淺談中心極限定理及其應(yīng)用

金崢嶸

摘要：中心極限定理是概率論中最基本的定理之一，它是在客觀實際的背景下產(chǎn)生的，具有較為深刻的實際意義。本文圍繞兩種常用定理：林德伯格-萊維中心極限定理和棣莫夫-拉普拉斯中心極限定理，通過證明定理，討論定理的適用性，舉例生活中的初步運用，揭示中心極限定理的內(nèi)涵。

關(guān)鍵詞：實際應(yīng)用;林德伯格-萊維中心極限定理;棣莫夫-拉普拉斯

當(dāng)在分析大量隨機(jī)因素（不為主要因素）疊加的影響時，我們常常用到中心極限定理。定理表明在樣本容量充分大的情況下，隨機(jī)變量序列部分和的極限分布為正態(tài)分布。其闡明了影響較小的多個隨機(jī)因素之和與正態(tài)分布之間的聯(lián)系，也系統(tǒng)的解釋了正態(tài)分布在自然界大量存在的原因。在解決一些問題時，我們常把符合中心極限定理條件的隨機(jī)變量和的分布轉(zhuǎn)化為正態(tài)分布，進(jìn)而研究和討論。因為正態(tài)分布具有鮮明的特征及較為完善的結(jié)論，所以其探討過程更為直觀形象。因此中心極限定理為解決大量復(fù)雜多樣的實際問題提供了便利。

1 林德伯格一萊維中心極限定理

設(shè){X_n}為獨立同分布的隨機(jī)變量序列，且E（X_i）=μ，Var（X_i）=σ²>0存在，若記任意實數(shù)y有

證：令φ（t）為X_i-μ的特征函數(shù)（記為X_i-μ～φ（t）），則。已知E（X_i）=μ， Var（X_i）=σ²。則E（X_i-μ）=0，Var（X_i-μ）=σ²。φ'（0）=iE（X'-μ）=0，φ"（0）=i²E（（X_i-μ）²）=-σ²。將特征函數(shù)φ（t）在t=0時展開即：又因為。可知{Q_n*}的特征函數(shù)數(shù)列極限為服從N（0，1）的特征函數(shù)。所以可得

林德伯格-萊維中心極限定理適用于相互獨立，服從同一分布，有期望，有方差的隨機(jī)序列。定理實質(zhì)為～N（0，1）（n充分大時）（1），即在樣本容量充分大的情況下，隨機(jī)變量總和近似服從正態(tài)分布。通過（1）式可推出隨機(jī)序列均值的近似分布特點：。我們常用中心極限定理求隨機(jī)變量和在給定區(qū)間內(nèi)的概率或者在概率給定的情況下，求隨機(jī)變量和的值。

2 棣莫夫一拉普拉斯中心極限定理

設(shè)n重伯努利試驗中，事件A在每次試驗中出現(xiàn)的概率為P（0n