對二次函數中巧用軸對稱性解決線段和最小值問題的一些思考

江蘇省泗陽經濟開發區學校 劉小艷

對二次函數中巧用軸對稱性解決線段和最小值問題的一些思考

江蘇省泗陽經濟開發區學校 劉小艷

在蘇科版八上《軸對稱圖形》一章中學習過利用軸對稱性解決線段和差最值問題，尤其是最小值問題屢見不鮮，而二次函數中也常出現這類問題。在此，就利用軸對稱性解決二次函數中線段和最值問題進行探討。

一、兩條線段之和的最小值

例1：如圖，拋物線y=x2+bx+c與x軸交于點A、B，AB=2，與y軸交于點C，對稱軸為直線x=2。

（1）求拋物線對應的函數表達式；

（2）設P為對稱軸上一動點，求△APC周長的最小值；

分析：

（1）根據拋物線對稱軸的定義易求A（1，0），B（3，0）。所以1、3是關于x的一元二次方程x2+bx+c=0的兩根。由韋達定理易求b、c的值；

（2）如圖，連接AC、BC，BC交對稱軸于點P，連接PA。根據拋物線的對稱性質得到PA=PB，則△APC的周長的最小值=AC+AP+PC=AC+BC，所以根據兩點間的距離公式來求該三角形的周長的最小值即可；

解：（1）∵AB=2，對稱軸為直線x=2。

∴點A的坐標是（1，0），點B的坐標是（3，0）。

∵拋物線y=x2+bx+c與x軸交于點A，B，

∴1、3是關于x的一元二次方程x2+bx+c=0的兩根。

由韋達定理，得

1+3=-b，1×3=c，

∴b=-4，c=3，

∴拋物線的函數表達式為y=x2-4x+3；

（2）連接AC、BC，BC交對稱軸于點P，連接PA。

由（1）知拋物線的函數表達式為y=x2-4x+3，A（1，0），B（3，0），

此時，PB+PC=BC。

二 、三條線段之和的最小值

（1）求拋物線的解析式。

（2）拋物線的對稱軸為l，與y軸的交點為C，頂點為D，點C關于l的對稱點為E，是否存在x軸上的點M，y軸上的點N，使四邊形DNME的周長最??？若存在，請畫出圖形（保留作圖痕跡），并求出周長的最小值；若不存在，請說明理由。

分析：

（1）利用根與系數的關系得出α+β=，αβ=-2，進而代入求出m的值即可得出答案；

（2）利用軸對稱求最短路線的方法，作點D關于y軸的對稱點D'，點E關于x軸的對稱點E′，得出四邊形DNME的周長最小為：D'E'+DE，進而利用勾股定理求出即可；

解：（1）由題意可得：α，β是方程-mx2+4x+2m=0的兩根，由根與系數的關系可得，

解得：m=1，

故拋物線解析式為：y=-x2+4x+2；

（2）存在x軸上的點M，y軸上的點N，使得四邊形DNME的周長最小，∵y=-x2+4x+2=-（x-2）2+6，∴拋物線的對稱軸l為x=2，頂點D的坐標為：（2，6），又∵拋物線與y軸交點C的坐標為：（0，2），點E與點C關于l對稱，∴E點坐標為：（4，2），

作點D關于y軸的對稱點D′，點E關于x軸的對稱點E'，

則D'的坐標為；（-2，6），E'坐標為：（4，-2），

連接D'E'，交x軸于M，交y軸于N，

此時，四邊形DNME的周長最小為：，如圖1所示：延長交于一點F，在Rt△中，=8，

設對稱軸l與CE交于點G，在Rt△DGE中，DG=4，EG=2，

由上面兩個例題我們總結出一條規律：在二次函數中求線段和最小值時，可以把一條線段轉換成與它對稱的線段，從而利用兩點之間線段最短求出線段和的最小值。