數學教材研讀的三個視角

范艷華

一個教師的專業成長水平，其首要的衡量標準是教師的“教材把握力”，而這項能力的高低取決于教師對教材研讀的深度和廣度。在日常聽課及與教師的課后交流中，筆者發現很多教師不知教材應該如何研讀，課前的研讀常常只是看一下教材上的課時內容，然后找一些教學設計的參考資料，截取一些“成功做法”拼拼湊湊就成了一節課的教學預案。課中，對于學生生成的問題常常措手不及。課后與其評課交流時問及本課的一些核心概念、知識結構體系以及某個教學環節背后的設計意圖時，無法回答。因此，提高對教材的研讀能力是當前廣大一線教師的一個重要課題，教師在課前可以從編者、學生、教師三個視角，對教材進行“三線相融”式的研讀。在此基礎上，對教材進行二次開發，對教學素材作出選擇，設計有效教學方案，引導學生理解和運用數學知識，發展數學思維。

一、編者視角，把握數學知識的生長之線

小學數學教材中每一課時的知識內容，都不是一個獨立的存在，而是處在所屬的整體知識結構之中，各知識版塊之間有著相互關聯、逐步深入的內在聯系。在對每一課時內容進行研讀時，首先要從整體上把握教材的編排結構，厘清這一課時內容在所屬知識體系中所處的地位，了解知識發生的過程、產生的背景和背后蘊涵的思想方法，進而把握本知識內容的生長主線。這樣，才能在預設教學時知道從哪里開始，又可以延伸至哪個層面。下面以蘇教版《數學》六年級上冊“整數除以分數”這一課時內容的研讀為例來談一談。

1.教材的編排脈絡

對于教材的編排脈絡，主要厘清相關知識在本套教材中的分布及各部分之間的關系，以及各部分知識在教學時需要達成的教學目標。

教材在安排這部分內容時，應遵循由易到難、循序漸進的原則。編排順序分兩塊，一是計算法則的教學，順序為：分數除以整數、整數除以分數、分數除以分數；二是實際問題：分數除法應用題、兩步計算、分數乘除混合運算。

先教學分數除以整數，再教學一個數除以分數。在教學一個數除以分數時，又是先教學整數除以分數，再教學分數除以分數。整數除以分數，安排了兩個例題，例題2是整數除以幾分之一，例題3是整數除以幾分之幾。這樣安排，能使學生在不斷探索新知識的過程中逐步完善對分數除法計算方法的理解，通過自主活動歸納并總結出分數除法的計算方法。

2.知識的生長脈絡

分數除以整數，從例題÷2，分子能被除數整除，到“試一試”÷3，分子不能被除數整除，初步得出除以一個整數，就是求這個整數的幾分之一是多少，即用分數乘這個整數的倒數。在此基礎上，再自然生長到整數除以分數，由整數除以幾分之一到整數除以幾分之幾，通過畫圖直觀的過程，得出整數除以分數等于乘除數的倒數。最后得出一個數除以分數的計算方法：甲數除以乙數（0除外），等于甲數乘乙數的倒數。

3.不同版本的對比與啟發

分數除以整數，人教版、蘇教版、北師大版三個版本的教材都是通過圖形直觀的方式，讓學生理解算理得出算法。在直觀的基礎上，逐漸將學生的思維由除法轉向乘法，特別是北師大版教材，在教學了÷2之后，有意安排了÷3，因為前者可以從整數除法意義的角度，用分子先除以2，后者則不同，分子4不能被3整除，由此可讓學生感知前者的局限性，自然就將學生的思維引向乘法。對于接下來的整數除以分數，三種版本的教材盡管依然采取直觀的形式，但是顯然已采用半抽象的線段或者直條模型，北師大版教材則利用長方形的寬一定，長與面積的變化關系，讓學生理解算理，進而得出算法。

