談模型思想如何引領數學教學

陳利漢

摘要：對于數學模型思想的共識是‘用數學語言概括地或近似地描述現實世界事物的特征、數量關系和空間形式的一種數學結構；數學課堂教學圍繞模型思想的價值引領開展教學活動，從而建立起數學知識與現實生活之間的橋梁。本文中指出數學建模的過程要有‘生活情景、回歸生本、留足空間等方法從而讓學生思維經歷‘沖突、猜測、驗證、辯析、明確等過程，由此培養學生學習能力，提升數學素養。

關鍵詞：植樹問題；模型思想；數學核心；小學數學

《義務教育數學課程標準（2011年版）》（以下稱《標準》）中明確提出了‘初步形成模型思想，并具體解釋為‘模型思想的建立是幫助學生體會和理解數學與外部世界聯系的基本途徑。人教版小學數學教材分“數與代數”“圖型幾何”“統計與概率”“綜合與實踐”四大領域，這四大領域所涉及的算法、算理、概念、關系、定律等都蘊含了建模的思想。這就是要求一線的數學老師在教學時充分運用模型思想，并且還要利用知識建模的過程滲透應用意識、學會用數學方法去分析問題、解決問題，并發展創新能力。根據《標準》中的這些要求，我在設計《植樹問題》一課時，注重從現實生活中提取問題，帶領學生在真實、新奇、有趣、可操作的情景中進入植樹研究的模式；讓學生在沖突、猜測、驗證、討論、匯報等環節中逐步完成知識的建模過程中，進而使學生在理解知識的同時，數學思維、情感態度和價值觀方面都得到充分的發展。新教材將《植樹問題》從四年級移至五年級說明這部分內容本身就有難度，而我認為難度最大莫過于當遇到生活中類似問題時，植樹的模型如何讓學生在腦海里有效的提取，因此在教學設計的練習環節上，在習題的選擇上教師既要注重來源于生活又要有植樹問題的典型性，促使學生思維跳出課堂，在現實生活中找到植樹問題的原型，

從而培養學生的創新精神、應用能力。

一、來源生活，創情景、促建模

1、貼近生活，創設情景。《標準》中關于數學教學內容，有這樣一段話“課程內容的選擇貼近學生的生活實際，有利于學生體驗與理解、思考與探索。”。生活是數學學習的源頭活水，課堂中數學的學習內容既來源于生活，又要為生活服務；既要用生活中學生所熟悉的事例來吸引學生，又要有利于學生經歷思考與探索；

在設計《植樹問題》這一課問題情景上，就是由以上理念為指導，并頗費了一番心思。“植樹問題”本身就與生活密切聯系，對于這部分的學習內容學生有生活的經驗，一定也會很感興趣，學習的熱情也會比較高漲，但是新教材把原本4年級學習的內容提到了5年級學習，說明這部分內容是有一定的深度的，再根據以往的教學經驗，這部分內容對于學生來說是不容易理解和掌握的，關鍵是學生對于植樹的模型難以運用到生活實踐當中。所以教師在教學設計時就要想方設法把植樹的原型在學生熟悉的生活情景中選取，再逐漸抽象出來，讓學生感受到數學就在身邊。由此，這一課在設計時教師根據學校門口正在修建一條新的馬路，而這條馬路又是學校師生進出學校的唯一通道學生應該非常熟悉，師就抓住這一有利因素設計問題情景：先拍攝相關的道路全景照片作為學習素材，再設計馬路工人要在馬路一邊植樹的問題情景‘南匯小學門口有一條全長300米的新路，工人叔叔準備先在路的一邊植樹，每隔5米栽一棵，一共需要多少棵樹苗？。

從課堂的教學效果來看，這種與學生生活緊密聯系的情景，真實、新奇、有趣又可操作性，正好滿足學生好奇的心理要求，可以激活學生頭腦中已有的生活經驗。所以課堂一呈現，學生注意力馬上被吸引過來，學習的興趣高漲，對問題的解決個個都躍躍欲試。

