審題教學的常用策略

王友峰●

江蘇省蘇州工業園區青劍湖學校(215000)

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審題教學的常用策略

王友峰●

江蘇省蘇州工業園區青劍湖學校(215000)

數學教學離不開解題教學,而解題教學的關鍵又是審題教學.因此加強審題教學的研究具有重要的意義.筆者根據長期的教學實踐，歸納審題教學的常用策略.

數學教學；審題研究；常用策略

數學教學離不開解題教學,而解題教學的關鍵又是審題教學.可以說，數學解題教學成在審題教學,敗也在審題教學.著名數學教育家波利亞說:“最糟糕的情況就是學生沒有弄清問題就進行演算和作圖.” 因此，加強審題教學的研究具有重要的意義.現根據筆者長期教學實踐，歸納審題教學的常用策略，供大家進行審題教學研究時參考，不當之處請指教.

策略一 引導審條件，學會挖隱含

我們知道，任何一個數學問題都是由條件和結論兩部分構成的.條件是解題的重要素材，是獲取“怎樣解這道題”的邏輯起點，是思維的啟動器.充分利用條件及其內在聯系是正確解題的必由之路.數學條件一般有顯性和隱性之分，解題教學中的審條件就是要把它們全都找出來，無一遺漏，特別是要引導學生學會對隱含條件的挖掘，進而充分發揮隱含條件的解題功能；在此基礎上，還要引導學生弄清條件所蘊涵的數學含義，即要求學生看清楚條件所表達的到底是哪些數學概念、哪些數學關系等，從而為順利解題提供新的信息與依據，產生思維源，這樣學生的解題思路就能應運而生.

例1 (2016年山東省威海市中考題)若x2-3y-5=0，則6y-2x2-6的值為( )

A．4 B．-4 C．16 D．-16

教學分析 求代數式值的基本方法是代入，但本題中給出的已知條件是一個等式，如何代入呢？這正是本題的絕妙之處，隨著解題者審題角度的不同，解法也不同，真是：“把戲人人會做，各有巧妙不同”，這不僅給解題者提供了進行多角度思考，展示聰明才智的廣闊空間，也為我們多角度開展審題教學提供了極好素材.

角度2 (整體代入法)觀察求值式會發現，題目中的條件與結論存在隱含的數量關系，為此把已知條件x2-3y-5=0變形為x2-3y=5，把求值式6y-2x2-6變形為-2(x2-3y)-6，然后整體代入，即可簡捷求得其值.也可把已知條件兩邊同乘以-2，得到6y-2x2=-10，然后整體代入，也可簡捷求得其值，選D.

策略二 引導審結論，學會巧轉化

數學解題的最終目的是求出結論或說明已給結論的正確與錯誤，我們在解題時都是圍繞問題的結論來確定思考方向的.因此，在審結論時，要注意引導學生在結論的啟發下，探索已知條件與結論之間存在哪些內在聯系和轉化的規律，學會從中捕捉有用的解題信息，靈活地對結論進行轉化，使之逐步靠向已知條件，從而發現和確定解決問題的途徑.

例2 (2012年山東省泰安市中考題)1，2，3，…，100這100個自然數的算術平方根和立方根中，無理數的個數有____個．

教學分析 本題的結論是要求無理數的個數，在1，2，3，…，100這100個自然數的算術平方根和立方根(共200個數)中確定無理數的個數，比較復雜，很多學生感到棘手．此時，我們可以這樣引導學生去思考：對于這200個數，可以分為有理數和無理數這兩類，我們對有理數比較熟悉，因此只要先分別找出1，2，3，…，100這100個自然數的算術平方根和立方根中有理數的個數，則無理數的個數唾手可得．事實上，1，2，3，…，100這100個自然數的算術平方根中，有理數有10個，因此無理數有90個； 而1，2，3，…，100這100個自然數的立方根中，有理數有4個，因此無理數有96個.所以，1，2，3,…，100這100個自然數的算術平方根和立方根中，無理數共有90+96=186個．

教學反思 要找出這200個數中的所有無理數(共186個)比較困難，引導學生通過審題發現，這200個數不是有理數就是無理數，找出這種內在聯系，就會自然將問題進行轉化，變找無理數為找有理數，而這些有理數是學生十分熟悉的，這樣問題就由生疏變為熟悉，由復雜變為簡單，學生求解就十分容易了．本題雖是填空題，不要求寫出解題過程，但解題所用的時間多少是客觀存在的，解題的速度是考試成功的關鍵因素，由此可見科學的審題，從結論中找出轉化的途徑是何等重要！

策略三 引導審結構，學會找關聯

數學題目的條件和結論很多都是以數式與圖形的結構形式呈現的，其中往往隱含著某種特殊的關聯性，對于這類問題，在審題時要引導學生認真審視題目中的數式與圖形結構的關聯，對數式或圖形結構關聯進行深入的分析，發現其中的聯系，即可找到解決問題的突破口，問題即可迎刃而解．

例3 (2016年江蘇省泰州市中考壓軸題)已知兩個二次函數y1=x2+bx+c和y2=x2+m.對于函數y1，當x=2時，該函數取最小值.

