數(shù)形結(jié)合方法應(yīng)用于高中數(shù)學(xué)教學(xué)的實(shí)踐研究

劉強(qiáng) 樊仕松

摘要：數(shù)形看似是兩個(gè)獨(dú)立的存在，數(shù)形的知識(shí)解讀中，學(xué)生經(jīng)常會(huì)發(fā)現(xiàn)數(shù)字與圖形之間有互通性，難以理解的數(shù)字問(wèn)題可通過(guò)圖形的轉(zhuǎn)化而得到明確的思路，難以看懂的抽象圖示也可以通過(guò)數(shù)字的提純，快速的找到關(guān)鍵要素，而挖掘數(shù)學(xué)的本質(zhì)，高中的數(shù)學(xué)知識(shí)逐漸變得深?yuàn)W難懂，學(xué)生雖然前期已經(jīng)累積了一定的數(shù)學(xué)質(zhì)疑基礎(chǔ)，但在數(shù)學(xué)的問(wèn)題分析上，仍舊缺乏自主理解能力，通過(guò)數(shù)形結(jié)合的模式，能夠?qū)?shù)學(xué)的有關(guān)知識(shí)串聯(lián)起來(lái)，學(xué)生深化的領(lǐng)會(huì)數(shù)學(xué)的內(nèi)涵，在數(shù)學(xué)的互動(dòng)中可以更加積極的表現(xiàn)自己，教師應(yīng)將數(shù)形思考的技巧傳授給學(xué)生，讓學(xué)生自主的在數(shù)形結(jié)合方式下展開(kāi)數(shù)學(xué)的探究。

關(guān)鍵詞：數(shù)形結(jié)合；高中數(shù)學(xué)；教學(xué)；實(shí)踐研究

引言：數(shù)形之間能夠互相轉(zhuǎn)化，也可以通過(guò)自發(fā)的數(shù)形構(gòu)建，雙管齊下共同化解數(shù)學(xué)的難點(diǎn)不，數(shù)形結(jié)合將復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題簡(jiǎn)約化，在思考互動(dòng)的過(guò)程中，學(xué)生潛移默化的將抽象的數(shù)學(xué)知識(shí)以直觀的形式印刻在腦海中，這種通俗易懂的教學(xué)模式，目前已經(jīng)成為數(shù)學(xué)素質(zhì)教育中不可或缺的一環(huán)，教師應(yīng)尊重學(xué)生的主觀意愿，從學(xué)生的視角出發(fā)建立數(shù)形思維，讓學(xué)生基于對(duì)數(shù)學(xué)根本的了解，明確數(shù)學(xué)定理的形成過(guò)程，數(shù)形結(jié)合形式能夠應(yīng)用于概念的理解，也可以應(yīng)用于計(jì)算問(wèn)題中，尤其面對(duì)繁瑣的幾何問(wèn)題，數(shù)形結(jié)合可幫助學(xué)生構(gòu)建空間邏輯思維，使得學(xué)生在數(shù)學(xué)的問(wèn)題思考中，強(qiáng)化自己的數(shù)感能力。

一、學(xué)生高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)存在的問(wèn)題

1.數(shù)學(xué)思想較差

數(shù)學(xué)思想并不僅局限于數(shù)學(xué)的問(wèn)題解析上，一些學(xué)生的成績(jī)較好，遇到問(wèn)題能夠流程化的推導(dǎo)，但在數(shù)學(xué)的思維上卻很容易形成定勢(shì)，難以透徹的領(lǐng)會(huì)數(shù)學(xué)的內(nèi)涵，當(dāng)一個(gè)問(wèn)題換一種提問(wèn)的形式，學(xué)生就容易摸不著頭腦，空間感與邏輯思考能力均較為薄弱，遇到難以化解的問(wèn)題，學(xué)生始終無(wú)法結(jié)合基礎(chǔ)知識(shí)進(jìn)行分析，對(duì)數(shù)學(xué)的辯證意識(shí)還有待提高。

2.陷入固化思維僵局

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)講究題海戰(zhàn)術(shù)，身經(jīng)百戰(zhàn)的學(xué)生在不斷地解題過(guò)程中也逐漸形成了自己的解題模式，片面相信自己的解題經(jīng)驗(yàn)，忽視了一些實(shí)用的數(shù)學(xué)思想和解題方法，陷入思維固化的僵局。

二、數(shù)形結(jié)合思想的重要性

數(shù)形結(jié)合包括兩個(gè)方面：第一個(gè)方面是“以數(shù)解形”，另一個(gè)方面是“以形助數(shù)”。“以數(shù)解形”就是當(dāng)有些圖形過(guò)于簡(jiǎn)單、對(duì)圖形進(jìn)行直接的觀察無(wú)法看出什么規(guī)律來(lái)時(shí)，這時(shí)就需要借助于數(shù)來(lái)為圖形賦值，如邊長(zhǎng)、角度等。我國(guó)著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾經(jīng)說(shuō)過(guò)：“數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬(wàn)事非。”數(shù)與形是事物的兩個(gè)方面的屬性。數(shù)形結(jié)合，主要是指對(duì)數(shù)與形進(jìn)行一一對(duì)應(yīng)，把抽象的數(shù)學(xué)語(yǔ)言、數(shù)量關(guān)系與直觀的幾何圖形、位置結(jié)合起來(lái)，通過(guò)抽象思維與具體思維的結(jié)合，將復(fù)雜難懂的數(shù)學(xué)問(wèn)題變得簡(jiǎn)單易懂，從而優(yōu)化解題途徑。數(shù)形結(jié)合思想是數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容的主線之一，應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想可以解決以下問(wèn)題：集合問(wèn)題、函數(shù)問(wèn)題、方程與不等式問(wèn)題、三角函數(shù)問(wèn)題、線性規(guī)劃問(wèn)題、數(shù)列問(wèn)題、平面幾何問(wèn)題、立體幾何問(wèn)題等。

