幾何變換思想
——初中幾何問題的活性酶

吳秀明●

江蘇省蘇州高新區實驗初級中學 (215000)

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幾何變換思想
——初中幾何問題的活性酶

吳秀明●

江蘇省蘇州高新區實驗初級中學 (215000)

隨著核心素養的提出，為了更好地培養學生的空間觀念和幾何直覺，在初中數學課堂教學中潛移默化地滲透幾何變換思想，能有效地有助于學生強大的幾何知識網絡的形成，培養學生的創新意識，提高了學生解決現實問題的能力.

數學思維能力；幾何變換；全等變換；相似變換

早在1872年，德國數學家克萊因(F·Klein)在題為《近代幾何學研究的比較評述》的演講中，提出了用變換觀點來看待幾何學，后來稱之為“Erlanger rro-gramm”(愛爾蘭根綱領).幾何變換思想就成為初等幾何的現代數學思想，他認為每一種幾何都由一種變換群所刻畫,每一種幾何學要做的實際上就是尋求圖形在該變換群的作用下保持不變的性質,一個幾何的子幾何是在原變換群的子群作用下的不變量.

新課改后，幾何的變換成為“空間與幾何”的三大內容之一；同時在近幾年的中考題中，圖形的變換也已成為命題熱點.而幾何變換思想為這一類問題提供了一種十分重要的思維方式.

幾何變換思想包含了兩個思想：一是變換的思想，二是不變的量.幾何變換思想幫助我們運用運動、變化的觀點去研究不變量之間的關系，使幾何問題變得更形象、更直觀，多角度培養學生的空間觀念和幾何直覺，培養學生的觀察力、想象力和創造力.

幾何變換是指把一個圖形F1變換成另一個圖形F2的方法.幾何變換的類別很多，其中全等變換(合同變換)、相似變換等都是最基本的幾何變換.

把只改變圖形的位置，不改變圖形的形狀和大小的變換稱作全等變換(合同變換).

把改變圖形本身的大小，不改變圖形的形狀(保留線段間的比例關系)的變換稱作相似變換.

把改變圖形的形狀但保持面積不變的情況下的變換稱作等積變換.

下面通過幾個例題談談如何通過上述幾種基本的幾何變換更好更快地找到解決問題的方法，感受初中幾何中動靜結合的美妙.

一、全等變換

全等變換是整個初中幾何中最基礎的一種變換.翻折、平移、旋轉是常見的全等變換.

1.翻折變換

把一個圖形沿著某條直線翻折180°后形成新的圖形，這樣的圖形運動稱為翻折.翻折的實質是軸對稱，有時翻折變換也稱軸對稱變換.

例1 如圖1-1，牧童在A處放馬，其家在B處，A、B到河岸l的距離分別為AC=1km，BD=3km，且CD=3km．牧童從A處將馬牽到河邊飲水后再回家，試問在何處飲水，所走路程最短，請在圖中畫出飲水的位置．并求出圖中的最短路程．

分析 如果A、B兩點在直線l的異側，則根據“兩點之間，線段最短”很容易就能找到所要求出的點，但圖1-1中A、B兩點卻在直線l的同側，此時可想到翻折變換，運用運動的觀點把同側的點轉化到異側.如圖1-2，作出點A關于直線l的對稱點A′，連接A′B，此時A′B與河岸CD交點為點E，則點E就是飲水的位置，可得最短路程為A′B的距離.再根據勾股定理，構造Rt△A′FB，易得，A′B=5km，即最短路程AE+EB=5km.

例2A，B，C三個村莊在一條東西走向的公路沿線，如圖2-1，AB=2km，BC=3km，在B村的正北方向有一個D村，測得∠ADC=45°．今將△ACD區域規劃為開發區，除其中4km2的水塘外，均作為建筑或綠化用地，試求這個開發區的建筑及綠化用地的面積是多少？

分析 如圖2-2所示，將△ABD，△BCD分別沿著DA，DC作翻折變換，得△AFD，△ECD，延長EC，FA交于點G，易證四邊形DFGE是正方形.設BD=x，在Rt△AGC中運用勾股定理，易得x=6，∴S△ADC=15km2.∴開發區的建筑及綠化用地的面積是15-4=11 km2.

在此例中本來以為“山窮水盡疑無路”了，可抓住45°和垂直兩個條件，運用翻折變換后，構造了一個正方形，真是“柳暗花明又一村”啊！讓人直感嘆翻折變換的奇妙無窮.

