平面幾何最值問題的解法

錢宜鋒●

江蘇省海安縣隆政初級(jí)中學(xué)(226611)

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平面幾何最值問題的解法

錢宜鋒●

江蘇省海安縣隆政初級(jí)中學(xué)(226611)

平面幾何最值問題在近幾年的中考中更加趨于綜合性以及多樣性，以平面幾何為出題背景，將各方面的知識(shí)融入其中是創(chuàng)作此類問題的源泉，也因此成為了中考的重點(diǎn)以及難點(diǎn)所在.多樣的解題方法也是此類問題體現(xiàn)出的迷人之處，值得我們探討.

對(duì)稱性;不等式;二次函數(shù)

平面幾何的最值問題多為在存在動(dòng)點(diǎn)或者不確定的位置關(guān)系的情況下求最值，有兩種解題思路，一個(gè)是通過幾何圖形的性質(zhì)實(shí)現(xiàn)對(duì)位置的確定，另一個(gè)是通過數(shù)量關(guān)系實(shí)現(xiàn)最值問題的解答.

一、利用對(duì)稱性質(zhì)，實(shí)現(xiàn)問題簡(jiǎn)單化

圖形經(jīng)過某一點(diǎn)或者軸對(duì)稱之后，就會(huì)有很多固有的由對(duì)稱產(chǎn)生的等量關(guān)系，不同的對(duì)稱性(如中心對(duì)稱、軸對(duì)稱等)也有獨(dú)特的對(duì)稱性質(zhì).合理地利用相應(yīng)的性質(zhì)會(huì)使問題得到簡(jiǎn)化，這會(huì)給解題帶來很大的幫助.

點(diǎn)撥 本題中是作直線的對(duì)稱點(diǎn)，實(shí)現(xiàn)直線同側(cè)點(diǎn)到異側(cè)點(diǎn)的轉(zhuǎn)化，這是我們?cè)诮忸}中常遇到的情況以及常見的解題方法.對(duì)稱性的應(yīng)用注重于問題的解題技巧，目的是通過對(duì)稱性使復(fù)雜的問題簡(jiǎn)單化.

二、構(gòu)造不等關(guān)系，巧用基本不等式

對(duì)于平面幾何問題，不等關(guān)系的構(gòu)造是離不開幾何圖形本身的數(shù)量關(guān)系的.想要利用基本不等式求解，學(xué)生需要在圖形中找出滿足不等式的條件，這不光對(duì)于學(xué)生的平面幾何知識(shí)有考查，還要學(xué)生深入理解不等式的相關(guān)知識(shí).

例2 已知四邊形ABCD，O點(diǎn)為對(duì)角線AC與BD的交點(diǎn)，SΔAOB=4，SΔCOD=9，求四邊形ABCD的面積S的最小值

點(diǎn)撥 本題中對(duì)于三角形知識(shí)的考察非常深入，將三角形面積間的關(guān)系轉(zhuǎn)化為長度關(guān)系進(jìn)行解答是最為關(guān)鍵的步驟，學(xué)生要有思維模式的轉(zhuǎn)化才會(huì)想出這一解決方法，而后結(jié)合不等式知識(shí)解題，否則盲目地求面積是不能實(shí)現(xiàn)的.

三、化為二次函數(shù)，列出方程再求解

二次函數(shù)是初中數(shù)學(xué)中最重要的一類函數(shù)，此處并不是像壓軸題那樣對(duì)二次函數(shù)進(jìn)行全面的考察，而是將所求的量轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的形式，利用二次函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)解題.更加注重于對(duì)問題的分析轉(zhuǎn)化能力.

例3 有一三角形ABC，底邊BC=120，高AD=80，如圖所示，若要在三角形里面畫出一矩形，求該矩形面積的最大值.

點(diǎn)撥 相似三角形的引入讓求線段的長度變得簡(jiǎn)單得多.本題中對(duì)于最后二次函數(shù)的配方變形可謂更為直接，讓學(xué)生更直觀地看到函數(shù)的最值.

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