在二次函數教學中滲透數形結合思想

袁春明

【摘要】二次函數是初中數學教學的重要內容，集中體現了數形結合思想，本文結合二次函數的數學，探尋滲透數形結合思想的有效策略。

【關鍵詞】二次函數 數形結合

數學思想 初中數學

【中圖分類號】G 【文獻標識碼】A

【文章編號】0450-9889（2016）11A-0084-02

數學新課程標準明確提出，數學教學應注重滲透數學思想，提升學生的數學素養。數形結合思想是指導學生數學學習的重要數學思想之一，掌握數形結合的方法，可以極大地提高學生的數學學習效果，訓練學生的數學思維，讓學生終身受益。二次函數作為初中數學教學的重要內容，集中體現了數形結合思想，是訓練數形結合方法的良好載體。結合初中數學二次函數教學，探尋滲透數形結合思想的有效策略，是一項值得教師研究的課題。

一、解析二次函數的學習內容，闡釋數形結合思想

數學知識是數學思想的直接呈現。很多教師為了應對考試，在日常教學中偏重于數學知識的傳授，而忽略了數學思想的教育，制約了學生的全面發展。二次函數在初中數學課程中占有十分重要的地位，是函數與方程、數形結合、轉化、類比等數學思想的良好載體。教師應認真地研讀教材，闡釋其中包含的數形結合思想，促使學生對數形結合思想形成直觀的認知。

在學習二次函數之前，學生已經具備了一次函數、反比例函數的學習經驗，也初步了解數形結合思想在函數學習中的應用。因此，在學習二次函數知識時，教師可以引導學生借鑒前面的學習方法，從掌握圖象和性質出發展開教學。在學習這些知識時，教師要適時向學生滲透：不論是[y=ax2]型的圖象特征，還是[y=ax2]、[y=a（x+m）2]和[y=a（x+m）2+k]三種二次函數的圖象之間的關系，以及一般二次函數[y=ax2+bx2+c]的圖象與[y=ax2]的圖象之間的關系，都不可避免地需要對函數關系式和圖象進行研究，這些內容的學習必然會涉及函數表達式與圖形的結合，需要通過觀察圖象找出其中的變化規律。同時，這部分內容還需要學生能夠運用二次函數解決實際生活中的求“最值”的問題，這類問題也可以通過對函數關系式的化簡，作圖解答，進一步體現了數形結合的思想。

二、分析二次函數的圖象性質，滲透數形結合思想

在初中數學教學中，二次函數的圖象和性質是重點也是難點，是數形結合思想的集中體現。教師組織學生學習這一部分知識時，通過指導學生運用正確的作圖方法，按照列表、描點、連線的作圖步驟，正確地作出二次函數的圖象之后，引導學生認真觀察圖象，積極思考，進行判斷和歸納，發現二次函數圖象變化的規律，得到二次函數的性質，有效地滲透數形結合思想。

在學習“二次函數[y=ax2]（a不等于0）的圖象和性質”時，教師引導學生通過對函數關系式的解析，確定了自變量的取值范圍，根據函數關系式，用表格的形式列出隨著自變量[x]的變化相應的[y]值，然后，按照表格列出的每組數據在坐標系內描點，再把描出的點連接起來，得到二次函數[y=ax2]的圖象，再指導學生觀察圖象，包括圖象的形狀、開口方向、頂點坐標、函數增減性的變化趨勢等。通過這種由“數”與“形”結合的方法，學生發現二次函數[y=ax2]的圖象是拋物線，這個拋物線的頂點坐標為（0，0），對稱軸是[y]軸，當[a]>0時，二次函數[y=ax2]圖象開口向上;當[a]<0時，二次函數[y=ax2]圖象開口向下。在分析二次函數[y=ax2]的性質時，學生親身體驗了“數”與“形”之間的轉換，對數形結合思想有了比較具體的認知。

由上例可知，二次函數的圖象和性質本身就是數形結合思想的良好載體，也是對學生進行數形結合思想教育的有效方式。教師在引導學生作圖、觀察、推理的過程中，直接向學生滲透了數形結合思想，給學生留下深刻的印象。

