基于時變波動率與混合對數正態分布的50ETF期權定價

王 鵬，楊興林

西南財經大學 中國金融研究中心，成都 611130

基于時變波動率與混合對數正態分布的50ETF期權定價

王 鵬，楊興林

西南財經大學 中國金融研究中心，成都 611130

經典B-S期權定價模型經歷了從常數波動率、正態分布到時變波動率、非正態分布的發展歷程。

對已有針對時變波動率期權定價模型效果的研究進行擴展，以時變波動率模型SSP對經典B-S期權定價公式的常數波動率進行修正，該隨機條件波動率的構建充分反映了未來標的資產收益對其波動率的影響；運用廣義學生t分布構建時變波動率調整后的B-S期權定價公式，并研究其風險中性概率分布形狀，引入混合對數正態模型捕捉實際收益率分布相對于正態收益率分布的偏離；采用2015年2月9日、2月16日和2月25日的50ETF期權高頻數據，應用嚴謹的參數顯著性檢驗、樣本內定價偏差和樣本外預測偏差的模型選擇比較標準，對提出的具有時變波動率的混合對數正態期權定價模型的定價精度進行分析。

研究結果表明，中國50ETF期權的標的資產高頻收益率呈現出較為明顯的有偏和尖峰厚尾分布，收益波動具有明顯的聚集特征和長記憶性；采用時變波動率修正后的B-S模型能夠顯著提高對中國50ETF期權的定價精度；在綜合考慮模型對標的資產價格變化動力學的刻畫效果以及對期權的定價精確性后，具有時變波動性特征的混合對數正態模型是一個相對更為合理的期權定價模型。

研究結果不僅為投資者和監管機構提供了更為準確的期權定價方法，同時也豐富了有關中國50ETF期權典型統計特征的研究。

混合對數正態分布；時變波動率；Black-Scholes模型；期權定價；50ETF

1 引言

近年來，對期權定價的研究是現代金融理論的重要內容之一，期權作為一種衍生性金融工具，對于活躍金融市場、完善金融市場價格發現功能具有重要意義。因此，對期權進行精確定價不僅直接影響到機構投資者和個人投資者的投資策略，而且還可以為金融監管當局提供相關決策的信息支持。與此同時，標志著中國正式擁有了全套主流金融衍生產品的50ETF期權的成功上市，使中國監管機構、做市商和投資者等對于期權的定價精度的要求提高，因此，對于如何改善期權定價模型的定價精度的相關研究具有實踐意義。

2 相關研究評述

在已有研究中，由于BLACK et al.[1]提出的經典B-S模型邏輯嚴密、形式優美、涉及變量較少及計算相對簡便，被理論界和實務界廣泛用于為衍生品定價[2-4]。但是，由于經典B-S模型的假設條件中存在若干與實際市場運行特征不符之處，如現實中存在的金融資產(經驗)收益率的時變波動性[5-7]和其非正態性[8-10]說明經典B-S模型常數波動率和正態分布的假設有誤，因此學者們在經典B-S模型上進行了許多有意義的改進[11-12]。

首先，由于波動率是對標的資產風險的二階矩刻畫且也是期權定價建模的重要組成部分，因此對經典B-S模型的常數波動率假設進行修正成為金融實務界關注的熱點。CHRISTOFFERSEN et al.[13]和BYUN et al.[14]對期權的標的資產收益率采用GARCH波動率建模，構建風險中性估值模型，并發現GARCH波動率模型比經典B-S模型中的常數波動率模型能夠更好地解釋已被充分證實存在的系統性偏差； CHRISTOFFERSEN et al.[15]和CORSI et al.[16]采用高頻數據構建實現波動率模型，發現得到的隨機波動率期權定價模型具有更好的定價效果；CHEN et al.[17]和ALS et al.[18]通過構建隱含波動率模型實現對標的資產收益率的波動預測，進而取得了更好的期權定價效果。中國也有許多關于常數波動率修正的有價值的研究[19-21]。

