三角形全等證明的基本類型與方法

周 楊●

江蘇省南京市金陵中學龍湖分校(210001)

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三角形全等證明的基本類型與方法

周 楊●

江蘇省南京市金陵中學龍湖分校(210001)

三角形全等證明題怎么寫，要注意什么？有沒有什么套路可循？現將初中階段常見的幾種三角形全等證明題類型及思想方法分類說明．

一、弄清三角形全等證明題的基本類型

從蘇科版數學八年級上冊第一章和第二章中證明題的梳理歸納中發現按題目給定條件可將三角形全等證明題大致分為四種類型．具體如下：

1.條件(圖形)中隱含公共線段

案例1 已知：如圖，點A、F、E、C在同一直線上，AB=CD，BE=DF，AF=CE．

(1)求證：△ABE≌△CDF;

(2)判斷AB與CD的位置關系并說明理由．

分析 問題(1)由條件入手，直接找到三角形全等的兩個條件，題目中的間接條件AF=CE轉化為三角形全等的第三個直接條件．本題許多學生容易犯錯，把間接條件AF=CE錯誤當成三角形全等的一組要素來使用．此類問題的條件簡單，在審題時應提醒學生找到相等的線段在什么地方？平行的線段在哪？如把題目中的已知條件在圖形上標出來之后即可發現問題(1)根據(SSS)方法即可證明三角形全等.問題(2)由三角形全等得到判定兩直線平行的條件∠A=∠C．

2.條件(圖形)中隱含公共角

案例2 已知，如圖，△ABC和△ECD都是等邊三角形，且點B、C、D在一條直線上．AC與BE相交于點G，AD與CE相交于點F，AD與BE相交于點O．

(1)求證：BE=AD；

(2)求∠AOB的度數；

(3)判斷△CGF的形狀并證明．

分析 問題(1)要證明AD=BE，我們仔細觀察幾何圖形不難發現有兩個三角形的形狀大小完全一樣，由此啟發我們想到只要證明△ACD≌△BCE即可．問題(2)怎么證明呢？還是先找到△CGF，然后認真觀察幾何圖形，很容易猜想到△CGF是等腰三角形或等邊三角形．通過觀察發現△BCG可以通過旋轉得到△ACF；或者△CGE通過旋轉得到△CFD.先得等腰三角形，再找一個角是60°，得到等邊三角形結論．這一類型的幾何證明關鍵是圖形觀察能力與數形結合能力．

3.兩角與另外某一角的和相等

案例3 如圖，CD是經過∠BCA頂點C的一條直線，CA=CB，E、F分別是直線CD上兩點，且∠BEC=∠CFA=∠α．直線CD經過∠BCA內部時，請解決下面兩個問題：

(1)如圖1，若△CBE≌△ACF且∠BCA=∠α，求∠α的度數．

(2)如圖2，若0°<∠BCA<180°，觀察問題(1)中∠α與∠BCA兩角關系，并添加一個∠α與∠BCA應滿足的條件____，使∠CBE=∠ACF．結合添加的條件，證明：△CEB≌△AFC．

分析 問題(1)學生經過計算后對“兩個角與另外一個角和相等，那么這兩個角相等”這樣的等量代換關系也會有更深刻的認識，為解決后續問題(2)積累經驗．如將題目改變一下：“如圖3，直線CD經過∠BCA的外部，∠α=∠BCA，請提出關于EF、BE、AF三條線段數量關系的合理猜想,直接寫出結論，不需證明．”變式后題目的形式發生變化，但基本思路方法不變，故提醒學生借鑒上一題的解題策略運用類比思想解決問題．

二、三角形全等證明方法的一般步驟

1.審題

要求一邊讀題一邊根據題意、對照圖形把題目中的已知條件和求證的結論，盡量用自己的語言說出來，明確題目已經告訴了什么．弄清哪些是直接條件(證明結論時候可以直接拿來使用的條件，如證明三角形全等可以直接用的邊或角，直接拿來證明兩直線平行的同位角相等之類條件)，分清哪些是間接條件(不能被用來直接應用的，需要轉化為直接條件的條件)，找出圖形中隱藏的條件(如案例1中的公共邊EF，案例2中的的公共角∠ACE)．

2.猜想與整理

如案例2，仔細觀察圖形發現有兩個三角形的形狀大小完全一致，即全等．再發現這類證明題每個問題都蘊含著：某兩個角與其中的一個角的度數之和都等于同一個角度，然后通過等量代換得到某兩個角相等．如∠BCE+∠ACF=∠α或180-∠α．這里雖然沒有真正意義上的公共角，但通過與另外兩個角和相等，就可以根據等量代換得到另兩個角相等．

3.整理分析思路，書寫證明過程

通過添加條件，運用找到的∠BCE+∠ACF=∠BCE+∠CBE=180-∠α關系，轉化得到三角形中另一組相等角，然后將三角形全等三組條件按全等類型歸納好，即可證得全等并解決后續問題．

4.檢查

比較難的證明題，不能像上面那樣直接4步驟就可以了，要綜合進行步驟1、2，由問題入手大膽猜測，這種類型問題多數要運用三種基本圖形變換，運用轉化思想將一條邊或一個角變換到另一個位置后構造全等圖形．

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1008-0333(2016)35-0007-01