三、借助二次函數的研究方法，理解數形結合思想

數學思想指導數學學習方法，數學知識的研究方法恰好也可以體現數學思想。在學習二次函數的內容時，教師在數形結合思想的指導下，按照探討函數知識的常用步驟和方法，幫助學生分析研究二次函數性質的思路，明確研究步驟，讓學生學會應用數形結合思想探究數學知識的一般方法，掌握解決數學問題的具體步驟，加深學生對數形結合思想的理解。

在學習“二次函數”的內容時，教師為了激發學生的學習興趣，滲透數形結合的思想，在上課伊始，就結合實際生活問題創設學習情境：擬建設一個外圍是長方形的溫室，周長是120米，溫室內部有通道，分別與長方形的兩邊相隔2米和1米，那么，設溫室的種植面為[y]，其中一條邊長是[x]，兩者之間的關系式是什么？這種實際問題的解答需要學生靈活應用數學知識。學生在理解題意時存在困難，教師提示學生可以先根據題目畫圖，能比較直觀地呈現出等量關系，進而列出y與x之間的關系式。學生通過畫圖，對于長方形的長和寬一目了然，順利地列出[y=（60-x-4）][（x-2）=-x2+58-112]的函數解析式。最后，直接引出了二次函數的定義，以及二次函數相關的“二次項系數”“一次項系數”和“常數項”的概念。這樣的引入方法，也是運用了數形結合思想方法，促使學生深入理解數形結合思想，訓練學生的數學思維。

由上例來看，通過利用數形結合的方法，按照“先畫出圖象，再總結性質，最后運用數學語言進行描述”的三個步驟，分析二次函數的研究方法，讓學生深入理解數形結合思想。

四、通過二次函數的習題解答，應用數形結合思想

數學思想的學習不能通過簡單機械的記憶來完成，而是要通過實際應用把數學思想內化，成為學生數學思維的習慣。練習題的解答是滲透數學思想的重要方式。在完成了二次函數知識的學習后，教師可以選擇一些典型的練習題目，引導學生應用數形結合的思想、方法，形成獨特的應用體驗，從而使數形結合思想在學生的頭腦中扎根，自覺地指導學生的解題過程，提高學生的解題能力。

在學習“二次函數[y=ax2+bx+c]（[a≠0]）的圖象和性質”的知識后，教師結合本節內容的教學目標，出示練習題：拋物線y=x2-3x+2不經過（ ）。A. 第一象限;B. 第二象限;C. 第三象限;D第四象限。判斷拋物線所在的象限是學習二次函數的內容后需要掌握的知識點。本題具有一定的典型性，教師先讓學生自己解答，有學生很快就給出了C答案。“為什么呢？請說說你的解題方法?！苯處熖岢鰡栴}，引發學生深入思考。學生說：“我選取了這條拋物線的頂點、與x軸的交點三個點，并且判斷了拋物線的開口方向是向上，畫了個簡圖，通過看圖發現拋物線不過第三象限?！苯處熆隙藢W生的回答，并進一步強調：“通過畫圖解決二次函數問題是一種快速準確的方法。同學們要學會應用數形結合的解題方法，把抽象的數學問題轉化為形象直觀的圖形，提高解題效率。”學生在解題中應用數形結合的解題方法，使數形結合思想內化到學生的知識能力結構中，更好地指導數學學習。

借助典型的二次函數練習題，讓學生在解題過程中體會數形結合思想，升華對數形結合思想的認識，獲得應用數形結合思想方法解題的親身體驗，強化學生自覺應用數形結合方法解題的行為，增強學生的數學素養。

總之，數形結合思想方法可以比較容易地把抽象難懂的知識內容轉化為形象易學的知識，教師應通過認真研讀教材，挖掘滲透數形結合思想的教學內容，靈活應用恰當的教學方法，借助有效的教學手段，有的放矢地進行數學思想教育，促使學生掌握數形結合的方法，鞏固學生的數學基礎知識，提高學生解決數學問題的能力。

（責編 林 劍）