巧借圖形性質解與圓有關的最值問題

劉 珍●

江蘇省鎮江實驗學校魅力之城分校(212000)

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巧借圖形性質解與圓有關的最值問題

劉 珍●

江蘇省鎮江實驗學校魅力之城分校(212000)

作為中考的熱點內容，與圓相關的最值問題以其綜合性強、難度可調、題型多變等優勢成為了最值問題中非常容易出現的情況.而圖形性質又是固定的，針對不同的問題利用不同的圖形性質是解決此類問題的關鍵所在.與圓相結合在一起出現的圖形常見的就是三角形、矩形等，與線段、直線等有關的性質也可以作為圖形的性質看待，掌握了這么多的性質之后，就可以運用不同的方法對圓的最值問題進行求解了.下文就給出三種情況，幫助學生理解.

一、活用垂線段及等腰三角形性質，解決圓中距離問題

垂線段就是某點到某一直線的垂直線段，不論如何點到直線的最短距離就是垂線段的長度.而作為三角形中的特例等腰三角形又有很多的性質.將上述相關性質結合，就可以變為解決一道題的制勝關鍵.

點撥 對于直角三角形高的求法有很多種，利用面積相等法求解是我們必須掌握的.同時題中涉及到的切線以及勾股定理相關知識也是學生必備知識.利用上述幾點提到的圖形性質學生就可以將本題順利解決了.

二、利用圓中弦及三角形相關性質解面積最值

求面積最值的問題關鍵就在于將面積轉化為其他問題求解，因為面積的求解一定是有多個量的參與，將其轉化成單一變量那就會很大程度地減少計算量以及簡化題目的難度，同時利用圖形的性質就可以輕松解題.

例2 如圖3所示有一半徑為2的圓O上存在M、N兩動點，且在直線l的異側，直線交圓O于A、B兩點，若 ∠AMB=45°，求四邊形MANB面積的最大值.

點撥 作為很經典的四邊形面積最值問題，我們這里用邏輯思維和常規的解法使問題得到了解決.本題的難點就在于如何實現面積最值的轉化，通常此類問題都是不能直接求出的，而本題中正是運用了線段長度代替面積求出的.

三、利用圓的性質解最值問題

與圓有關的最值問題當然離不開圓本身，那么如何利用好與圓有關的性質就是我們需要多加練習的了.

例3 如圖5所示，AC垂直圓O的直徑AB于點A，BD垂直AB于點B，P為圓上一動點，若AB=2，AC=2，BD=3，分別求△PCD的面積的最大值和最小值.

點撥 本題中的情況是出題者有意安排的，OC恰好垂直于CD，而此種情況也為接下來的計算和理論分析帶來了一定的方便，學生要觀察出此處的隱含的垂直條件，同時利用圓本身的長度性質解題也是本題中的巧妙之處.

三道不同的題目從不同方面反映出圖形性質的多樣性，掌握并學會利用各種類型的圖形有利于對與圓有關的最值問題的解答，同時也是學生必須熟記的知識，不光是此類問題的求解，對于平面幾何證明題等多種類型的題目都是有很大好處的，希望學生可以靈活運用，學會舉一反三，最終達到自身解題能力的提升.

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1008-0333(2016)35-0011-01