例談解析幾何減少計算量的幾個技巧

江西省南昌市南鋼學校 李婭琴

例談解析幾何減少計算量的幾個技巧

江西省南昌市南鋼學校 李婭琴

在高中數學學習中，學生普遍覺得解析幾何問題的計算量較大。事實上，如果我們能夠充分利用幾何圖形、韋達定理、曲線系方程，以及運用“設而不求”的策略，往往能夠減少計算量。下面舉例說明：

一、充分利用幾何圖形

解析幾何的研究對象就是幾何圖形及其性質，所以在處理解析幾何問題時，除了運用代數方程外，充分挖掘幾何條件，并結合平面幾何知識，往往能減少計算量。

典型例題：設直線3x+4y+m=0與圓x2+y2+x－2y=0相交于P、Q兩點，O為坐標原點，若OP⊥OQ，求m的值。

解：圓x2+y2+x-2y=0過原點，并且OP⊥OQ，

評注：此題若不充分利用一系列幾何條件：該圓過原點并且OP⊥OQ，PQ是圓的直徑，圓心在直線3x+4y+m=0上，而是設P(x1,y1)、Q(x2,y2)再由OP⊥OQ和韋達定理求m，將會增大運算量。

二、充分利用韋達定理及“設而不求”的策略

我們經常設出弦的端點坐標而不求它，而是結合韋達定理求解，這種方法在有關斜率、中點等問題中常常用到。

評注：此題充分利用了韋達定理及“設而不求”的策略，簡化了計算。

三、充分利用曲線系方程

利用曲線系方程可以避免求曲線的交點，因此也可以減少計算。

典型例題：求經過兩已知圓C1：x2+y2-4x+2y=0和C2：x2+y2-2y-4=0的交點，且圓心在直線：2x+4y-1=0上的圓的方程。

評注：此題因利用曲線系方程而避免求曲線的交點，故簡化了計算。