通過比較研讀三種版本的教材，可以看出，分數除法的教學，因為相對整數除法抽象許多，因此在教學時先讓學生經歷直觀的操作活動或者圖形的觀察，從整數除法的角度使之自然生長過來。在此基礎上，逐步引導學生進行數學聯想和推理，最后通過比較歸納，得出分數除法的通用法則。

二、學生視角，探尋數學學習的思維之線

對教材的深度研讀，除了從編者“排”的視角解讀，更需要從學生“學”的視角，深入把握教材，探尋學生學習這一知識內容時的思維之線。

1.學生認知的起點

對一節課的學習，學生認知起點的確定尤為重要。學生已有的認知基礎是什么？認知水平如何？通過本節內容的教學讓學生在哪些方面獲得發展？學生有沒有和本節知識相關的生活經驗？這些都需要教師在課前搞清楚。以蘇教版《數學》四年級上冊“角的度量”為例。本節內容中學生的已有知識經驗是對角的概念的認識，知道角的大小指的是角的兩邊叉開的大小。學生的數學活動經驗是會畫出一個角，會用重疊的方法比較兩個角的大小，會用直尺度量線段的長度。學生的認知起點是“如何來度量兩邊叉開的大小”。因此，教材一開始先讓學生用熟悉的數學工具三角板上的角進行度量，能量出這個角和三角板上的角的大小關系，但是不知道這個角到底有多大，然后引出量角器。此外，有的學生還會用直尺去試著量兩邊之間的距離。因此在研讀之后的教學設計中，需要讓學生由已有經驗出發，自然過渡到用量角器量角。

2.學生認知的轉折點

學生在學習這部分知識內容時新舊轉折處在哪里？通過什么方式讓學生自然將新知識納入到已有的認知系統，進行同化？還是以“角的度量”為例，這是學生在第二學段學習“角的認識”中的一個重要內容，是區別于長度、面積、重量等的另一個維度的測量知識內容。學生的認知轉折點在于：原來對線段長度的度量只要用直尺順著線段起點到終點直線方向測量即可，然而角的度量工具不再是直的，而是一個半圓形的工具，度量的方法除了關注點還要關注線，即所謂的“二合一看”，學生經歷一個“由直向曲”的轉折點。因此，在設計教學時首先要讓學生仔細觀察、了解量角器的構造特點，特別是量角器上與0刻度線構成的角的度數在刻度圈上是內圈還是外圈，這是準確量角的關鍵所在。

3.學生認知的困難點

本節課的知識內容對學生而言學習難點是什么？用什么方法幫學生突破難點？“角的度量”這一課內容中，學生的認知困難點在量角的時候如何區分內外圈的刻度。為了突破這個難點，各版本的教材都有所側重。如北師大版和人教版教材，在引進量角器之前，都設計了1°角的認識，即將圓平均分成360份，其中1份所對的角的大小為1°，然后在1°角的基礎上讓學生找出30°、50°、60°、90°、120°、180°……

這樣的設計，主要是讓學生在觀察由1°角累積成其他角的過程中動態地感知角的大小變化過程，從而便于學生在量角器上也能準確地找到不同度數的角。另外，無論是人教版、北師版還是蘇教版教材中，在引進量角器、認識量角器的環節，都設有讓學生在量角器上找出一些指定度數的角，以此為學生在量角時候的“二合一看”做好準備。

三、教師視角，求索數學教學的主導之線

在梳理清了教材的知識生長脈絡以及學生學的思維脈絡之后，就需要在教材和學生之間架起一條教師“導”的主線，也就是如何讓學生能在原有認知基礎之上自然地學習新知，又如何在教師的引導之下順利突破認知難點，進而讓學生在學習數學知識的同時使其數學思維得到較好的發展。以蘇教版《數學》三年級下冊“長方形的面積計算”為例來談一談。

