老題新談
——一次關于“SSA”的活動課

江蘇省南京市科利華中學 董秀明

老題新談
——一次關于“SSA”的活動課

江蘇省南京市科利華中學 董秀明

剛剛學完八上第一章“全等三角形”，我和孩子們迫不及待地想去解決前面遺留的一個問題，那就是兩邊分別相等且其中一對等邊的對角也相等的兩個三角形全等嗎？為此，我在班級開設了一節組內公開課，我把這節課定位為一節活動課。

下面展示一下課堂活動全過程。（事先，學生已經準備好白紙和作圖工具，我事先將班級分成了7個小組，每個小組6 人，方便后面的分組活動）

師：前面我們在探索三角形全等的條件時，對于第一個條件“SAS”，課堂上老師反復強調這里的“角”必須是兩邊的夾角，而不能是一對相等邊的“對角”，也就是不能說成“SSA”，現在學完了這一章，同學們有什么想法呢？

生1：我覺得“SSA”不能說一定錯，它也有對的時候，比如我們學的“HL”定理，其實就是；兩個直角三角形滿足“SSA”，但是這兩個直角三角形是全等的。

生2：我同意上面的說法，其實我們平時經常做到一個選擇題，已經給了圖形，比如兩個同為銳角三角形，我覺得此時“SSA”的條件也對，我們上次幾個同學們還一起證明出來了呢！

生3：我們前面做過評價手冊上的一道畫圖題（該生直接拿出評價手冊），在P23的第5題，那道題目就是提供的“SSA”的條件，但是我們可以畫出兩個不同形狀的三角形，這時候兩個三角形不全等。

此時，我正觀察全班同學，我看到很多同學紛紛點頭。

生4：我們小組一起討論過這個問題，我們發現了一個結論：“HL”之所以對，是因為直角是直角三角形中最大的角，只要“SSA”中的“角”是三角形中最大的角，此時若滿足“SSA”，那這兩個三角形一定全等。

師：好的，同學們在課后做了很多的探索，非常好！現在我們發現不能一棍子把“SSA”打死了，我們只能說“SSA”不一定對。那今天這節課，我們給大家一些“SSA ”的條件，請同學們自己來畫圖，看看有什么新的發現，能否對“SSA”認識得更加清晰一些！

師：為了同學們畫圖的方便，我給同學們的講義上提供的△ABC是三個角分別是30度，45度，105度的一個三角形。

師：請同學們利用“SSA”畫△DEF，我們一起來看看同學們畫的△DEF和△ABC是否全等。我們先提供這樣一組“SSA”的條件：∠D=∠A，DE=AB，EF=BC。

（同學們畫圖）圖形如下：

師：此時兩個三角形全等嗎？

生異口同聲：全等。

師：那同學們能否再提供一組“SSA”的條件呢？

生5：∠D=∠A，DF=AC，EF=BC。

生6：∠E=∠B，DE=AB，DF=AC。

師：好的，下面我們分組，請每個小組先把所有的情況分類好，然后每個成員完成其中的一種情況。（小組開始討論并分工合作）

大約5分鐘之后，我和同學一同匯總了所有情況的圖形，圖形如下：

師：為了同學們比較的方便，我們把同學們剛才畫的各種情形繪成一個表格吧。

（我現場板書表格，如下圖）

一角 兩邊 畫出的△DEF的個數 你的發現鄰邊 對邊

我們請一個組的同學上來填寫這個表格。我們先填寫表格的前三列。

（6名同學上來將表格填寫完整，如下圖）

一角 兩邊 畫出的△DEF的個數 你的發現鄰邊 對邊∠D=∠ADE=ABEF=BC 1個 （和△ABC全等）DF=AC EF=BC 1個 （和△ABC全等）∠E=∠BDE=ABDF=AC2個（其中一個和△ABC全等，另一個和△ABC不全等）EF=BC DF=AC2個（其中一個和△ABC全等，另一個和△ABC不全等）∠F=∠CDF=AC DE=AB 1個 （和△ABC全等）EF=BC DE=AB2個（其中一個和△ABC全等，另一個和△ABC不全等）

師：請同學們根據你畫的圖形和表格的填寫，說出你有什么發現？

1分鐘后，同學們都沒有發表意見，或許是覺得自己說得不夠好，或許是自己還沒有感受到什么發現。我決定讓學生繼續用同樣的方法探究銳角三角形的情況。（當時講義上事先并沒有準備銳角三角形的情況）

師：下面請每位同學在講義下面的空白處畫一個銳角△ABC，使得∠A=45度，∠B=60度，∠C=75度，請同學們按照我們剛才的探索方式，小組分工合作，繼續探索“SSA”。

