一種無類型的弱公理化真理論及其擴充

李 晟

(四川師范大學 邏輯與信息研究所，成都 610068)

一種無類型的弱公理化真理論及其擴充

李 晟

(四川師范大學 邏輯與信息研究所，成都 610068)

在概述弱公理化真理論與無類型的弱公理化真理論PUDT的基礎上，證明無類型去引號理論，即正一致去引號理論(positive uniform disquotational theory，簡記為PUDT)是一種正真(positive truth)的弱公理化真理論。對PUDT進行適當擴充，可以得到在經典邏輯上不相容，而在直覺主義邏輯上相容的公理化真理論。但是，這類公理化真理論并不是理想的真理論。

公理化；真理論；弱組合性；無類型

一、什么是弱公理化真理論

弱公理化真理論是指對真概念的組合性原則進行弱化處理。組合性認為復雜表達式的語義值是由其句法組成模式和組成成分的語義值所決定的。組合性對真概念的日常語言實踐十分重要。萊特戈布(H.Leitgeb)將真概念的組合性作為理想真理論應當具備的8個標準之一[1]280-281。

在通常情況下，組合性原則是以一階全稱量化語句來表達的，并且一般是將這些語句直接作為公理化真理論的真之公理。經典的公理化真理論的塔爾斯基組合理論CT、Friedman-Sheard理論FS以及Kripke-Feferman理論KF都是這樣的真理論。去引號理論DT比較特別，它是以受限制的塔爾斯基雙條件句的所有實例為真之公理，在形式上并不能體現組合性，但是相比前面3種真理論，其真之公理簡單而直觀。然而，DT的主要缺點是弱演繹力，即DT不能證明包含真謂詞的全稱量化語句。這就意味著DT沒有組合性。但霍斯頓(L.Horsten)認為，若是以公理模式重新表達CT的組合公理，就應當可以證明這些組合公理能夠由DT推出[2]71。

以公理模式而非一階全稱量化語句表達組合性原則，稱為弱組合性。滿足弱組合性的公理化真理論稱為弱公理化真理論。埃德爾(G.Eder)在論文《組合性與弱公理化真理論評論》[3]中，首次提出并討論了弱公理化真理論。在這篇論文里，埃德爾反駁了霍斯頓關于DT與CT相互關系的觀點。埃德爾證明，DT不能推出CT的全稱量詞組合公理的模式版本[3]545。這就說明霍斯頓的設想其實并不成立，從而也表明在DT與CT之間確實還存在著弱公理化真理論。直接弱化CT的組合公理所得到的真理論，雖然可以具備弱組合性，但是并沒有實際價值。埃德爾希望，弱公理化真理論不僅要能夠滿足弱組合性，還要能夠在形式上具備DT的簡單直觀性。埃德爾證明，一致去引號理論(uniform disquotational theory，簡記為UDT)是介于DT和CT之間的弱公理化真理論[3]546-547。

但是，UDT是一種類型的(typed)公理化真理論。類型真理論雖然可以避免說謊者悖論，但是由于它們不允許真謂詞自由迭代，以至于很多直觀上成立的語句卻不能被類型真理論接受。比如，“0等于0是真的”是真的。因此，類型真理論具有比較明顯的局限性。本文將在埃德爾工作的基礎上，嘗試找出一種無類型的(type-free)弱公理化真理論。

二、無類型的弱公理化真理論PUDT

對于無類型的弱公理化真理論，我們仍然堅持兩條標準：弱組合性與真之公理的簡單直觀。先看真之公理的簡單直觀。在已有的無類型公理化真理論中，滿足這一要求的只有無類型去引號理論PUDT，所以接下來只需考察PUDT是否還能滿足弱組合性。再看弱組合性。無類型的弱組合性有兩種可能的方案；一是將FS的真之公理進行弱化處理，二是將KF的真之公理進行弱化處理。

定義2(正真公式) LT公式φ被稱為正真公式，當且僅當φ中不包含前綴奇數個否定詞的T謂詞。當φ是閉公式時，稱為正真語句。

從真之公理的直觀簡單性上看，PUDT與類型弱公理化真理論UDT極為相似。UDT能夠證明CT真之公理的弱化版本，那么作為CT的無類型擴充理論的FS，PUDT也就期待能夠證明FS真之公理的弱化版本。但是，由于PUDT只能處理正真公式，所以其弱組合性也只能限制為關于正真公式的弱組合性?，F在考慮FS意義上的弱組合性。弱化FS的真之公理將得到：