1.新舊知識思維無痕對接

“長方形的面積計算”是平面圖形面積計算教學的起始課，是以后進行平行四邊形、三角形、梯形及圓等平面圖形面積計算方法學習的基礎。 “長方形的面積計算”是緊接著“面積的意義及面積單位”知識的學習編排的，因此學生學習“長方形的面積”的基礎是對面積意義的理解，而面積概念的出現是學生認識事物從一維空間走向二維空間的開始。

因此，教學的起點處教師可以引導學生的思維從一維向二維生長。如可以先讓學生回憶如何測量一條線段的長度，在此基礎上由線段動態鋪出一個長方形的平面，讓學生思考如何知道這個長方形面積，進而讓學生通過面積單位測量出長方形的面積，理解面積的大小就是看這個平面圖形中一共包含著幾個面積單位。

這樣，就將學生的思維自然地從一維的“長度”領域引導到二維的“面積”領域。并且為后續長方形面積推導中的長、寬與所擺單位面積的小正方形個數之間的聯系做了很好的思維孕伏。

2.學導主線貫穿思維始終

長方形面積計算方法探究中的主線是幫助學生溝通一維長度屬性與二維平面屬性間的聯系，體現化歸思想，擴展學生認識圖形的基本視點，培養空間觀念。如計算一個長4厘米、寬3厘米的長方形的面積，已知的信息是線段的長度，而所求的問題則是圖形的面積，于是，學生需要把新問題作如下轉化：長4厘米，其實是說我們可以沿著長邊擺這樣的4個面積單位（此時的面積單位是1平方厘米的正方形），根據寬3厘米，又可以得到“擺這樣的3行”這一信息。這樣就得出了這個長方形的面積是12平方厘米。

此時“化歸”的思維過程，更多地指向面積本源，借助面積單位的特點，找到長度屬性與面積屬性之間的聯接點和對應關系，從而解決新問題。而類似這樣的化歸，在后續長方體的體積計算教學中，引導學生從一維長度屬性、二維面積屬性擴展到三維體積屬性的認識時同樣適用。

基于以上的分析，教學設計中可以貫穿這樣一條主線：用單位面積的小正方形去鋪滿這個長方形，無論長和寬是多少，每排個數就是長所包含的單位長度個數，排數就是寬所包含的單位長度的個數。

3.認知沖突引向思維深處

對于教材的研讀，除了要從知識內容的本身展開，還需要深入到思維的深處，即要利用教材中的可延伸之處，激發學生的思維沖突，將學生的思維引導到更深之處。

在“長方形的面積計算”這一教學內容中，當學生推導得出長方形的面積計算公式之后，應用公式求長方形的面積時，對于學生而言，并沒有思維的障礙和沖突，但在后繼的學習中，學生對于一維的變化引起的相應的二維的變化之間的關系，比如長方形的長和寬都擴大3倍，那么這個長方形的面積隨之擴大幾倍，學生往往會認為和長度倍數一樣，面積也應該擴大3倍。對此，在進行基本練習的基礎上，應增設一個變式題：先讓學生畫一個面積是18平方厘米的長方形，然后讓學生憑著直覺推理思考：如果長方形的長和寬都乘以2，那么變化后的長方形的面積是多少平方厘米？許多學生會脫口而出，“是36平方厘米”。此時，就是一個很好的思維沖突處，教師可以讓學生在方格紙上先畫一畫，再觀察、計算變化后長方形的面積。這樣，學生經過直觀操作與仔細思考，就可以清楚地理解二者之間的變化關系了。

教材是教學的主要資源，是教與學的重要憑借，而對于教材的研讀卻不能僅僅局限于教材文本，而應站在數學學科本質的高度，從教材的編者視角、學生學習思維的視角以及教師導學的視角，做到“三線相融”，以此為基礎，才能深入鉆研教法與策略，尋找教材、教師與學生之間的 “融合點”，才能把學生真正帶到知識和思維的更高處。

[責任編輯：陳國慶]