基于Hankel行列式的一類雙和恒等式

宋旭霞

（呼倫貝爾學院數學統計學院 內蒙古 海拉爾 021008）

關于孤子理論中的雙線性方程的研究，國際上一直非常活躍.尤其在雙線性方程的群射 Lie代數的問題研究上，更為積極。事實上，應用群論的方法已經發現了許多新的孤子方程，但是這種方法需要比較高深的代數知識，應用起來也比較困難，而方程的求解過程與Hankel行列式的性質密切相關。為此，本文在已獲得的Hankel行列式的雙和恒等式的基礎之上，研究Hankel行列式的雙和恒等式的推廣形式。

1.基礎知識

1.1 如果行列式滿足則稱之為 Hankel行列式。顯然，Hankel行列式滿足 aij= aji的條件，因此 Hankel行列式是對稱的，同時也滿足條件所以它也是次對稱的。

一般情況下，我們采用單后綴的方式來表示元素，令則有

1.2 若函數滿足關系式則稱函數關于其變量是s次齊次的；若函數滿足關系式則稱函數關于其變量的下標之和是s次齊次的。

1.4 已有性質

引理1[]]：關于Hankel行列式的凝聚余子式滿足以下關系式：

引理2[1]：關于Hankel行列式有下列雙和恒等式成立：

引理3[1]：歐拉定理：

（1）如果變量是相互獨立的，函數對每一個變量都是可微的，且對于變量是s次齊次的，則有

2.預備定理

Hankel行列式因其形式簡潔美觀、應用廣泛而著稱，在Hankel行列式性質研究的過程中，為了將已有Hankel行列式的雙和性質順利推廣，作為基礎，我們需要先行證明下列引理。

引理4：對于 Hankel行列式滿足下列齊次性的而相關結論：

（1）的展開式中的每一項都是n次齊次的；的展開式中的每一項的下標之和都是 n ( n - 1 )次齊次的。

（2） Hankel行列式的代數余子式 Aij的展開式中的每一項都是 n - 1 次齊次的；它的展開式的每一項的下標之和都是次齊次的。

證明：（1） 因為 An的展開式中一共包含 n !項，每一項的形式均為這里為1,2…n的一個排列，顯然展開式中的每一項都包含n個元素，從而 An是n次齊次的。

同時，通過觀察展開式的每一項的形式，可以發現其下標之和為

所以，展開式中的每一項的下標之和都是 n ( n -1)次齊次的。

（2）因為 Aij是在 An中去掉了第i行和第 j列，其展開式中一共包含(n - 1 )!項，每一項的形式為

同時，可以發現每一項的下標之和為

所以，展開式中的每一項的下標之和都是次齊次的。

推論1：對于Hankel行列式的代數余子式 Aij,hk，可知 Aij,hk的展開式中的每一項都是 n - 2 次齊次的；Aij,hk的展開式中的每一項的下標之和都是次齊次的。

證明：因為 Aij,hk是在 An中去掉了第 i, j行和第 h , k列，其展開式中一共包含(n - 2 )!項，每一項的形式為

這里的一個排列，顯然每一項都包含 n - 2 個元素，從而 An是 n - 2 次齊次的。同時，每一項的下標之和為

所以，展開式的每一項的下標之和都是次齊次的。

3.一類推廣的Hankel行列式雙和恒等式

有下列等式成立：

（2）令 m = r + s - 2 ，并且重新排列和式，則（1）式可以變形為

（4）令 m = r + s - 2 ，并且重新排列和式，則（2）式可以變形為

證明：（1） 由引理4可知 Aij的展開式的每一項都是 n - 1 次齊次的，利用Hankel行列式中對元素的偏導數的定義及歐拉定理可知

（2） 由引理4可知 Aij的展開式的每一項每一項的下標之和都是次齊次的，利用Hankel行列式中對元素的偏導數的定義及歐拉定理可知

（3）由引理4的推論1可知 Aij,hk的展開式的每一項都是 n - 2 次齊次的，利用Hankel行列式中對元素的偏導數的定義及歐拉定理可知

（4）由引理4的推論1可知 Aij,hk的展開式的每一項的下標之和都是次齊次的，利用Hankel行列式中對元素的偏導數的定義及歐拉定理可知

（5）利用Hankel行列式的性質，我們可知有

通過文中定理一和定理二的猜想與證明，我們得到了推廣后的Hankel行列式雙和恒等式的形式，解決了一類性質比較復雜的Hankel行列式所滿足的雙和關系的性質。它比Hankel行列式原有的應用空間更為廣泛，不僅對于研究摻雜特殊元素的Hankel行列式的相關性質有所幫助，更為重要的是可以用它來解決Dale方程、Toda方程、Kay-Moses方程等一系列物理方程的求解問題[3-5]，在可積系統的研究過程中具有非常重要的的應用價值。參考文獻：

[1]Robert Vein，Paul Dale。Determinants and Their Applications in Mathematical Physics [M].Springer-verlag，1998.

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[5]李彥君,楊勝良.加權Motzkin序列的Hankel行列式[J].純粹數學與應用數學,2017,(01)：26-36.

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