其次，許多學者對于標的資產收益率分布的非正態性展開研究，取得了許多有價值的成果。趙攀等[22]提出Tsallis分布的歐式期權定價模型，并在對上證指數數據實證分析中發現Tsallis分布對資產收益率尖峰厚尾及偏尾等現象的捕捉更為精確；KIM et al.[23]和HUANG et al.[24]認為廣義極值分布和廣義的Logistic分布更能準確地刻畫標的資產收益率厚尾特征，通過對標準普爾500指數期權實證研究，發現這些分布可以讓修正后的經典B-S模型具有更好的靈活性和實用性；JIMéNEZ et al.[25]和MOSCOSO et al.[26]研究發現廣義Tukey分布由于考慮了標的資產收益率的偏度和峰度，更能準確描述標的資產收益率的分布特征，使在該分布修正下的經典B-S模型具有更高的定價精度。

另外，也有學者從其他視角對期權定價進行了研究，為后續改善期權定價精度的研究提供了新的渠道和方法。FRY-MCKIBBIN et al.[27]認為在金融危機時期外匯期權的定價會出現比較嚴重的偏差，降低了風險對沖效率，這是由于沒能將刻畫市場之間的風險傳染的協偏度考慮進傳統的期權定價模型中；RECCHIONI et al.[28]在雷曼兄弟倒閉和歐債主權債務危機發生導致美國和歐元區負的政府債券收益率的大背景下，通過構建負利率的期權定價模型，實證發現該模型在負利率出現時具有更好的定價精度和波動率預測效果；傳統的期權定價模型很少考慮市場流動性的沖擊對期權買賣價差的影響，LEIPPOLD et al.[29]考慮市場流動構建了隨機流動性模型，并結合多維二叉樹方法成功地對標準普爾500指數看漲和看跌期權進行了校準。

盡管對于期權定價的研究已經取得了很多有價值的成果，但大多數研究要么集中于對常數波動率假設的單方面修正[30-32]，要么僅對資產價格分布進行重新刻畫[22,33-34]，還很少見到同時對常數波動率和正態分布進行修正以提高期權定價精度的系統性研究。另外，中國專門針對上證50ETF期權定價的研究成果較少，楊瑞杰[35]在上證50ETF期權推出后，對期權交易能否提高標的資產定價效率進行了研究。

本研究同時修正了經典B-S模型中標的資產收益率為常數波動率和標的資產收益率服從正態分布這兩大與實際市場運行特征不符的核心假設。①ROSENBERG et al.[36-37]提出的條件方差方程式能夠準確地度量方差對于對數正態分布的偏離以及反映金融資產收益率的時變波動性特征，因此采用ROSENBERG et al.[36-37]提出的條件方差方程式和LYE et al.[38]提出的靈活參數分布構建具有時變波動性特征的B-S模型；②MELICK et al.[39]提出的混合對數正態分布相較于正態分布也能更好地刻畫標的資產收益率分布偏度、峰度和多峰等特征，因而引入MELICK et al.[39]提出的混合對數正態分布構建具有時變波動性特征的混合對數正態模型；③以上證50ETF期權為實證研究對象，考察并比較本研究構建的具有時變波動性特征的B-S模型與具有時變波動性特征的混合對數正態模型的定價精度，進而得到更為合理的看漲期權定價模型。

3 理論介紹和模型構建

3.1 時變波動率的理論介紹

由于經典B-S模型下的分布密度函數對于實際收益率分布的刻畫往往具有很大的偏離，因而ROSENBERG et al.[36-37]采用著名的Sigma形狀多項式(Sigma shape polynomial，SSP)對這一缺陷進行修正，表達式為

(1)

(2)

隨后，LIM et al.[40]在對S&P 500指數期權進行高階矩參數期權定價時也構建了SSP變形形式，即

(3)

基于上述研究發現，對于SSP模型只用到總收益對數項就能充分反映金融資產(經驗)收益率的時變波動性特征，并能充分捕捉對數正態分布對于實際分布的偏離。因此，本研究構建的期權定價模型均采用(3)式的條件波動率。

