均勻磁場中導體細線圈的自感現象分析

佟建恒

【摘要】采用法拉第電磁感應定律，求解隨時間變化的均勻磁場中靜止的線圈上的感應電動勢。觀察到導體細線圈在周期范圍內會出現至少兩次的時間間隔，這樣的結果會導致定律失效。但由于磁場的頻率越來越大，讓感應電動勢也越來越強，而只有自感在被忽略的情況下，線圈的電動勢才能夠符合歐姆定律的要求。

【關鍵詞】均勻磁場 導體細線圈 自感現象

【中圖分類號】TL62+2 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2016）31-0166-02

在大學物理的課程中，有很多的內容與法拉第電磁感應定律相關，但是在學習中，主要以外界磁場對導體細線圈的作用為主，而并不是要由感應電流的情況來決定最終的磁通量。此外有一部分人表示，是否符合歐姆定律，還要看導體線圈的電動勢的具體情況，而對電磁能并不予以特別的重視。下面，我們主要是根據法拉第電磁感應定律，來詳細的研究一下均勻磁場中導體細線圈的自感現象。

一、感應電流和感應電流的函數式

在外界的磁場里，放入導體細線圈，同時讓線圈和磁感線出于90度角的狀態。如果外界磁場能夠因為時間的變動而得到滿足：

B（t）=Bocos（wt）

如果感應電動勢用e來表示的話，那么電流方向和磁感應強度方向，這兩者就可以形成螺旋關系。通過法拉第定律，能夠得到如下的關系式：

E=do/dt=d/dt（Φ+Φ）=dt/dΦ-dt/dΦ。在這個關系式當中，Φ代表的是外界磁場給線圈所提供的磁通量，而經過認真的分析能夠看出，這個關系式能夠滿足Φ=BS=R2B（t）。而Φ則代表感應電流所提供的磁通量，適合下面的公式Φ=BS=LI。在這個公式中，B代表感應電流所提供的磁場強度，L則代表導體細線圈的感應系數。

通過利用法拉第電磁感應定律，我們能夠發現，電阻和自感電動勢之間的總和相當于導體細線圈所有的磁場感應，用公式來表達的話就是：

E=IR-EL+Ldt/dI。 在這個公式中，EL=IR+Ldt/dL代表自感電動勢，而IR則代表電阻所承受的電壓。

根據以上的公式，我們能夠列出滿足感應電流的方程：

2Ldt/dI+IR=na2Bowsin（wt） 如果對這個公式采取轉換的話，假如導體線圈的電流符合I（0）=0的要求，那么就可以得到2LpI（p）+I（p）R=na2Bo p2+w2/w2.同時，I（P）=p2+w2/na2w2Bo+2Lp+R/1。

然后通過對I（P）=p2+w2/na2w2BΦ+2Lp+R/1的轉換，得到準確的感應電流的公式：I（t）=na2w2Bo[-4L2w2+R2/2Lcos（wt）+4L2w2+R2sin（wt）+4Lw2+R2/2L] 如果時間t→Φ，那么導體細線圈就會趨于平穩，此時的公式應為：

I（t）=na2wBo[4L2W2+R2/2L.cos（t）+4L2w2+R2sin（wt）=4L2w2+R2/R/w sin（wt）=4LW2+R2/nawBosin（wt）。

如果把公式I（t）=na2wBo[4L2W2+R2/2L.cos（t）+4L2w2+R2sin（wt）=4L2w2+R2/R/w sin（wt）=4LW2+R2/nawBosin（wt）帶入到EL=IR+Ldt/dL這里，那么當感應電動勢趨于平穩的時候，就能夠得到下列公式：

E（i）=na2wbo 4w2L2+R2/w2L2+R2 sin（wt）。

二、導體細線圈的自感系數

盡管在過去，已經通過研究得到了載流導體線中磁場的感應系數，而且也總結出了函數公式：

B（r）=8a（a2-r2）/u0I（4a2-r2），在這個公式當中，a代表導體線圈半徑，r則代表導體線圈周圍的一個點，不過在過去對導體線圈磁場進行分布期間，全都將線圈當作沒有界限的。這樣的情況就造成，當磁場與線圈越來越近的時候，磁場就會具有非常大的強度，而且磁通量也會變得強起來，這完全與實際情況不相符，原因在于使用安培環路定理，輕易的就能夠得出結論，而從有限粗細的導體線圈的角度來進行分析的話，我們發現，無論是在表面處，還是平面的磁通量，其有限粗細的導體線圈都是有限制的，不過，導體線圈在橫截面的半徑上如果不大于自身半徑的話，這就意味著相關文獻的實驗的結果是正確的。

假如導體線圈的橫截面用dr來表示，線圈的長度用dl表示，那么電流元的磁感強度就是4n（dr）2/u0Idl，而所有線圈的磁通量就是Om（I）=B（r）2nrdr=LI。如果把公式B（r）=8a（a2-r2）/u0I（4a2-r2）套用到Om（I）=B（r）2nrdr=LI，同時舍去dr2的話，我們能夠得到導體細線圈的自感系數：L=8a/u0n[6In a-3In（2a-dr）a2-2adr-3a2In（dr）]。假如dr的值是0.01a的話，那么自感系數就是L=5.0ua。

三、討論

I（t）=na2wBo[4L2W2+R2/2L.cos（wt）+4L2w2+R2sin（wt）=4L2w2+R2/R/w sin（wt）=4LW2+R2/nawBo sin（wt），E（i）=na2wbo 4w2L2+R2/w2L2+R2 sin（wt），這兩個公式因為在感應電動勢上具有一定的相位差Oo（0

B（t）=Bocos（wt）=Bosin（wt+2/n）。另外，感應電流之間的相位差是2/n+o（0

通過以上內容我們能夠了解到，導體細線圈在周期范圍內會出現至少兩次的時間間隔，這樣的結果會導致定律失效，同時，如果磁場的頻率越來越大的話，那么就意味著感應電動勢越來越強。不過，根據實驗發現，無論是在表面處，還是平面的磁通量，其有限粗細的導體線圈都是有限制的，不過，導體線圈在橫截面的半徑上如果不大于自身半徑的話，這就意味著專業文獻中所進行的實驗的結果是正確的。

參考文獻：

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