泰勒公式在高等數學解題中的應用分析

李立新

【摘要】泰勒公式在高等數學解題方面應用較廣，有尋求等價無窮小量、求極限、不等式的證明、近似計算幾方面的應用.本文將就泰勒公式在高等數學解題中的應用展開探討，深入了解泰勒公式的內涵，體會其特殊的數學價值.

【關鍵詞】泰勒公式；高等數學解題；應用分析

泰勒公式把復雜函數轉變成簡單函數，涉及了函數增量，自變量增量，導數等微積分計算，充分體現了微積分“逼近法”思想，通過把非線性問題轉化成線性問題，簡略了計算過程且計算結果確保了一定的計算精度，具有極高的應用價值.

1.用泰勒公式求等價無窮小量

在高等數學課堂教學時，我們了解了無窮小量的概念，同時還會接觸等價無窮小量，同時還會了解等價無窮小量的運算公式，即當（x）～1（x），β（x）～β1（x），lim1（x）β1（x）存在時，則lim（x）β（x），同時lim（x）β（x）=lim1（x）β1（x）在實際習題演算過程中我們只能套用公式，沒法通過公式的使用來尋求無窮小量的等價無窮小量，等價無窮小量在實際的高等數學函數化簡過程中可以發揮著極大的作用，簡化我們的化簡任務.在下面的定理探討中我們就可以有所了解.

定理：當x=a時，f（x）存在無窮小量，此時f（x）的泰勒展開式如下所示：

尋求等價無窮小量，用泰勒展開式比較容易，通過舉例我們就可以發現.如：ex=1+x1！+x2！+o（x2），所以當x趨近于0時，ex-1等價于x.

如：sin（sinx）=sinx-sin3x3！+o（x4）=x-x33！+o（x4）-13！x-x3[]3！+o（x4）3+o（x4）=x-x33！+o（x4），所以sin（sinx）等價于x.

在上述的運算中極大地減少了函數代換次數，減少了函數復雜度.

2.用泰勒公式求極限

例如求極限lim6e-x2sinx-x（6-7x2）3ln1+x1-x-2x（3+x2），其中x→0.

在對此函數展開化簡時，我們需要先分析該函數的結構特點與傳統的化簡方法，如果使用洛必達法則，不僅使用次數增加，函數形式可能更加復雜，函數基點是x→0，這時就需要使用泰勒公式展開式.基點x→0，函數的余項是皮亞諾余項，

使用帶有皮亞諾余項的泰勒公式，函數階數展開原則是一階一階展開，逐階消去達到最簡.針對分子6e-x2sinx-x（6-7x2）展開分析，e-x2的泰勒展開式第一項是1，sinx的泰勒展開式第一項是x，所以6e-x2sinx泰勒展開式第一項是6x，與其后的-6x相消除，第二項展開式是-76x3，還需展開第三項方便計算.分母的展開過程相似，具體的解答過程如下：

3.用泰勒公式證明不等式

針對泰勒公式的第二大高數解題應用，以下面的習題展開實際演算過程，從其證明過程我們體會出泰勒公式在證明不等式的高效性與簡易性.

例如：證明x>0，x-x22

證明：當x>0時，根據泰勒公式，可以將ln（x+1）展開如下形式：

綜上得出結論：

結語 最符合實際生活的應用是用泰勒公式進行近似計算，它不僅計算簡單還保證了計算結果具有極高的精確度，但在實際應用中需要做好區分，并不是所有的近似計算函數估值都適用泰勒公式，泰勒公式的選擇需要控制好使用條件，限制條件中需要滿足函數需要具備n 階連續可微函數，并且階數越大函數的精確度越高，需要根據學習經驗進行選擇.