與建立在滯后收益上的GARCH類時變波動率模型相比，(3)式具有許多優勢。首先，體現了期權價格的決定與標的資產未來價格變化的聯系；其次，所有隨機性都源自于資產價格本身的隨機性，沒有額外的殘差項產生；最后，計算相對簡便。

3.2 構建具有時變波動性特征的B-S模型

在對期權鞅定價的研究中，INGERSOLL[41]和HULL[42]認為對于一份t時刻歐式看漲期權估值的核心思想是風險中性條件下的均值現金流貼現，即

F(St)=EQ[e-rτmax(ST-X,0)|St]

(4)

其中，F(St)為在EQ[·|St]下的理論期權價格，EQ[·|St]為風險中性概率測度，r為每日的無風險利率，τ為期權的到期天數，X為期權的執行價格。變換(4)式可得風險中性概率分布的廣義形式，即

(5)

(6)

其中，zT為均值為0、方差為1的標準隨機變量。

LYE et al.[38]認為，廣義學生t分布的特點是具有很強的參數靈活性，能夠通過參數賦值得到正態、學生t等各種分布。廣義學生t分布具有的高階矩項也為刻畫標的資產收益率構建更為復雜的分布創造了條件。本研究僅選取廣義學生t分布經參數賦值后得到的正態分布進行研究，通過此分布重構具有時變波動性特征的經典B-S模型。本研究重構具有時變波動性特征的經典B-S模型，步驟如下。

(1)假設(6)式中的標準隨機變量zT服從LYE et al.[38]提出的廣義學生t分布，進而根據LIM et al.[40]所構建的一般隨機變量在廣義學生t分布下的概率密度函數得到本研究構建模型所需的標準隨機變量zT的概率密度函數，即

-∞

(7)

其中，θ1～θ6、γ為參數，θ1～θ6刻畫了標準隨機變量zT的不同分布形狀，γ的平方項為自由度；k為積分常數，具體形式為

(8)

p(zT)=ke-0.5z2T

(9)

(2)運用p(zT)求風險中性概率密度g(ST|St)，即

g(ST|St)=|J|p(zT)

(10)

其中，J為能夠實現從現實測度(P測度)到風險中性測度(Q測度)的雅可比行列式，即

(11)

將(10)式代入(11)式得到風險中性概率密度，即

(12)

(3)將本研究構建的風險中性概率密度(12)式代入(5)式，得到在風險中性概率測度下具有時變波動性特征的B-S模型(簡記為Normal)，即

F(St)=BS(σT|t)

(13)

(4)進一步假定(3)式中的β2=0，可以得到波動率為常數的風險中性概率密度，即

(14)

將在常數波動率下的風險中性概率函數代入(5)式，得到波動率為常數的經典B-S模型，即

F(St)=BS(σ)=StN(d1)-Xe-rtN(d2)

(15)

其中，σ為經典B-S模型假設下的常數波動率，σ=exp (β1)。d1和d2的具體形式為

(16)

3.3 構建具有時變波動性特征的混合對數正態模型

由于眾多實證研究結果表明金融資產(經驗)收益率并不服從正態分布，而是具有偏態、厚尾等典型特征。因此，本研究采用MELICK et al.[39]提出的能夠準確刻畫真實分布的混合對數正態分布，通過該分布構建具有時變波動性特征的混合對數模型，對經過時變波動率修正后的B-S模型(即(13)式)進一步改進。

(1)混合對數正態分布模型在常數波動率下的定價方程式為

F(St)=αBS(σ1)+(1-α)BS(σ2) 0<α<1

(17)

其中，BS(σi)為常數波動率下的經典B-S模型，具體表達形式如(15)式所示，i=1,2；α為衡量下屬兩個對數正態分布的權重參數。

(2)運用(3)式構建的時變波動率對(17)式中的常數波動率進行調整，得到時變波動率調整后的混合對數模型(簡記為Mixture)，即

F(St)=αBS(σ1,T|t)+(1-α)BS(σ2,T|t)

