè)計(jì)算方法解決問題顯然沒有太大的影響。值得思考的是：這樣的處理，學(xué)生真的理解了嗎？一次聽課中，學(xué)生就出現(xiàn)了這樣的疑惑：前面剛學(xué)“長×寬”代表一層，而底面積是一個(gè)面，意思不一樣的呀？

學(xué)生的疑惑有道理嗎？我們不妨來分析一下：

長方體的體積=長×寬×高。當(dāng)長方體的長a、寬b和高h(yuǎn)都是整數(shù)時(shí)，這個(gè)長方體正好等分為b行、a列、h層個(gè)體積為1的正方體，所以體積為abh個(gè)體積單位。在實(shí)際教學(xué)中，一般引導(dǎo)學(xué)生這樣理解：“長”代表“一行有幾個(gè)（對應(yīng)的體積單位）”，“寬”代表“有幾行”，“高”代表“有幾層”。故“長×寬×高”代表“一行幾個(gè)×幾行×幾層”。由此可得：在計(jì)算長方體體積中的“長×寬”，其計(jì)算結(jié)果表示“一層體積單位的個(gè)數(shù)”。

再來看“底面積”。無論從本意理解還是教材呈現(xiàn)，長方體的底面積指長方體底面的面積。因此，這里需要回顧長方形面積的計(jì)算方法。

長方形的面積=長×寬。當(dāng)長方形（矩形）的長a和寬b都是整數(shù)個(gè)長度單位時(shí)，則這個(gè)長方形正好等分為b行、a列面積為1的正方形，所以面積為ab個(gè)面積單位。在實(shí)際小學(xué)教學(xué)中，一般引導(dǎo)學(xué)生這樣理解：“長”代表“一行有幾個(gè)（對應(yīng)的面積單位）”，“寬”代表“有幾行”。由此可得：在計(jì)算長方體底面積中的“長×寬”，其計(jì)算結(jié)果表示“這個(gè)底面包含的面積單位的個(gè)數(shù)”。

通過上述分析可知，長方體體積計(jì)算中的“長×寬”與長方體的底面積不能簡單地等同起來，兩者在意義上是不同的。由此可見，學(xué)生的疑惑是有一定道理的。進(jìn)一步可知，僅以“底面積”可由“長×寬”計(jì)算得來這樣一種類似等量代換的形式來加以推理，學(xué)生在理解上是有盲區(qū)的。

那么，為什么“底面積×高”可以成為所有直柱體體積的通用計(jì)算方法，這自然有其可以解釋的道理。但是這個(gè)道理涉及到了一個(gè)小學(xué)生難以真正理解的知識——微積分（極限）。我想，這或許也就是教材對此“避而不談”，而僅以“長×寬=底面積”來進(jìn)行形式化推理的緣由。

如何來化解這個(gè)矛盾？其實(shí)教材一開始就給出了方法——直觀理解:長方形面積就是計(jì)算長方形包含的面積單位的個(gè)數(shù)，直觀形象；長方體體積就是計(jì)算長方體包含體積單位的個(gè)數(shù)，同樣直觀形象。“底面積×高”，自然也可以走這樣的直觀化認(rèn)知之路。

例如，以上面的長方體為例：底面積是12平方厘米，代表底面包含了12個(gè)1平方厘米的面積單位，每個(gè)面積單位上都可以擺1個(gè)1立方厘米的體積單位，因此12平方厘米就對應(yīng)12立方厘米。這樣，“底面積×高”的道理就通了。實(shí)際教學(xué)時(shí)，在前面直觀理解“長×寬×高”道理的基礎(chǔ)之上，引導(dǎo)學(xué)生看一看、想一想，最后可由課件進(jìn)行直觀演示，學(xué)生自然就明白了。

其實(shí)“直觀化”一直貫穿于整個(gè)小學(xué)幾何教學(xué)，這也符合兒童幾何以“直觀幾何”為主的心理特征。除了上述例子，例如圓柱轉(zhuǎn)化成近似長方體進(jìn)而得出體積計(jì)算方法，也是直觀之路，因?yàn)槠浔举|(zhì)涉及到了祖暅原理，顯然小學(xué)生又難以理解了。