優(yōu)化建筑過程 發(fā)展運算能力
——《分數與整數相乘》同課異構教學帶來的思考

李　燕

運算能力是小學生數學學科素養(yǎng)的重要部分，《數學課程標準》指出：運算能力主要指能夠根據法則和運算律正確地進行運算的能力。培養(yǎng)運算能力有助于學生理解算理，能夠尋求合理簡潔的運算途徑解決問題。從蔡婷婷和錢俊兩位教師《分數與整數相乘》一課的同課異構教學中，我們能夠感受到他們都聚焦了運算能力培養(yǎng)，有效地發(fā)展了學生的運算能力，但在優(yōu)化算理和法則的建構過程中各有精妙構思。

一、找準建構起點，激活運算基礎

有效的數學教學活動必須建立在學生認知發(fā)展水平和已有的知識經驗基礎之上。這就要求數學教師要善于準確把握學生的學習起點，讓學生在原有的認知水平上展開學習活動，使所有學生都能站在各自的“起跳點”上，運用自己的跳躍方式“跳一跳”，實現知識的有效建構。

在《分數與整數相乘》一課的教學過程中，兩位教師都能找準學生新知建構的起點。“分數與整數相乘”這一教學內容是建立在學生對整數乘法意義的認識、同分母分數加法計算法則等基礎之上的。縱觀兩位教師的教學，他們采用不同的導入形式，但究其根本都是讓學生激活之前所學的運算基礎，并遷移到對本課新知的探究中去。

蔡老師在復習鋪墊環(huán)節(jié)設計了相同整數相加的快速搶答練習，以此來激活學生對整數乘法意義的認知基礎，明確求幾個相同加數的和可用乘法來計算比較簡便。另外，還引導學生復習鞏固同分母分數加法的計算法則。在復習鋪墊環(huán)節(jié)找準了分數與整數相乘的已有認知起點，為后續(xù)分數與整數相乘意義的認識和算理算法的探究奠定了基礎。

錢老師則采用情境引入的方式來激活學生對整數乘法的意義和同分母分數加法運算法則的舊知，通過對數據的精心設計，從題目中讓學生體會到分數乘整數的必要性和優(yōu)越性，從而遷移到本節(jié)課所要學習的分數乘法的意義上來。同時，錢老師在情境中所設計到的數據與之后出現的例題存在一定的聯系性，也體現了錢老師在設置環(huán)節(jié)中充分考慮到了整體性。

兩位教師采用不同的方式激活學生已有認知基礎。學生主動遷移整數乘法的意義，面對求幾個相同分數連加的新問題，能列出分數與整數相乘的算式，闡述列式理由。這表明學生已經完成了運算意義的建構。

二、落實建構基點，探尋運算理法

從數學學習心理學的角度來分析，運算能力主要是由問題最初定向、抽象概括能力、壓縮簡化運算環(huán)節(jié)能力、算法轉換能力、優(yōu)化算法能力及記憶能力等六個要素構成。曹培英教授從小學數學教學實際出發(fā)，整合上述各種運算能力要素，建構起算法、算理、口算、策略四位一體的運算能力模型結構。在這個模型中，基本口算是其他任何計算不可或缺的運算反應，是整個運算能力的有力托底；算法、算理構成了運算能力的左右兩翼，在小學數學中兩者是相輔相成的，計算法則教學中要實現兩者的有機融合，做到循理入法、以理馭法、以法促理；運算策略是指運算信息挖掘、運算問題定向、運算方法選擇及運算過程簡化，它與其他三要素互相關聯，是鑒別運算能力的敏感因素。在蔡老師和錢老師的兩堂課中，重點關注了算理和算法探究過程的展開，落實建構基點，引導學生逐步展開探究。

蔡老師細致地引導學生經歷探索過程。先是采用幾何直觀的方式，讓學生“用圖說話”，直觀操作、表述題意，借助已有知識技能直觀解決“3朵這樣的綢花，一共用綢帶幾分之幾米”這一問題。在此基礎上，蔡老師引導學生脫離直觀圖，對計算過程加以展開，形成同分母分數加法、分母不變分子連加、分母不變分子相乘等多種形式，這實質上是一個推理過程的詳細展開。然后教師幫助學生壓縮和簡化這個思維過程，直接寫成分母不變、分子相乘的形式，讓學生歸納概括分數與整數相乘的計算法則。