(18)

(19)

4 具有時變波動性特征的風險中性概率分布模擬

為探討(12)式中風險中性概率的分布形狀，下面在不同的參數設置下對g(ST|St)進行模擬分析。

(1)假定當期現貨價格St=2.500，未來到期日的現貨價格ST以0.025的步長從1.500～3.500變化，期權存續期為半年(約180天)，年無風險利率為0.500。

(2)通過β2的不同取值分析時變波動率對于風險中性概率分布的影響。圖1給出當收益率為正態分布時，β1固定為-2時，風險中性概率分布形狀受β2變化的影響。由圖1可知，在β1固定的條件下，當β2= 0時所得分布恰為經典B-S模型下的風險中性概率分布，β2取值越大得到的風險中性概率分布越正偏。

(3)比較LYE et al.[38]提出的廣義學生t分布(7)式在參數賦值約束條件下所得的風險中性概率分布g-gst[ST]與經典B-S模型中的風險中性概率分布g-logn[ST]的一致性，圖2給出在同一坐標軸下g-gst[ST]和g-logn[ST]的風險中性概率分布。由圖2可知，兩種情況下的風險中性概率密度分布完全重合，很好地證實了廣義學生t分布可以通過參數賦值得到經典B-S模型中的風險中性概率分布，進而為本研究的Normal模型和Mixture模型的構建提供了有力的支撐。

5 Normal模型與Mixture模型實證研究結果對比

5.1 數據描述

本研究樣本數據為2015年2月9日、2015年2月16日和2015年2月25日的每日歐式看漲期權的一分鐘高頻報價以及同一時刻的現貨價格，數據來源于Wind資訊。由于滬深股票交易所在每個交易日的9:30分開盤，到11:30中午休市，然后在13:00開盤，到15:00收盤，每天有4個小時共240分鐘的連續競價交易時間，對于每一交易日的20份歐式看漲期權，可獲得4 800個樣本點。另外，分別選取與上述3日相鄰交易日的高頻數據用于對本研究構建模型的預測效果評估。以2015年2月9日為例，首先估計得到該交易日對應期權定價模型的參數，然后運用這些參數分別對2015年2月10日和2015年2月11日的期權價格進行預測，最后比較預測價格與實際價格之間的誤差。

圖1 收益率為正態分布條件下β2變化對于風險中性概率分布的影響Figure 1 The Influence of the Variation of the β2on Risk Neutral Probability Distributions, Assuming Normality in Returns

圖2 廣義學生t分布與經典B-S模型的風險中性概率分布Figure 2 Risk Neutral Probability Distributions for GST and B-S

(a)收益率波動 (b)收益率頻率

均值標準差偏度峰度J?BADFQ(8)Q(9)2015年2月9日0．0080．1240．611???2．356???1408．900???-15．146???88．113???89．780???

注：***為在1%水平下顯著，下同；峰度為超額峰度系數，正態分布的超額峰度系數為0.000；J-B為檢驗收益率是否服從正態分布的Jarque-Bera統計量；ADF為以最小AIC準則確定最優檢驗滯后階數后得到的Augmented Dickey-Fuller單位根檢驗統計量；Q(8)為滯后階數為8的收益率Ljung-BoxQ統計量；Q(9)為滯后階數為9的收益率Ljung-BoxQ統計量。

需要指出的是，若本研究所構建的Normal模型與Mixture模型涉及分紅時，需要對模型中的現貨價格St進行Ste-diτ分紅剔除處理，其中di為分紅比例；然后用剔除分紅后的現貨價格Ste-diτ替換現貨價格St并代入模型，即可求得考慮分紅因素后的理論期權價格。然而本研究的實證研究對象50ETF在2015年度并無分紅記錄，即使根據最近4次的歷史分紅記錄算出平均分紅比例di=0.410%(數據來源于wind資訊)，在各存續期下e-diτ≈1，由此可知中國標的50ETF的分紅對于期權定價的研究結論并無顯著影響。

