我是如何上好“點到直線距離”這節課的

洪金姬

摘 要： 本節課采用提出問題、探索討論、師生互動、生生點評、教師總結相結合的方式，在學生自主探索討論過程中，教師循循善誘，學生拾級而上，圍繞問題進行觀察、思考、分析、討論，從而概括、遷移、綜合數學方法，推導出點到直線距離公式.

關鍵詞： 點到直線距離公式 轉化與化歸 分類討論 坐標法

新課程下的數學課堂教學中，教師應該以學生發展為主軸，所創設的情境是學生熟悉的，設計的問題是學生能解決的，采用的教學方式是學生易接受的，符合維果斯基所倡導的“最近發展區”理論.通過特殊的、典型的問題，以及學生共同體的自主探索活動，將已解決問題中所蘊含的數學思想方法遷移到更一般的待解決問題中，把數學的學術形態轉化為學生易于接受的教育形態.

“點到直線的距離”這一節內容是在學生學習直線方程及兩點間的距離公式的基礎上，為以后研究平行直線之間的距離，直線與圓的位置關系，乃至以后解析幾何中的三角形面積問題埋下伏筆.新課程標準要求教學過程不僅要重視基礎知識、技能教學，更要關注知識形成過程與方法的教學，也就是不僅知其然，更要知其所以然，因此這節課的內容不僅是公式的運用，還要在公式的推導中，讓學生體會數學思想，鍛煉思維品質，提升數學素養，感受數學方法的奧妙.

1.教學課題

人民教育出版社的普通高中課程標準實驗教科書（必修）《數學2》，第三章第三節的第三小節“點到直線的距離”，共1個課時.

2.教學對象

寧波市鄞州區鄞州高級中學高二學生.

3.設計要點

本設計以問題“求點到直線的距離”為中心，運用啟發式教學模式，采用提出問題—解決問題—啟發遷移—解決問題—總結思想方法的設計模式，要求學生不斷分析、探究問題，制定解決問題的策略.此外，教師給予適當數學支持，實現教學目標.

4.教學目標

4.1知識與技能目標

4.1.1掌握點到直線距離公式的若干推導方法，體會其中的數學思想方法；

4.1.2能運用點到直線距離公式求點到直線距離及與之相關的問題.

4.2過程與方法目標

4.2.1在對問題觀察、思考、分析、討論的過程中，讓學生體會數學知識的產生、遷移、概括、發展和應用，進一步培養學生數學思維能力；

4.2.2滲透推導中的數學思想方法；

4.2.3通過對問題的思考、探究交流，培養學生良好的數學交流能力，以及形成數學知識的概括能力.

4.3情感態度與價值觀目標

4.3.1體驗獲取數學知識的成功感受，激發學生自主學習和研究幾何的積極性及對數學的情感；

4.3.2通過生生、師生之間的交流與配合，在問題的探究、討論中，培養學生嚴謹的治學態度及良好的思維習慣；

4.3.3培養學生團隊合作意識，個性品質，以及勇于探究的科學精神.

5.教學重點、難點

5.1教學重點：點到直線的距離公式推導及公式的應用；

5.2教學難點：點到直線的距離公式的推導.

6.教學方法

研究式與啟發式并用

7.教學過程

7.1小試牛刀——情感體驗

一、點到特殊直線的距離問題

教師用電腦顯示屏展示以下兩個問題：

以上師生共同歸納完成，具體過程恕不贅述.

以學生熟悉的數學問題為情景，學生自主研究、探索，從而獲得點到特殊直線距離公式的發生過程，可采用圖像法，定性地歸納，讓學生體驗獲得數學知識的信心與樂趣.

7.2借題引路——授生以漁

教師用電腦顯示屏展示以下四個問題，同時要求學生以6人或6人以上為一組，集體探究、討論.

二、點到一般直線的距離問題

（2）求點P到直線l的距離.