錢老師則采用了比較開放的教學手段，為學生提供了充足的自主嘗試、合作研討的時空，在學生遷移整數乘法意義列出分數乘法算式后，大膽放手讓學生自己探究分數與整數相乘的算理和算法。學生借助已有基礎大膽嘗試，呈現出多種不同計算思路和方法：有的把乘法轉化為同分數連加來計算結果；有的借助圖形來直觀推理計算；有的通過分數的意義來直接思考計算結果；也有的采用分子相乘分母不變的法則進行計算。錢老師適時地引導學生對這些不同的解決方法進行了點評，討論、理解“分母不變，分子和整數相乘”的算理，通過比較多種方法，讓學生選擇出適合自己的計算方法。

三、把握建構節(jié)點，優(yōu)化運算方法

如上文所說，運算策略是指運算信息挖掘、運算問題定向、運算方法選擇及運算過程簡化，它與其他三要素互相關聯，是鑒別運算能力的敏感因素。因此，高水平的運算能力還體現在學生根據算式特點靈活運用巧妙策略，使計算方法進一步優(yōu)化和完善上。分數與整數相乘的初步計算方法是需要得到進一步優(yōu)化和完善的。這是本課教學的一個難點所在。因為學生受到分數加減法計算習慣的影響，習慣于在算出結果后再進行約分，而分數乘法需要在計算前先行約分后再計算，這樣比較簡便。

蔡老師在處理這一難點時，先是讓學生解決變式問題，讓學生在鞏固初步算法的同時過渡到先約分后計算的優(yōu)化算法。針對學生囿于先計算后約分的課堂現實，教師采用講授、示范的方法，直接板演“先約分，再計算”的計算過程，讓學生了解此方法更為簡便，體會分數乘整數計算結果要為最簡分數。

錢老師大膽充實了教材內容，在教學例題1時，當學生呈現了先計算后約分的方法后，教師并沒有直接告訴學生優(yōu)化的方法，而是緊跟著讓學生練習一組題目，其中包括計算結果約分時數據較大、比較麻煩的，如引導學生先主動思考“怎樣算可以更簡便一些”，由于學生已經得出最簡分數結果，受此結果啟發(fā)，學生自發(fā)地想到了可以先約分后計算。這樣的教學給學生獨立探索嘗試的機會，能夠更好地培養(yǎng)學生靈活選擇運算策略的能力。

四、夯實建構力點，提升運算技能

設計富有層次性的多樣化鞏固練習是形成運算技能的重要途徑。兩位教師在對學生運算能力和思維培養(yǎng)的深度、廣度、寬度上都有著自己一定的思索，他們在鞏固練習的設計上也充分考慮到基礎性和發(fā)展性相呼應，層次性和邏輯性相聯系，夯實了建構力點，較好地鞏固和發(fā)展了學生的運算技能。

蔡老師首先安排畫圖填空練習，旨在鞏固分數乘法的意義和算理；接著安排了一組計算練習，進一步強化和熟練運用運算法則，尤其是針對先約分后計算這一學習難點，再次引導學生辨析練習中出現的問題，重點體會這一算法的優(yōu)越性；最后讓學生運用所學新知解決生活中的實際問題。這些練習具有一定的基礎性和層次性。

錢老師在教材原有練習題的基礎上進行了調整和補充。他把畫圖計算練習放在了例1新授后作為即時鞏固練習，幫助學生及時鞏固運算意義和算理，在交流時選擇橫著涂和豎著涂兩種不同的涂法，讓學生進行比較，更有利于培養(yǎng)學生考慮問題思維的多角度、多方位。錢老師還設計了一組辨析題，讓學生進一步明確算理，再一次強化基本算法，在分析中培養(yǎng)學生邏輯能力。

兩位教師最后還都設計了一道拓展性練習題，啟發(fā)學生靈活運用計算法則，把分子和整數交換位置，實現法則的交互變通性，有效培養(yǎng)了學生運算思維的靈活性，深刻地內化了運算法則。