三、高中數(shù)學(xué)教學(xué)中數(shù)形結(jié)合的實(shí)踐研究

1.借“形”顯“數(shù)”，化虛為實(shí)

在高中代數(shù)學(xué)習(xí)過(guò)程中，學(xué)生常常會(huì)反映這樣一個(gè)問(wèn)題，代數(shù)關(guān)系復(fù)雜多變，邏輯關(guān)系紛雜，很難進(jìn)行理解和記憶。而運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想，通過(guò)畫(huà)圖、構(gòu)建模型等方式，借“形”顯“數(shù)”，在圖形中找出“數(shù)”的問(wèn)題，化虛為實(shí)，更容易理解，強(qiáng)化記憶效果。例如，在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)集合問(wèn)題的時(shí)候，利用畫(huà)文氏圖，在這條封閉的曲線間，借“形”顯“數(shù)”，直觀地表現(xiàn)各種集合關(guān)系，化虛為實(shí)，理解集合的具體概念，形象地展現(xiàn)元素與集合相互之間的關(guān)系。同樣在學(xué)習(xí)“函數(shù)與方程”的相關(guān)內(nèi)容時(shí)，教師也可以使用數(shù)形結(jié)合的方法，幫助學(xué)生理清解題思路。例如，在教學(xué)中遇到這樣一個(gè)函數(shù)題目：已知0通過(guò)分析題目，我們應(yīng)該知道這是求函數(shù)y=ax與函數(shù)y=logax的實(shí)數(shù)根問(wèn)題，而采用數(shù)形結(jié)合來(lái)解決這個(gè)問(wèn)題，通過(guò)這個(gè)方程實(shí)數(shù)根個(gè)數(shù)就是判斷圖象y=ax與y=logax的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，簡(jiǎn)單畫(huà)出兩個(gè)函數(shù)的圖象，很明顯的就能發(fā)現(xiàn)圖象只有兩個(gè)交點(diǎn)，由此得出方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根的答案。

2.“形”里求“數(shù)”，直觀求解

數(shù)學(xué)中幾何問(wèn)題和代數(shù)問(wèn)題在一定程度上都存在互通，科學(xué)合理地運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，將復(fù)雜的幾何問(wèn)題直觀地轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題進(jìn)行求解，在一定程度上略去了繁復(fù)的理論分析過(guò)程，簡(jiǎn)化了解題思路。只要我們善于挖掘圖形背后的問(wèn)題，“形”里求“數(shù)”，很多時(shí)候都能用代數(shù)表示幾何意義，直觀求解。例如，在求解這道幾何題：已知A、B是直線l上的兩點(diǎn)，到平面α的距離分別為m，n，現(xiàn)在避開(kāi)A、B兩點(diǎn)，在l上任意取一點(diǎn)C，且AC∶CB=λ，試求點(diǎn)C到平面α的距離。仔細(xì)分析問(wèn)題的條件和求答，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)這是一道求點(diǎn)到平面距離的幾何題，準(zhǔn)確建立空間坐標(biāo)圖后，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)這是一道關(guān)于向量的代數(shù)求解題。

3.數(shù)形互滲，交叉運(yùn)用

數(shù)即代數(shù)，主要涉及數(shù)與方程式，而形指幾何，主要包含圖形和圖像問(wèn)題，數(shù)形結(jié)合思想需要將這二者靈活結(jié)合，相互滲透，在實(shí)際問(wèn)題解決過(guò)程中，賦予代數(shù)幾何意義，用幾何表達(dá)代數(shù)意義，交叉運(yùn)用，能更有效地解決數(shù)學(xué)問(wèn)題。例如，設(shè)x和y均為正數(shù)，且x2-y2=1，求y/x-2的取值范圍。這道題有很多解法，如果直接強(qiáng)行求解，涉及的過(guò)程非常復(fù)雜，給學(xué)生解題帶來(lái)很多麻煩，而如果采用數(shù)形結(jié)合的思想解題，則省去了代數(shù)推理過(guò)程中必須的推斷和計(jì)算過(guò)程，極大地簡(jiǎn)化了求解過(guò)程，使解題變得更為直觀方便。

結(jié)束語(yǔ)

高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和教學(xué)過(guò)程中，數(shù)形結(jié)合思想被廣泛應(yīng)用，直觀求解，數(shù)形互滲，交叉運(yùn)用，能有效地提高學(xué)生截圖能力，鍛煉學(xué)生思維能力，提高高中數(shù)學(xué)教學(xué)的實(shí)效性。

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