WFS1：T┌φ┐? Val+(┌φ┐)，φ是LPA原子語句；

定義3(PWKF) 無類型正真弱組合理論PWKF是以正真公理模式的形式重新表達KF的真之公理所得。包含以下13條真之公理：

PWKF1：T┌φ┐?Val+(┌φ┐)，φ是LPA原子語句；

PWKF12：T┌T┌φ┐┐?T┌φ┐，φ是LT語句；

定義4(無類型正真弱組合性) 如果一種真理論能夠證明PWKF的組合公理PWKF1至PWKF12，那么就稱這種真理論滿足無類型正真弱組合性。

定理1PUDT滿足無類型正真弱組合性。

證明：只需證明PWKF1至PWKF12均能為PUDT證明。首先驗證含T謂詞的原子語句的情形，PWKF12即為PUDT真之公理的代入特例。

其次，驗證等式原子語句和邏輯聯結詞、量詞的情形。

其余情形可以類似地驗證。

關于PUDT的其他性質，哈爾巴赫(V.Halbach)證明，PUDT能夠定義KF的T謂詞[4]280-282，但他同時證明了PUDT的T謂詞不滿足KF的組合性，因為PUDT的弱演繹力使得它無法證明涉及T謂詞的全稱概括語句[5]794。但定理1表明，PUDT能夠在埃德爾弱組合原則的意義上證明KF的正真弱組合公理。所以，PUDT的確是一種關于正真的無類型弱公理化真理論。

三、對PUDT的擴充

考慮由以下兩條真之規律組成的真之公理集：

很明顯，ST1就是PUDT的真之公理；ST2是FS和KF的析取詞真之公理的模式版本。下面定義兩種新的公理化真理論：

定義5(CST) 基于經典邏輯的公理化真理論CST是在算術理論PAT的基礎上添加ST1和ST2所得。

定義6(IST) 基于直覺主義邏輯的公理化真理論IST是將CST的邏輯基礎直接減弱為直覺主義邏輯而得到。

定義7(IPUDT) 把PUDT的邏輯基礎直接減弱為直覺主義邏輯，所得理論記為IPUDT。

不難看出，CST是對PUDT的擴充，而IST是對IPUDT的擴充，并且CST與IST的區別僅在于邏輯基礎。

定理2CST是相容的。

證明：因為PUDT是KF的子理論[4]276-277，所以ST1是KF可證的；而ST2是對KF公理的直接弱化，因而也能夠為KF證明。所以，CST是相容的。

定理3IST是相容的。

證明：根據定義6可知，IST是CST的子理論，所以由定理2可證。

定義8(NEC規則) 對任意LT語句φ，如果能給出φ的證明，那么就能由此得到T┌φ┐。

定義9(CONEC規則) 對任意LT語句φ，如果能給出T┌φ┐的證明，那么就能由此得到φ。

定理4CST對NEC和CONEC封閉是不相容的。

定理5IST對NEC和CONEC封閉是相容的。

一般說來，為了得到一個相容的真概念，需要對真理論做一些限制。通常有3種方式：限制語言、限制邏輯、限制真之規律。限制語言的代表是塔爾斯基的語言層次理論，其成效顯著但局限性也十分明顯。限制真之規律最為有效，但是在弄清導致不相容性的根源前，急于限制真之規律并不利于真理論的發展。限制邏輯的做法比較少，因為除了經典邏輯和直覺主義邏輯，其他邏輯與日常的推理實踐確實相差太遠。

在論文《直覺主義邏輯上的Friedman-Sheard方案》[6]中，利(G.E.Leigh)和拉特延(M.Rathjen)認為，真之規律的不相容組合在很大程度上是由于使用了經典邏輯，倘若放棄經典邏輯基礎，改為采用直覺主義邏輯，則很可能使原本不相容的組合變成相容。利和拉特延的工作是限制邏輯的一次嘗試，但是他們并沒有真正給出一個在經典邏輯上不相容而在直覺主義邏輯上相容的組合。

本文以無類型弱公理化真理論PUDT為基礎，發現了一組真之規律(即ST1和ST2)，當它們以經典邏輯為基礎(即CST)，并且對NEC規則和CONEC規則封閉，它們是不相容的；而在直覺主義邏輯基礎上(即IST)卻相容。差別僅在于邏輯基礎。這就說明確實存在經典邏輯上不相容而直覺主義邏輯上相容的真之規律的組合，也就表明限制邏輯是可行的。