7.3合作交流——模型遷移

著名心理學家巴甫洛夫的理論認為：創造性思維活動稱為原型啟發，創造性思維通常是在某個原型的啟發下形成的.例如偉大的數學家笛卡爾在夢見蜘蛛“表演”的啟示下，創造了笛卡爾坐標系，由此可見，啟發原型在數學的發現中有多么重要.

啟發式教學就是在教師引導下，要以問題為載體，以培養學生的創新素質為中心，以學生的動手實踐、自主探究、合作交流為主要學習方式，通過小組合作學習和組間交流競爭為主要途徑，實現全體學生的主動性、社會性和創造性地和諧發展的教學活動方式，要體現教師為主導、學生為主體，思維訓練為主線的教育理念.在巡視教室的同時，教師要給予學生適當的數學支持，保持課堂氣氛活躍，使得生生、師生之間產生互動，激發學生學習興趣，活躍課堂氣氛，進一步發揮學生的主體意識和主觀能動性，使學生從具體問題的分析過程中得到啟發，從而更好地優化課堂教學，改善課堂教學效果.

7.4庖丁解牛——達成共識

7.5生生互評——對比總結

教師：通過這節課，我們進行了點到直線距離公式的推導，方法多種多樣，實際上方法不止十種，由于時間關系，在這里僅僅是研究了其中的四種.那么我們再來品味一下，每種方法的本質，以及蘊含著的數學思想如何？

眾生議論，每組又派出另外一名代表，針對推導的方法進行總結.

學生1：方法1是最常規的，雖然直接求射影運算比較繁瑣，但是通過設而不求，整體代換，用一種湊的技巧來求解，使得運算簡化很多.該方法的本質，是把點到直線的距離轉化為點與點之間的距離，也就是直線外一點與該點在直線上射影之間的距離，體現轉化與化歸思想.

學生2：方法2是運算相對比較常規，通過作輔助線，構造直角三角形，運用等積法求點到直線的距離公式，其實也與方法1類似，體現數學中的轉化思想.

學生3：方法3的特點是運用向量數量積的幾何意義，將點到直線的距離轉化為點與直線上的點所成的向量在直線法向量方向上投影的長度，也體現轉化思想.

學生4：方法4的特點是根據已經成立的不等式，將兩點間的距離公式湊成與之結構相應的不等式，構思非常巧妙，最后用函數思想求代數式的最小值，也是將幾何中的最值問題化歸為代數中的最值問題.

話音剛落，又有一位學生舉手欲語，老師示意讓其發言.

學生5：我覺得這四種方法還有內在聯系，不僅體現在數學思想上的相同，還有這四個方法都是以坐標法為核心的，都需要借助于坐標求解或表示相關量.

7.6教師點評——課堂小結

教師：五位同學的點評比較到位，也把其中的數學思想方法講得比較透徹.通過點到直線的距離公式的推導，我們用不同技巧方法，不同思維角度進行探究，四種方法可謂各有千秋，但是其中蘊含的思想方法卻大同小異，借助于特殊問題的啟發，運用轉化與化歸思想和坐標法思想來推導.此外，對于以上四種方法，其實方法1、2在細節上還要進行分類討論，也就是直線方程l：Ax+By+C=0中的A=0，或B=0中有一個成立的時候，公式還是成立的，具體操作請同學們在課后完成.

7.7運用公式——體會價值

例1.（1）求點P（1，-3）到直線l：2x+y-3=0的距離；

（2）求點P（1，-3）到直線l：2x+y+1=0的距離.

例2.已知A（1，3），B（3，1），C（-1，0），求△ABC的面積.

設計這兩個例題的目的是說明點到直線距離公式不僅適用于特殊直線、特殊點、一般直線，還可以應用到距離相關的三角形面積問題.具體過程不再贅述.

7.8課后作業（略）

參考文獻：

[1]袁振國.當代教育學.

[2]黃希庭.心理學.

[3]馮斌，尚俊.等比數列前n項和的教學設計.上海中學數學，2006，5.