CVaR模型在二層供應(yīng)鏈網(wǎng)絡(luò)中的應(yīng)用

王亞燚

【摘要】本文建立涉及隨機(jī)因素的二層供應(yīng)鏈網(wǎng)絡(luò)，應(yīng)用求解隨機(jī)非線性互補(bǔ)問題的條件風(fēng)險價值模型得出其求解方法.

【關(guān)鍵詞】二層供應(yīng)鏈；條件風(fēng)險價值；應(yīng)用

為滿足在市場環(huán)境復(fù)雜多變下供應(yīng)鏈網(wǎng)絡(luò)的均衡，本文將二層供應(yīng)鏈網(wǎng)絡(luò)均衡問題轉(zhuǎn)化為隨機(jī)非線性互補(bǔ)模型.應(yīng)用參考文獻(xiàn)[1]中求解隨機(jī)非線性互補(bǔ)的CVaR的近似模型得出其求解方法.

一、符號與假設(shè)

本文假設(shè)m個非合作競爭的生產(chǎn)商生產(chǎn)同質(zhì)產(chǎn)品，記某一生產(chǎn)商為i，n個非合作競爭的零售商利用隨機(jī)需求代替消費者，記某一零售商為j，并引入如下符號：qij-生產(chǎn)商i與零售商j之間的產(chǎn)品交易量，Q=（q11，…，qmn）T-所有生產(chǎn)商與零售商的產(chǎn)品交易量的列向量，sj=∑mi=1qij-零售商j得到的產(chǎn)品總量，Ti>0-生產(chǎn)商i的最大生產(chǎn)能力，p1ij-生產(chǎn)商i給零售商j的單位產(chǎn)品價格，p2j-零售商j的單位產(chǎn)品售價，δj=（sj，dj）=max{0，sj-dj}-零售商j處供大于求的量，其單位產(chǎn)品罰系數(shù)為uj，δj=（sj，dj）=max{0，dj-sj}-零售商j處供小于求的量，其單位產(chǎn)品罰系數(shù)為uj.為滿足實際需要，本文提出生產(chǎn)商i的生產(chǎn)費用函數(shù)fi=fi（Q，ω）與其需支付的交易費用函數(shù)cij=cij（qij，ω）受突發(fā)事件影響，消費者需求隨機(jī)，記為dj=dj（p2j，ω），其中ω∈Ω是一個取值范圍在（0，1）上的隨機(jī)變量，服從連續(xù)分布，Ω是非空緊集，且fi，cij均在Ω上關(guān)于qij二次連續(xù)可微.

二、模型的構(gòu)建

根據(jù)上述假設(shè)條件與符號說明，生產(chǎn)商實現(xiàn)利潤最大化的優(yōu)化模型為：

max∑nj=1p1ijqij-fi-∑nj=1cij s.t.qij≥0，j=1，…，n∑nj=1qij≤Ti

零售商實現(xiàn)利潤最大化的優(yōu)化模型為：

max p2jmin（sj，dj）-ujδj（sj，dj）-ujδj（sj，dj）-∑mi=1p1ijqij

s.t. qij≥0

∑nj=1qij≤Ti，i=1，…，m

應(yīng)用隨機(jī)經(jīng)濟(jì)均衡條件得出零售商與消費者之間交易的均衡，表示為：對任意的零售商j，

dj（p2j*，ω）≤∑mi=1q*ija.e.，p*2j=0，=∑mi=1q*ija.e.，p*2j>0.（1）

對零售商中非光滑函數(shù)進(jìn)行CHKS光滑，使最優(yōu)化模型中的函數(shù)均為連續(xù)可微，綜上，帶有生產(chǎn)產(chǎn)量限制和隨機(jī)需求的二層供應(yīng)鏈網(wǎng)絡(luò)均衡條件可以表示為對每個生產(chǎn)商與零售商的最優(yōu)化問題求其一階必要性條件，所得到的隨機(jī)變分不等式與等價（1）的隨機(jī)變分不等式之和，即求解（Q*，p*2）∈K×Rn+滿足：

∑mi=1∑nj=1fiqij+cijqij+12（p2j*+uj+uj）s*j-dj4μ21+（s*j-dj）2+1-p2j*-uj×（qij-qij*）+∑nj=1（∑mi=1qij*-dj）×（p2j-p2j*）≥0，（Q，p2）∈K×Rn+.

其中K=∏mi=1Ki，KiRn為優(yōu)化問題的可行域，令X=（Q，p2）T∈K×Rn+，定義映射F=K×Rn+×Ω→K×Rn+為F（X，ω）=（F1（X，ω），F(xiàn)2（X，ω）），其中

F1（X，ω）=fiqij+cijqij+12（p2j*+uj+uj）s*j-dj4μ21+（s*j-dj）2+1-p2j*-uj，i，jF2（X，ω）=∑mi=1qij*-dj，j

則均衡條件等價于如下互補(bǔ)模型：求解X∈K×Rn+，滿足

X≥0，F(xiàn)（X，ω）≥0，XTF（X，ω）=0（2）

三、二層供應(yīng)鏈網(wǎng)絡(luò)均衡的CVaR模型

根據(jù)假設(shè)，互補(bǔ)問題（2）中的F（X，ω）在Ω上關(guān)于X二次連續(xù)可微，由文獻(xiàn)得出供應(yīng)鏈網(wǎng)絡(luò)均衡問題的CVaR模型的近似問題為：

min（X，u）∈K×Rn+×Rθk（X，u）=u+（1-α）-11Nk∑ωi∈Ωkμkln（exp‖Φ（X，ωi）‖2μk+1），

其中，α∈（0，1）表示給定的置信水平，μ>0為光滑化參數(shù)，Φ（X，ω）：K×Rn+×Ω→

K×Rn+定義為

Φ（X，ω）=Φ（X1，F(xiàn)1（X，ω））Φ（Xmn+n，F(xiàn)mn+n（X，ω））

Φ為限定的NCP函數(shù)Φ（a，b）=max2（ab，0）+max2（-b，0）.

根據(jù)隨機(jī)非線性互補(bǔ)問題CVaR模型的近似問題的全局最優(yōu)解的聚點為其全局最優(yōu)解是以概率1成立的，即可求得供應(yīng)鏈網(wǎng)絡(luò)均衡問題.

【參考文獻(xiàn)】

[1]羅美菊，劉紅玲.隨機(jī)非線性互補(bǔ)問題的條件風(fēng)險價值模型及其求解方法[J].數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)，2015（9）：1081-1091.