另外，若令Pt為每分鐘報價，T為樣本總數，則高頻收益率rt(t=1, 2, …,T)可以表示為

rt=100×[ln(Pt)-ln(Pt-1)]

(20)

圖3、表1和表2分別給出2015年2月9日當天的標的資產收益率波動與分布、標的收益率的描述性統計結果和期權價格，2015年2月16日和2015年2月25日的數據也具有類似統計特征，限于篇幅，不再給出。

由圖3、表1和表2可知：

(1)圖3(a)中標的資產收益率波動隨時間的變化而變化，說明中國50ETF期權的標的資產收益率具有較為明顯的時變波動性特征。

(2)50ETF期權的標的資產收益率不服從正態分布。由圖3(b)可以發現該分布具有尖峰厚尾和有偏等特征，表1中偏度、峰度以及J-B統計量等均在1%水平下顯著，也說明標的資產收益率的非正態性。

表2 50ETF期權價格數據Table 2 50ETF Options Price Data

(3)表1中的ADF單位根檢驗結果表明，50ETF期權合約的標的資產收益率序列存在單位根的零假設被強烈拒絕，可以認為中國50ETF期權的標的資產收益率序列是平穩的，進而可以直接作為下一步極大似然的計量建模。

(4)從表1基于滯后8階和9階的Ljung-BoxQ統計量可以看出，在相對較高的顯著性水平上(1%)，都可以拒絕50ETF期權的標的資產收益率在較長的時間范圍內(滯后8期或9期)都不具有自相關性的原假設，即50ETF標的資產的價格中存在較為明顯的長記憶性。

本研究采用的無風險利率為中國人民銀行2015年2月份公布的1年期定期存款利率，即r=2.750%。

5.2 參數估計

上文對中國50ETF期權及其標的資產收益率的時變波動性特征和非正態性的分析為運用本研究構建的模型提供了經驗證據，下面用本研究構建的Normal模型((13)式)和Mixture模型((18)式)分別計算對應模型下的t時刻第j份期權的理論價格，具體表示為

F(St)j=F(St,Xj,τj,r；Ω)

(21)

其中，F(St)j為第j份期權在t時刻的理論價格，Xj為第j份期權的執行價格，τj為第j份期權的存續期，Ω為描述標的資產收益率分布和波動的參數向量。當Ω={β1}時，即為本研究所構建的經典B-S期權定價模型(即(16)式)。另外，t時刻第j份期權市場價格Cj,t與理論價格F(St)j之間的相關關系為

Cj,t=F(St)j+εj,t

(22)

(23)

其中，Φ1和Φ2均為未知參數。設N為樣本觀測個數，則對數似然函數的表達式為

(24)

其中，L為似然函數值。

對于上文所涉及的Φ1、Φ2和Ω，均采用GAUSS 9.0程序MAXLIK軟件包進行極大似然估計。本研究中(5)式的ST、(8)式的zT均通過取倒數變換，將對應積分函數的上下限轉換為(-1,1)，然后采用INTQUAD1命令進行一維數值積分，求得期權的理論價格。

表3和表4分別給出Normal模型和Mixture模型在3個交易日下經極大似然估計得出的參數值、標準差以及顯著性水平。

表3 Normal模型在不同交易日的極大似然估計Table 3 Maximum Likelihood Estimates of the Normal Model for Various Trading Days

表4 Mixture模型在不同交易日的極大似然估計Table 4 Maximum Likelihood Estimates of the Mixture Model for Various Trading Days

由表3和表4可知：

(2)在Mixture模型下3個交易日的參數α均顯著，證明中國50ETF期權的標的資產收益率分布存在非正態性，因此采用MELICK et al.[39]提出的混合對數正態分布對真實分布進行刻畫，構建本研究提出的Mixture模型能夠顯著提高期權的定價精度。