2、回歸生活，懂得應用。知識來源于生活，最后應用上還要回到生活，去解決生活中的問題。課堂教學中，學生要研究的問題從生活而來，最終還要回到生活去解決實際的問題。所以在應用環節，練習題的選擇也是圍繞‘解決現實生活中的問題為原則。

比如在學生建立了植樹的三種模型后，就要將所建立的植樹模型遷移應用到生活，那么教師就思考生活中哪些情景既蘊含植樹模型的特征、又貼近學生生活，讓學生有感同身受特別親切的。經過多方比較，最終確定用學生乘公交車及車站作為練習題，讓學生感受生活中的植樹問題。事實證明，學生對于公交車站這樣的情景由于非常熟悉，所以在用植樹問題解決時，能展開充分的想象力將車站想象為一棵棵樹，將每兩個車站之是的距離，想象成兩棵樹之間的間距。將課堂上學到的植樹模型，進一步拓展到生活，學以致用。

二、回歸生本，抓本質、建模型

《標準》中指出‘建立和求解模型的過程包括：從現實生活或具體情境中抽象出數學問題，用數學符號建立方程、不等式、函數等表示數學問題中的數量關系和變化規律，求出結果、并討論結果的意義。這些內容的學習有助于學生初步形成模型思想。所以數學建模的過程，也是學生抽象思維發展的過程。

學生是課堂的主體，教師只是參與者、引領者。在學生建模的過程中教師只用做好引領工作，在關鍵處進行討論和思維的引導，從而促使學生順利的建模。《植樹問題》一課課堂教學中的關鍵也是學生需要突破的重難點為：‘掌握間隔數與棵樹之間的規律，并同時讓學生的思維經歷‘困惑-問題-操作-討論-明晰-掌握規律這樣的一個由困惑到明晰的過程；整個課堂知識的架構不是由教師傳授而是學生自行探究所得。

由以上原因，所以在正式的課堂教學前，教師先設計了一道前測題，此題的目的既是檢測學生對植樹問題已有知識的掌握情況，所得出的結果又是作為課堂教學中學生討論交流的原始資料部分，是模型建立、思維明晰的重要一環。

從教學實際情況來看，學會出現以下兩種較典型的錯例：

以上兩種錯例正好是作為建立植樹問題模型的好材料，課堂教學中教師必須要善加利用。比如第一種情況，這位學生表示為栽6棵樹，為了引導學生去思考植樹問題中：間隔與路的總長度的關系，此刻教師將評價和分析的權利交由學生，放手讓學生討論：像這樣畫行不行？學生在討論中逐漸得出：間隔畫得太多了、像這樣一個間隔5米，那么5個間隔路的總長就變為25米不符合題目的意思、間隔畫多了是因為棵數畫多了一棵、一個間隔的距離畫太小了等等。學生的思路在分析和討論中逐漸明晰：種6棵樹是不對的，因為路的總長度=每個間隔的長度×間隔數，這位學生把棵樹多畫了一棵；學生在思辨中建立起了路的總長度與間隔之間的關系，為建立植樹的模型打好的基礎。

第二個錯例除了經歷類似以上：路的長度和間隔數之間關系的思辨外，課堂教學時更要深入思考：如果要增加一棵樹，那么增加的這一棵樹要種在哪里？這一個問題的討論是本課教學的核心所在，因為這一問題的價值在于：引導學生認識植樹問題的‘兩端都栽這一模型中，比間隔數還多出的一棵樹是栽在哪個位置，是建立‘兩端都栽這一植樹模型的核心問題。

