例析帶電粒子在不同形狀最小磁場區域內的運動

◇ 寧夏 魏廷智 權 浩

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例析帶電粒子在不同形狀最小磁場區域內的運動

◇ 寧夏 魏廷智 權 浩

近年來在高考試題中多次出現帶電粒子在有界勻強磁場區域的運動時,求磁場的最小面積問題,這類問題對學生的平面幾何知識與物理知識的綜合運用能力要求較高.其難點在于帶電粒子在有界勻強磁場中運動的軌跡不是完整的圓,其進入邊界未知的磁場后一般只運動一段圓弧后飛出磁場邊界,運動過程中的臨界點(如運動形式的轉折點、軌跡的切點、磁場的邊界點)難以確定.此類問題解決的關鍵是依據題意分析帶電粒子的運動過程和運動形式,抓住運動過程中的臨界點,應用幾何知識,找出運動軌跡的圓心,確定半徑,畫出帶電粒子運動的部分軌跡,再利用題目中規定形狀的最小磁場覆蓋粒子運動軌跡,然后利用數學知識和相應的物理規律分析解出所求磁場的最小面積.下面筆者以實例對此類問題進行分析.

1 帶電粒子在圓形磁場區域內運動

圖1

例1如圖1,一帶電質點質量為m,電荷量為Q,以平行于Ox軸的速度v從y軸上的a點射入圖中第一象限所示的區域.為了使該質點能從x軸上的b點以垂直于Ox軸的速度v射出,可在適當的地方加一個垂直于xOy平面、磁感應強度為B的勻強磁場.若此磁場僅分布在一個圓形區域內,試求這圓形磁場區域的最小面積.重力忽略不計.

圖2

解析質點在磁場中做半徑為R的圓周運動,則有QvB=mv2/R,解得R=mv/QB.根據題意,質點在磁場區域中的軌道是半徑等于R的圓上的1/4圓周,這段圓弧應與入射方向的速度、出射方向的速度相切.過a點作平行于x軸的直線,過b點作平行于y軸的直線,則與這2條直線均相距R的O′點就是圓的圓心.如圖2所示,質點在磁場區域中的軌跡就是以O′為圓心、R為半徑的圓上的圓弧MN,M點和N點應在所求圓形磁場區域的邊界上.

點評求解圓形磁場最小面積的關鍵是要找到圓心和粒子射入、射出磁場邊界的臨界點,圓心必在兩臨界點速度方向垂線的交點上,并且圓心到這2個臨界點的距離相等,同時還需要明確所求最小圓形磁場的直徑等于粒子運動軌跡的弦長.

2 帶電粒子在矩形磁場區域內運動

圖3

(1) 電子經過Q點的速度v;

(2) 該勻強磁場的磁感應強度B和磁場的最小面積S.

解析(1) 電子從P點開始，在電場力作用下做類平拋運動到Q點.

水平方向:L-L/4=3L/4=v0t.

(2) 如圖4所示,電子以與x軸負方向成30°進進入第四象限后,先沿QM做勻速直線運動,然后進入勻強磁場區域做勻速圓周運動,恰好以沿y軸正方向的速度經過O點.可知圓周運動的圓心O′一定在x軸上,且O′點到O點的距離與到直線QM上M點(M點即為磁場的邊界點)的垂直距離相等,找出O′點,畫出其運動的部分軌跡為弧MNO,這樣磁場的右邊界和下邊界就確定了.

圖4

點評電子在第一象限內運動類似于平拋運動,加速度a由電場力產生,水平方向為勻速直線運動,豎直方向為初速度為0的勻加速直線運動.電子在第四象限進入磁場中的運動,洛倫茲力提供向心力,圓心、半徑、臨界點的確定是關鍵,另外要注意數學知識在物理學中應用.

3 帶電粒子在三角形磁場區域內運動

圖5

例3如圖5,一質量為m、帶電荷量為+Q的粒子在BC邊上的M點以速度v垂直于BC邊飛入正三角形ABC.為了使該粒子能在AC邊上的N點(CM=CN)垂直于AC邊飛出三角形ABC,可在適當的位置加一個垂直于紙面向里,磁感應強度為B的勻強磁場.若此磁場也分布在一個正三角形的區域內,粒子的重力不計,求:

(1) 粒子在磁場中運動的半徑和周期;

(2) 該粒子在磁場中運動的時間t;

(3) 該正三角形磁場區域的最小邊長.

圖6

(2) 由題意可知,粒子剛進入磁場時應該先向左偏轉,不可能直接在磁場中由M點做圓周運動到達N點,當粒子剛進入磁場和剛離開磁場時,其速度方向應該沿著軌跡的切線方向并垂直于半徑,如圖6所示,粒子的運動軌跡為圓弧GDEF,圓心為O,G點為軌跡圓半徑與初速度方向的切點,在F點為軌跡圓半徑與出射方向的切點. 畫出三角形abc,與圓弧在D、E2點相切,并與圓交于F、G2點,此為符合題意的最小磁場區域. 由數學知識可知∠FOG=60°,所以粒子在磁場中運動圓弧所對應圓心角為300°,由于ω=θ/t=2π/T,所以該粒子在磁場中運動的時間t=5T/6=5πm/3QB.

點評題中粒子運動軌跡和磁場邊界臨界點的確定比較困難,須將射入速度與從AC邊射出速度的反向延長線相交后,根據運動半徑已知的特點,再由幾何知識才能確定.另外,在計算最小邊長時一定要注意圓周運動軌跡并不是三角形磁場的內切圓.

4 帶電粒子在樹葉形磁場區域內運動

圖7

例4如圖7所示,ABCD是邊長為a的正方形. 質量為m、電荷量為e的電子以大小為v0的初速度沿紙面垂直于BC邊射入正方形區域.在正方形內適當區域中有勻強磁場. 電子從BC邊上的任意點入射,都只能從A點射出磁場.不計重力,求:

(1) 此勻強磁場磁感應強度的方向和大小;

(2) 此勻強磁場區域的最小面積.

圖8

點評本題情景設計簡潔,但命題立意較高,難度大,涉及找角度、找圓心、找坐標、三角函數的應用、參數方程的建立,考查帶電粒子在勻強磁場中的勻速圓周運動、空間想象能力和應用數學知識解決物理問題的能力.以電子從C點進入為突破口,即可求解第(1)問,從其他位置進入,也一定是勻速圓周運動,并且半徑相同.

高考物理在考查知識的同時注重考查能力,并把對能力的考查放在首要位置.其中應用數學知識處理物理問題的能力是高考考查的5種能力之一,要求能運用幾何圖形、函數圖象進行表達、分析.帶電粒子在有界磁場中的運動,是應用數學知識處理物理問題的典型模塊,特別是求解磁場最小面積問題,能力要求較高,是近幾年高考命題的熱點之一.希望上述實例的分析解答對同學們的學習能起到潛移默化的效果.

寧夏六盤山高級中學)