定義10(IST′) 基于直覺主義邏輯的公理化真理論IST′是在算術理論HAT的基礎上添加下列真之公理所得：

其中，HAT是用LT重新表達海廷算術HA所得。HA與PA的算術公理完全相同，區別只在于邏輯基礎，前者是直覺主義邏輯，后者是經典邏輯。

雖然從形式上看，IST′的真公理確實比IST更豐富，但IST′同樣不能完整地刻畫真謂詞的組合性，所以IST′與IST實際上是對PUDT的真之公理的同類型擴充。由此不難想到，如果一組真之公理能夠完整地刻畫組合性，那么無論這組真之公理是以經典邏輯為基礎，還是以直覺主義邏輯為基礎，都將得到關于相容性的相同結論，因為經典邏輯可以通過否定性轉換嵌入直覺主義邏輯。這也就能說明為什么在利和拉特延的工作中，雖然二人給出了15個基于直覺主義邏輯的極大相容組合，卻并沒有最終找出一個能在經典邏輯上不相容而在直覺主義邏輯上相容的組合。原因就在于，無論是基于經典邏輯的9個極大相容組合[7]6，還是基于直覺主義邏輯的15個極大相容組合，它們所包含的真之規律都能完整地刻畫真概念的組合性。而之所以能在直覺主義邏輯上得到更多的相容組合，是因為減弱邏輯基礎后，原本等價的組合現在不等價了，而不是原本不相容的組合現在相容了。

四、結束語

本文主要是對兩個問題進行了初步的探討。一是接續了埃德爾的工作，思考了無類型的弱公理化真理論。我們看到，如果以同時滿足真之公理的簡單直觀性和弱組合性為標準，那么正一致去引號理論PUDT就是現有的一種無類型的弱公理化真理論。但我們同時看到，PUDT只能證明關于正真的弱組合公理，所以它實際上并不等價于KF的直接弱化(WKF)。這就說明，要想找到等價于WKF的公理化真理論，必須對PUDT進行擴充。圍繞第二個問題，我們考察了PUDT的擴充理論。我們因此發現了一組特殊的真之規律：如果讓它對NEC規則和CONEC規則封閉，那么當它的邏輯基礎是經典邏輯時，它是不相容的；而當它的邏輯基礎是直覺主義邏輯時，它卻是相容的。但是這樣的公理化真理論并不能完整地刻畫真概念的組合性，所以它們都不是理想的真理論。而這也就說明了由利和拉特延所提出的限制邏輯的方案是有局限性的。

[1] LEITGEB H.What Theories of Truth Should be Like (but Cannot be)[J].Philosophy Compass,2007,2(2):276-290.

[2] HORSTEN L.The Tarskian Turn:Deflationism and Axiomatic Truth[M].Cambridge:MIT Press,2011.

[3] EDER G.Remarks on Compositionality and Weak Axiomatic Theories of Truth[J].Journal of Philosophical Logic,2014(43):541-547.

[4] HALBACH V.Axiomatic Theories of Truth[M].Cambridge:Cambridge University Press,2011.

[5] HALBACH V.Reducing Compositional to Disquotational Truth[J].Review of Symbolic Logic,2009(2):786-798.

[6] LEIGH G E,RATHJEN M.The Friedman-Sheard programme in intuitionistic logic[J].Journal of Symbolic Logic,2012,77(3):777-806.

[7] FRIEDMAN H,SHEARD M.An Axiomatic Approach to Self-referential Truth[J].Annals of Pure and Applied Logic,1987,33:1-21.

(責任編輯張佑法)

A Type-Free Weak Axiomatic Truth Theory and Its Expansion

LI Sheng

(Institute of Logic and Information, Sichuan Normal University, Chengdu 610068, China)

In this paper, we will prove that the type-free disquotational theory, that is, the positive uniform disquotational theory (PUDT), is a weak axiomatic truth theory for positive truth. There exists an axiomatic truth theory, which is consistent on classical logic but not on intuitionistic logic, when PUDT be expanded properly. However, this kind of axiomatic truth theory is not ideal theory of truth.

axiomatic; truth theory; weak compositionality; type-free

2016-07-29

國家社會科學基金項目“公理化真理論研究”(12BZX059)

李晟(1986—)，男，四川德陽人，講師，哲學博士，研究方向：現代邏輯。

李晟.一種無類型的弱公理化真理論及其擴充[J].重慶理工大學學報(社會科學)，2017(1):13-17.

format：LI Sheng.A Type-Free Weak Axiomatic Truth Theory and Its Expansion[J].Journal of Chongqing University of Technology(Social Science)，2017(1):13-17.

10.3969/j.issn.1674-8425(s).2017.01.003

B81

A

1674-8425(2017)01-0013-05