利用翻折構造軸對稱圖形，能使已知條件和所需要的結論之間產生關系，從而使令人迷茫的問題立刻有豁然開朗的感覺.

我們在題目中出現角平分線、垂直平分線或等腰三角形等這樣的軸對稱條件時，可考慮翻折變換.

2.平移變換

一個圖形沿著某一個方向移動一定的距離，這樣的圖形運動稱為平移.平移變換的實質是圖形上的每一個點都沿著相同的方向，平移了相同的距離，平移的方向和平移的距離是平移的二要素.

例3 有一條河，兩岸有A、B兩地，要設計一條道路，并垂直于河岸架一座橋.如何設計才能使A、B路線最短？

分析 雖然A、B兩點在河兩側，但連接AB的線段不垂直于河岸．由于橋MN是垂直于河岸的，所以問題的關鍵在于使AM+BN最短，但AM與BN未連起來，要用線段公理就要想辦法使M與N重合起來.利用平移變換可以實現這一目的，將一些線段進行轉化，即用與它相等的線段替代，從而轉化成兩點之間線段最短的問題．

如圖3-2，過點A作AA′⊥l，且AA′等于河寬，連接A′B交直線n于點N，作NM⊥m于點M，則MN就是橋的位置.同時平移變換也經常會將線段平移形成平行四邊形，從而可以用平行四邊形的性質.初中階段很多重要的添輔助線方法，如中線倍長、梯形中平移腰，平移對角線等都是對平移變換的巧妙運用.

3.旋轉變換

一個圖形繞著一個定點朝著某個方向轉過一定的角度，這樣的圖形運動稱為旋轉.旋轉由旋轉中心、旋轉方向、旋轉角度決定.

例4 已知，如圖4-1，正△ABC內有一點P，PA=6，PB=8，PC=10．求：

(1)∠APB的度數；

(2)△ABC的面積．

分析 圖中PA、PB、PC三邊的值正好是一組勾股數，但又相對比較分散，沒有構成三角形，而整幅圖形又是以等邊三角形為背景的，不妨考慮實施旋轉變換.將△ABP繞點A逆時針旋轉60°得△ACP1，易證△APP1是等邊三角形，△PP1C是直角三角形，從而不僅把分散的線段集中了起來，并且轉化成了我們比較熟悉的圖形，得到∠APB=∠AP1B=90°+60°=150°，使問題(1)得到了解決.對于問題(2)，求等邊三角形的面積，乍一看似乎無從下手，但已有基本圖形等邊△APP1和直角△PP1C的面積是可求的，故用同一思想繼續旋轉(如圖4-3)，形成一個六邊形，該六邊形是由三個面積可求的小等邊三角形和三個直角三角形構成，同時該六邊形又是等邊△ABC面積的兩倍，從而可使問題得到化解.

由此，旋轉變換能將相對比較分散的條件集中在一個我們所熟悉的圖形之中，以解決問題.

通常， 當圖形中以等邊三角形或等腰直角三角形、 正方形等為背景時，可考慮實施旋轉角為60°或90°的旋轉變換.

二、相似變換

圖形的相似變換是指由一個圖形變換到另一個圖形時，保持形狀不變(大小方向和位置可變).圖形相似變換后對應線段都擴大(或縮小)相同的倍數，這個數叫相似比.顯然，當相似比為1時，相似變換就是合同變換．

例5 已知，如圖5-1，平行四邊形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，E是AB延長線上一點，連結OE交BC于點F．若AB=a，BC=b，BE=c，求BF．

當問題設計與線段長度、平行(或共線)有關系時，可考慮進行相似變換，試將一些線段分別變換到其位似形中的對應線段，使相互關系明朗化.一般，利用位似變換解題時如需作輔助線，往往是作一些平行線.相似在幾何計算線段的長度，角的度數，證明線段成比例，角相等等方面具有廣泛的應用.

幾何變換是一種奇妙的變換，還貫穿在定義、定理、推論、作圖等幾何教學過程中，是研究幾何的有力工具，是平面幾何的活性酶，是一種數學的思維藝術.平時在教學過程中我們應潛移默化地滲透幾何變換思想，有助于學生強大的幾何知識網絡的形成，培養了學生的創新意識，提高了學生解決現實問題的能力，發展了學生的形象思維與抽象思維.

[1]王林全.從美國高中課程標準看幾何教改新趨勢[J].中學數學月刊,2015.

[2]陳培培.數學試驗，讓課堂更精彩——從一節“平移翻折旋轉”課談起[J].中學數學,2016.

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1008-0333(2016)35-0021-02