(3)根據表3和表4的結果，除在Normal模型下的交易日2015年2月25日外，其余交易日下的參數Φ2均顯著，證明定價誤差的方差與期權實值程度之間確實存在顯著相關關系。

5.3 Normal模型與Mixture模型定價偏差比較

為了對Normal模型和Mixture模型進行定價精確性分析，本研究運用這兩種模型分別計算其對應的理論價格F(St)j與各自的市場價格Cj,t在平均絕對誤差(MAE)、平均誤差平方(MSE)、經異方差調整的MAE(HMAE)、經異方差調整的MSE(HMSE)、對數損失函數誤差(R2LOG)以及高斯準極大似然函數誤差(QLIKE)等6種常用的損失函數下進行比較，6種損失函數的具體表達式為

(25)

(26)

(27)

(28)

(29)

(30)

表5 模型定價偏差Table 5 Mispricing of the Models

考慮到Normal模型與Mixture模型進行極大似然估計時具有不同的參數維數κ和似然函數值L的性質，因而在比較Normal模型與Mixture模型定價偏差時也分別計算了AIC和SIC統計量，表5分別給出在3個交易日下Normal模型和Mixture模型關于定價偏差的具體損失函數值和統計量。當模型的損失函數值(MAE、MSE、HMAE、HMSE、R2LOG、QLIKE)和統計量(AIC、SIC)相對較小時即表示對應模型在該定價偏差衡量指標中表現較優，進而表示相應的期權定價模型具有更高的定價精度。另外，如果當Normal模型和Mixture模型在同一交易日下某些定價偏差衡量指標表現一致時，本研究以在該交易日下的其他定價偏差衡量指標為準。

由表5可知，2015年2月9日Normal模型與Mixture模型在MAE、MSE和QLIKE定價偏差衡量標準下數值相等，即模型定價偏差效果表現一致，而在HMAE、HMSE、R2LOG、AIC和SIC定價偏差衡量標準下，Mixture模型比Normal模型數值較小，即Mixture模型比Normal模型對期權的定價精度更高。同理，對于2015年2月16日和25日也可以發現在對中國50ETF期權定價精度上，Mixture模型明顯優于Normal模型。

5.4 Normal模型與Mixture模型預測比較

為進一步對Mixture模型和Normal模型進行比較，本研究分別采用對2015年2月9日、2015年2月16日和2015年2月25日估計出的參數對相鄰交易日期權價格進行預測，并對其預測精確性進行比較。以2015年2月9日為例，首先采用極大似然估計方法得到該日的參數，然后分別用該日估計的參數計算2015年2月10日和11日的期權價格，最后計算對應模型的預測誤差，即

fj,t=Cj,t-F(St)j|Feb,9th

(31)

其中，fj,t為第j份期權在t交易日的價格預測誤差，Cj,t為第j份期權在t交易日的期權市場價格，t分別為2015年2月10日和11日，且

F(St)j|Feb,9th=F(St,Xj,τj,r;ΩFeb,9th)

(32)

其中，ΩFeb,9th為用2015年2月9日數據估計得到的參數。然后可通過(31)式求得相應的預測誤差。同理可以用2015年2月16日估計的參數預測2015年2月17日(2015年2月18日為春節假日)的期權價格，用2015年2月25日估計的參數預測2015年2月26日和27日的期權價格。

為提高穩健性，本研究分別采用MAE、MSE、HMAE、HMSE、R2LOG、QLIKE損失函數和DM統計量對模型預測精度進行評估。在對模型預測效果的衡量標準中，由于預測誤差數值偏小，因而采用均方根誤差(RMSE)替代平均平方誤差(MSE)作為模型預測效果評判標準，以便于直觀地比較。本研究采用的RMSE損失函數的具體表達式為

(33)

本研究采用DM統計量檢驗Mixture模型與Normal模型的預測誤差之間差異是否顯著，其原假設為兩模型之間具有一致的預測精確性，且該統計量漸近服從N(0,1)分布，表達式為

