由動圓相切引出的問題

江蘇省南京河西外國語學校 李 敏

由動圓相切引出的問題

江蘇省南京河西外國語學校 李 敏

圓是初中數學中非常重要的基本圖形，而動圓使圓能夠“運動”起來，這就可以在豐富出題思路的同時增加題目的難度。動圓相切作為其中的一類問題，在具有以上性質的同時，還具有情況多樣、注重思維等特點。

坐標；面積；時間；動圓；相切

相切在平面幾何的各種位置關系中是非常特殊的，由相切我們可以得出很多性質，但是如何巧妙地應用以達到簡化答題、準確答題的目的是我們要學習的。接下來就分幾種情況，向學生介紹相切這種情況下的解題思路。

1、求坐標

坐標一定是在直角坐標系中的，所以涉及求坐標的問題大多是與函數結合起來考查，常見的有一次函數、二次函數、反比例函數等等，這就需要我們全面掌握各種函數的圖像、性質等，對學生的知識范圍是有力的考查。

解析：首先我們要在直角坐標系中畫出拋物線的圖像，接下來就是確定動圓在何處時會與x軸產生相切。由拋物線的解析式可知頂點到x軸的距離是1，并不能存在點P在x軸下方相切的情況，所以動圓只能在x軸的上方分為在y軸左右的兩種情況分別相切（如題中圖所示），下面就對此進行求解。當動圓與x軸相切于點A時，P1的縱坐標是2，代入二次函數中得出橫坐標。橫坐標出現兩個值，其實這就是上面所說的兩種情況，它們是關于y軸對稱的。綜上所述，求出點P的坐標為或。

點撥：題中如果將動圓的半徑減小到某一個值時，就有可能出現在x軸下方與其相切的情況了，這時就會出現四種情況，學生可以將此作為拓展，自行計算出滿足條件的半徑值。不光是二次函數，當有這種對稱性質的圖形時都要注意情況的多樣性。

二、求面積

這里的面積并不是求兩個動圓的面積，大多數都是與兩個圓有關的其他圖形的面積。這就需要學生在知道動圓相切時的位置關系的基礎上對各種圖形的面積公式了如指掌，同時對割補法等常見的求面積的方法也要掌握。

例2 如圖所示，△ABC為等腰直角三角形，，。有一個半徑為1的圓A，O點在BC邊上運動，設BO=x，。（1）求y關于x的關系式和x的取值范圍：（2）以BO為半徑，O為圓心做圓O，當此圓與圓A相切時，求△AOC的面積。

點撥：當在初中數學中涉及直角三角形的知識時，勾股定理是非常實用的，尤其是在求邊長證明直角三角形等問題上，另外本題中的兩種情況必須都要計算才行。關于相切問題，由于位置關系的不同常出現多種情況，學生一定要考慮全面。

三、求時間

當出現時間的時候，就一定會伴隨著路程與速度，可以說此種情況是更加偏向于實際情況的，讓原本的計算問題添加一些實際氣息會使題目更加有趣，在激發學生興趣的同時也更加貼近中考的出題理念，是很好的出題思路。

例3 如圖所示，有兩個半徑都為2cm的動圓圓P和圓Q，圓心分別為P，Q。有一矩形ABCD，AB=20cm，BC=4cm。點P從A點出發以4cm/s的速度沿著曲線A-B-C-D移動，與此同時，點Q從C點開始以1cm/s的速度沿著CD運動，當兩者有一個到達D點之后，兩點就都停止移動，求t為何值時兩動圓相切。

點撥：此類問題并不注重對學生計算能力的檢驗，而是更加看重學生的邏輯思維能力以及分析推理能力，情況的多樣性使題難度增加的同時，還容易讓我們的思路變得不清晰，這就需要學生在解題時集中注意力。

縱觀全文，我們可以看出動圓相切問題的多樣性是非常強的，不論以何種形式考查，在題中都會出現不同的情況，這就給我們一個啟示，在解此類題時務必要考慮全面，不能在盲目找出一種情況時就直接結束本題的解答。