由以上兩種錯例的引領，學生思維的激蕩，學生明白了路的總長等于間隔的長度、棵數和間隔數是一一對應的，而最后一個間隔的另一端還可以栽一棵樹。學生對于植樹問題中‘兩端都栽這一模型就這樣以‘潤物細無聲的方式在以上的討論中已經在腦海中深深建立。這種利用學生的典型錯例的引領，實現了課堂中學生學習的材料來源于學生，學生倍感親切；自然在討論和交流時學生思維投入得就非常充分，直指課堂中的本質和要害，順利實現了學生的數學思維經歷了一個由模糊到清晰的過程。由‘兩端都栽再引導學生認識植樹中的另兩種模型‘只栽一端和‘兩端都不栽就非常自然，這樣植樹問題中的三種數學模型自然會是在學生腦海中形成深刻的數學架構。

三、留足空間，會出模、去創新

1、創設空間，促進思維發展。培養學生的創新精神，課堂需要有獨立的思考的氛圍，學生的思維有了獨自發散的時間和空間，才有創新的可能。比如：建立了三種植樹的模型后，師出示了一正一反兩道相關的植樹題：（1）南匯小學門口有一條全長300米的新路每隔5米栽一棵，我們準備先在路一邊植樹兩端都栽（兩端都不栽）一共需要多少棵樹苗？這道題目是在學生建立植樹模型后首次償試去分析問題和解決問題，學生討論的重點為棵樹和間隔數之間的關系，從而實現對于植樹模型的初步內化的過程。（2）園林工人沿公路一側植樹，每隔6米種一棵，一共種了36棵（兩端都栽）。從第1棵到最后一棵的距離有多遠？變式的訓練對于學生思維的發散性有更好的促進作用。本道題目不再是求棵數，而是求路的長度即間隔的總長度，需要根據兩端都栽的情況下先求出間隔數，最后根據每個間隔的距離求出總長度。這種反向思考變式的訓練可以將學生思維的觸角延伸到更廣闊的范圍，為接下來在現實生活中找植樹的模型做好準備。

2、分層練習，培養創新思維。在當前我國教育界一個普遍的共識是：我們的學生的基礎知識和基本技能方面是非常扎實的，但卻非常缺少：問題解決、獨立思考和創新精神；缺少發現問題和提出問題的能力。根據這一現狀，接下來有層次的設計了第三道題：第一層次：出示溫州市區公交地圖，問：從地圖中你可以發現什么？能不能找出與這節課有關的數學信息來？學生獨立思考能力、發現問題能力是一個人創新能力的基礎，這些能力的培養都需要一定的情景和空間，盡管此時學生會有點茫然但長此以往自然就會形成思考的習慣。第二層次：標注出其中5路公交車的行車路線，問：這是5路公交車的行車路線圖，從這里能找出與這節課有關的數學信息嗎？我們可以提出哪些問題？目標縮小了，對象就更明確了，所以學生思路漸漸就有了，圍繞路的長度、車站數、兩個車站之間的距離等問題展開討論，逐漸的將植樹的模型與生活實際聯系起來。第三層次：出示5路公共汽車行駛路線全長22千米，相鄰兩站的距離是1千米。一共有幾個車站？在以上兩個層次的基礎上，學生已經有了獨自的思考、問題意識和模型概念，解決起來也就順理成章。學生思維的發散有了點，更要有面上的鋪開，有了公交車的解決經驗那么下一步師要求學生想一想：生活中哪里還有像這樣的植樹問題？此時學生的思維像是開閘了的水庫，思緒一瀉千里，腦洞大開。

學生數學素養的培養是一個長期的過程，需要教師們不斷的追求和引領。課堂教學時充分利用數學建模思想去解決數學問題，可以培養學生多角度、多層次、多側面思考問題，培養學生發散思維能力是很有益的，是提高學生數學素質的一條有效途徑。同時數學建模的應用也是科學實踐，有利于實踐能力和創新能力的培養，是實施素質教育重要的數學思想。

參考文獻

[1] 邱廷建《理應追求高效的數學課堂》[J]小學數學教育，2014（7）：46.

[2] 曾秀真《指向執教能力的模塊研修-小數學骨干教師培養的實踐與思考》南京大學出片社.

[3] 《數學課程標準（2011年版）》北京師范大學出版社.