(1)求b的值；

(2)若函數y1的圖象與坐標軸只有2個不同的公共點，求這兩個公共點間的距離；

(3)若函數y1、y2的圖象都經過點(1，-2)，過點(0，a-3)(a為實數)，作x軸的平行線，與函數y1、y2的圖象共有4個不同的交點，這4個交點的橫坐標分別是x1、x2、x3、x4，且x1

圖1

教學分析 對于第(3)題，學生一般是從二次函數與一元二次方程的關系來尋找解題思路的，這也是評分標準給出的答案.其實，通過對題目中有關數式和圖象結構的分析，可以得到更為簡捷地創新解法.在教學中，可先引導學生對代數式x4-x3+x2-x1進行結構分析：直線y=a-3對應交函數y1、y2的圖象于點C、D、E、F.如圖1，當a>1時，CD=x2-x1，EF=x4-x3；當0

函數y1、y2的圖象都經過點(1，-2)，∴c=1，m=-3，∴y1=x2-4x+1，y2=x2-3.

畫出y1、y2的大致圖象如圖1. 可知y1可以由y2向右平移2個單位得到，又∵x11時，CD=x2-x1=2，EF=x4-x3=2，∴x4-x3+x2-x1=4；②當00，∴4-2DE<4，即x4-x3+x2-x1<4.∴綜上所述，x4-x3+x2-x1的最大值為4.

教學反思 本題初看上去是一道普通的二次函數與一元二次方程關系的問題，很多學生會按照一般方法來求解，只要基本功扎實，也能得到正確的答案．這里通過認真審題，引導學生分析數式和圖象結構之間的關聯，發現其聯系，在此基礎上，利用數形結合思想，先畫出兩條二次函數圖象的草圖，發現兩個二次函數的圖象可通過左右平移2個單位得到，再分兩種情況分別將關于4個交點橫坐標的代數式x4-x3+x2-x1轉化為線段的和差，然后利用平移的距離巧妙地得到有關線段的長度，結合線段的非負性，即可得到x4-x3+x2-x1的值或取值范圍，進而得到x4-x3+x2-x1的最大值.由此可見，在解題教學中要引導學生認真審視題目中數式或圖形結構之間的關聯，從全局的高度尋找不同的解題途徑，進而挖掘出問題的創新解法，不斷積淀創新思維.

策略四 引導審變換，學會找規律

數學中有不少圖形變換問題，條件往往以圖形的形式出現，或將條件隱含在圖形之中，對于這類問題，在審題教學中，要引導學生認真研讀題目中的關鍵詞語，仔細觀察圖形的結構特征，發現圖形中所蘊含的特殊關系、數值的相互聯系、變化的總體趨勢等，抓住這些特點，找出一般性的規律，運用數形結合的思想方法，即可發現破解的奧妙之處．

例4 (2015年廣西壯族自治區南寧市中考題)如圖2，在數軸上，點A表示1，現將點A沿x軸做如下移動，第一次點A向左移動3 個單位長度到達點A1，第二次將點A1向右移動6個單位長度到達點A2，第三次將點A2向左移動9個單位長度到達點A3，按照這種移動規律移動下去，第n次移動到點An，如果點An與原點的距離不小于20，那么n的最小值是____.

圖2

教學分析 這是最簡單的圖形變換——點的變換問題，在審題教學中要引導學生從點反復的移動中發現規律：第一次點A向左移動3個單位長度至點A1，則A1表示的數為1-3=-2；第2次從點A1向右移動6個單位長度至點A2，則A2表示的數為-2+6=4；第3次從點A2向左移動9個單位長度至點A3，則A3表示的數為4-9=-5；第4次從點A3向右移動12個單位長度至點A4，則A4表示的數為-5+12=7；第5次從點A4向左移動15個單位長度至點A5，則A5表示的數為7-15=-8；…于是，A7表示的數為-8-3=-11，A9表示的數為-11-3=-14，A11表示的數為-14-3=-17，A13表示的數為-17-3=-20，…；A6表示的數為7+3=10，A8表示的數為10+3=13，A10表示的數為13+3=16，A12表示的數為16+3=19，….所以點An與原點的距離不小于20，那么n的最小值是13．

教學反思 本題初看上去很嚇人，其實在教學中只要引導學生認真審題，分析這個點的變換特點，從特殊到一般地猜想出規律：序號為奇數的點在點A的左邊，各點所表示的數依次減少3；序號為偶數的點在點A的右側，各點所表示的數依次增加3；再運用這種規律來解決問題，問題即可迎刃而解. 因此，對于這類問題，我們在審題教學中要重視引導學生從特殊到一般地發現規律，并會靈活運用發現的規律來解決問題.

[1] 中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準(2011版)[M]．北京：北京師范大學出版社，2012，1．

[2] 陳德前.幫你學審題[J]．初中生天地(七年級版)，2015，7-8.

[3] 孫志兵.數學審題的“著力點”及策略[J]．初中生學習指導，2015，7-8.

[4] 霍彩霞.如何進行審題[J]．初中生天地(七年級版)，2016，7-8.

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