同學們開始忙碌起來，我在同學們周圍巡視。

大約5分鐘之后，小組進行了匯報，圖形如下：

（小組同學也已經模仿講義上的表格繪制了銳角三角形的對應的各種情形，表格如下）

一角 兩邊 畫出的△DEF的個數 你的發現鄰邊 對邊∠D=∠ADE=AB EF=BC 1個 （和△ABC全等）DF=AC EF=BC 1個 （和△ABC全等）∠E=∠BDE=AB DF=AC2個（其中一個和△ABC全等，另一個和△ABC不全等）EF=BC DF=AC2個（其中一個和△ABC全等，另一個和△ABC不全等）∠F=∠CDF=AC DE=AB 1個 （和△ABC全等）EF=BC DE=AB2個（其中一個和△ABC全等，另一個和△ABC不全等）

師：很好，同學們在較短的時間內分工合作，表格完成得很好，現在就請同學們動腦筋想一想，通過兩次探究，你有些什么想法？小組內可以互相討論。

3分鐘左右，已經有小組同學躍躍欲試，我請同學匯報他們的發現。

組1：我們組發現的結果是這樣：如果兩個三角形滿足最大的角對應相等，無論是銳角三角形還是鈍角三角形，“SSA”都是成立的，也就是說，兩個三角形一定是全等的。

組2：我們組是通過表格中邊的關系找到了規律，我們發現當“SSA”中的角的對邊大于或等于鄰邊時，“SSA”成立，兩個三角形一定是全等的，反之，不一定全等。

組3：我們組和前面第一個組的發現差不多，不過我們還發現了，如果是最小的角對應相等，“SSA”一定不成立，也就是根據“SSA”一定能畫出兩個三角形，其中一個和原來的三角形全等，另一個和原來的三角形不全等。如果這個角既不是最大的角也不是最小的角，那么“SSA”不一定成立。

師：好的，同學們經過合作討論，有這么多好的發現，太棒了！有的組從“角”出發考慮，有的組想到了對邊和鄰邊的關系，也發現了其中的規律。為了驗證同學們的發現，誰再來出一道題好不好？（在此刻的課堂上，我感動于孩子們的探究和發現，也相信孩子們能夠現場提出問題。）

生7：在△ABC和△DEF中，∠A=∠D=95°，AB=DE，BC=EF，△ABC和△DEF全等嗎？

生8：我就是把剛才的角度修改一下，改成∠A=∠D=50°。（這里為了看起來清晰，我把這位同學的回答補充成完整的題目：在△ABC和△DEF中，∠A=∠D=50°，AB=DE，BC=EF，△ABC和△DEF全等嗎？）

師：好的，由于時間關系，同學們課后可以通過畫圖驗證，再結合今天同學們的發現，看看大家的發現是否都是正確的。

師：這里補充說明，第二個發言的小組發現了表格里角的對邊和鄰邊的關系，很精彩，將來待同學們到初三的時候學到“銳角三角函數”就可以解釋了！

師：今天這節數學活動課同學們表現得非常棒，“SSA”是一個老問題，但是我們經過安排這一節活動課，同學們有了更深度的思考，有了更全面的、更新的認識和發現，正所謂“老題新談”！好，下課！

雖然課已結束，但是從同學們的表情可以看出，大家“意猶未盡”！

二、教學反思

本次“數學活動”基于學生已有的“三角形全等的條件”的知識和相關尺規作圖的經驗，讓學生進行動手實踐和探索活動。本次“數學活動”不像其他數學活動一樣都有一個特定的目標，而是以“SSA”為載體，讓學生在活動中不斷地經歷“分析問題—解決問題—發現問題—提出問題”的四能學習要求，使知識的本質、經驗的運用和思維的遷移充分得到體現！

本次活動的重點不在于學生是否將滿足“SSA”的兩個三角形“證明”出全等，學生能夠感悟到本次活動的數學知識及其本質；能夠通過畫圖操作，驗證思考的正確性,積累活動經驗；通過操作交流合作，激發學生探究的興趣，滲透解決問題的策略和數學思想，進一步提升創新思維能力。

教學相長，一次數學活動使得筆者對學生的學習潛能有了新的認識，對“數學活動”的內涵有了更為深刻的理解。“數學活動”要基于數學體驗，關注形成和發現過程；立足數學認識，關注猜想和說理過程；把握數學本質，關注揭示和歸納過程；突出數學探究，關注應用和創新過程；提升數學素養，關注反思和積累過程。