淺談巧用現代信息技術解決幾何中的最短路徑問題

【內容摘要】現代信息技術最大的優勢就是能提供大量的圖象、圖形、動畫、以及視頻信息，為數學教學創設仿真的或虛擬真實的實物，可以使靜態的教學內容變為動態的畫面，從而使學生在愉悅的狀態下主動地獲取知識，成為學習的主體。

【關鍵詞】現代信息技術 最短路徑問題 激化興趣 主體

最短路徑問題是圖論研究中的一個經典算法問題， 旨在尋找圖（由結點和路徑組成的）中兩結點之間的最短路徑。初中教材中的最短路徑問題不光涉及到平面圖形中，還涉及到立體圖形的側面展開圖中.而初中生的立體感較弱，特別是缺乏空間想象能力.因此學生在解決立體圖形中的最短路徑問題時會感到非常困難.而現代信息技術最大的優勢就是能提供大量的圖象、圖形、動畫、以及視頻信息。因此，現代技術能為數學教學創設仿真的或虛擬真實的實物，可以使靜態的教學內容變為動態的畫面，這樣就能通過動畫演示將立體圖形和平面圖形的關系很生動的展示給學生，從而使學生在愉悅的狀態下主動地獲取知識，成為學習的主體。下面就怎樣利用現代信息技術幫助我們解決最短路徑問題談談我的感受。

一、利用幾何畫本解決兩點之間線段最短的問題.

例1，如圖，牧童在A處放馬，其家在B處，A、B到河岸的距離分別為AC和BD，且AC=10米，BD=20米，CD=40米，則牧童從A處把馬牽到河邊飲水再回家，所走的最短距離是多少米？（圖略）

在解決這一問題時，老師若按傳統的傳授型進行知識講解，學生很難理解，但是借用幾何畫板將靜態的圖形轉化為動態的圖案來解就讓學生容易理解。比如，如右圖先找出A關于直線CD的對稱點A1，再在直線上任意找一點P并連接PA、PA1和PB，然后利用幾何畫板測出PA、PA1和PB 的值，并測出PA+PB和PA1+PB的值。讓學生觀察當P在移動的過程中PA+PB的值會發生怎樣的變化，從而觀察出PA+PB和PA1+PB的值始終相等，并能很容易總結出P移動到線段BA1和直線CD相交的時候PA+PB的值最小。這樣學生能很直觀的感受到兩點之間線段最短，再引導學生利用勾股定理解出問題。（圖略）

二、利用多媒體中動畫功能解決圓柱體中的最短路徑的問題.

例2.如圖，有一個圓柱的高為6cm，底面周長為16cm，在圓柱下底面的A點有一只螞蟻，它想吃到對面上底面B點處的食物，則沿著圓柱的表面需要爬行的最短路程是多少cm？（圖略）

初中學生對圓柱的側面展開圖不是太了解，特別是對圓柱體上的A、B、C分別在平面展開圖長方形的哪個位置有些不能確定。為了解決這一問題，可以先利用多媒體中的動畫來演示在圓柱體中所爬的路線并留下路線圖，然后利用多媒體將圓柱體展開得到其側面展開圖，這樣能直觀的顯示圓柱和其側面展開圖之間的關系，并能清楚的顯示出A、B、C在側面展開圖中的位置，從而讓學生更容易的知道螞蟻爬行的最短路程就是直角三角形的斜邊AC的長，這樣問題就容易得到解決。

三、利用多媒體中動畫和幾何畫板相結合解決圓柱體中的最短路徑的問題.

例3. 如圖，透明的圓柱形容器（容器厚度忽略不計）的高為12cm，底面周長為10cm，在容器內壁離容器底部3cm的點B處有一飯粒，此時一只螞蟻正好在容器外壁，且離容器上沿的3cm點A處，則螞蟻吃到飯粒需爬行的最短路徑是多少cm？

此題是一道既與圓柱的側面展開圖有關，又與軸對稱有關的綜合題，因此可將例2中的動畫和例1中的幾何畫板相結合進行應用。還是先仿照例2做一個動畫演示螞蟻所走的路線，然后通過演示由立體圖轉化成側面展開圖得到右圖，這樣學生就能很直觀的感受到此題就是在CD上找一個點P使PA+PB最短的問題。再仿照例1利用幾何畫板演示并找出P的位置，最后引導學生利用勾股定理就能很容易解出答案。

四、利用多媒體中的空間旋轉解決長方體中的最短的問題.

例3.如圖，有一個長方體的長為4cm，寬為3cm，高為5cm，在長方體的下底面的A點有一只螞蟻需要繞長方體的表面爬到上底面C1點處才能吃到食物，則沿著長方體的表面需要爬行的最短路程是多少cm？（圖略）

學生在解決這到題時，容易想到螞蟻從A出發先經過平面ABB1A1，再經過平面BCC1B1到達C1.從而得到展開圖（1），但很難想到從A出發先經過平面ABB1A1，再經過平面B1C1D1 A1到達C1而得到展開圖（2），更難想到從A出發先經過平面ADD1A1，再經過平面B1C1D1 A1到達C1然后得到展開圖（3）。為了解決這一難題，老師可以利用多媒體的空間旋轉功能將平面ABB1A1和平面ADD1A1分別旋轉到主視圖的位置，這樣學生就能非常直觀的得到展開圖（2）和展開圖（3）這兩種情況，從而使這道題讓學生更輕松的得到解決。（圖略）

初中數學與信息技術的整合，并非強調所有的數學內容都適合計算機輔助教學，它只可巧用，不能濫用。但在解決初中數學的有關幾何問題時應該把現代信息技術和實物教具相結合，才能使二者的有機整合提升到一個新的高度，從而達到優化數學的學習過程和學習資源的目的。