(34)

其中，diffj,t為第j份合約在t時刻Mixture模型與Normal模型預測誤差之間的差異。

表6分別給出Normal模型和Mixture模型關于期權價格預測效果的損失函數值和統計量。若在某一交易日下對應模型的損失函數值越小，表示該模型對于期權價格的預測精確性更高。另外，當DM統計量的絕對值均大于1.960時，表示在5%水平下拒絕原假設，即Normal模型與Mixture模型的預測誤差之間具有顯著性差異。由表6可知在各個交易日下的DM的絕對值都大于1.960，且統計量均在5%的水平下顯著，說明Normal模型與Mixture模型在對中國50ETF期權價格預測上具有顯著性的差異。

表6 模型預測效果Table 6 Forecasting Performance of the Models

注：**為在5%水平下顯著，黑體數據為在某一預測效果衡量標準下Nomral模型與Mixture模型中的較小值，如果在同一交易日下某一預測效果衡量標準數值相等，則表示Nomral模型與Mixture模型在該預測效果衡量標準下表現一致。

由表6可知，2015年2月10日Normal模型與Mixture模型在MAE、RMSE、HMSE和QLIKE預測效果衡量標準下數值相等，即模型的預測效果表現一致；而在HMAE、R2LOG預測效果衡量標準下Mixture模型比Normal模型數值較小，即Mixture模型比Normal模型對期權的預測效果更好。同理，2015年2月11日和17日Normal模型與Mixture模型在MAE和RMSE預測效果衡量標準下表現一致，而在HMAE、HMSE、R2LOG和QLIKE預測效果衡量標準下Mixture模型優于Normal模型；2015年2月26日和27日Normal模型與Mixture模型在MAE、RMSE、HMSE、R2LOG和QLIKE預測效果衡量標準下表現一致，僅在HMAE預測效果衡量下Normal模型優于Mixture模型。通過整體計數在5個交易日下Normal模型與Mixture模型出現較優預測表現的次數(即黑體數據的個數)可以發現，Mixture模型在對期權價格的預測表現上整體優于Normal模型。

6 結論

本研究采用ROSENBERG et al.[36-37]的條件波動率進行時變波動率修正，運用LYE et al.[38]的靈活參數分布重構具有時變波動性特征的B-S模型并演示了其風險中性概率分布形狀，引入MELICK et al.[39]的混合對數正態分布捕捉標的資產收益率非正態分布特征，通過對中國50ETF期權實證比較了Mixture模型和Normal模型的參數顯著性、定價偏差和預測效果，得到以下研究結論。

①通過對中國50ETF期權的標的資產價格變化的動力學特征深入考察，發現其高頻收益呈現較為明顯有偏和尖峰厚尾分布；②從Normal模型和Mixture模型的極大似然參數估計結果也可以發現，刻畫中國50ETF期權標的資產時變波動性特征的參數β2、β1,2和β2,2顯著，充分說明中國50ETF期權標的資產具有顯著的時變波動性特征，進而證實基于經典B-S模型理論基礎進行SSP形式時變波動率修正后的期權定價模型能夠顯著改善期權的定價精度；③在中國推出真正意義的期權產品的背景下，本研究提出的具有時變波動性特征的B-S模型和具有時變波動性特征的混合對數正態模型都能深入和全面地描繪標的資產收益的波動和分布；④綜合考慮模型對標的資產價格變化動力學的刻畫效果以及對中國50ETF期權在樣本內的定價偏差和在樣本外的預測誤差后，發現具有時變波動性特征的混合對數正態模型比具有時變波動性特征的B-S模型具有更高的定價精確性，即基于時變波動率與混合對數正態分布修正后的B-S模型是一個相對更優的期權定價模型選擇。

本研究結果為期權定價提供了更好的方法選擇，也豐富了期權定價的實證結果，進而為投資者設計更為合理的投資策略以及為金融監管當局提供更加準確的決策信息支持意義重大。當然，本研究還存在一些不足，對于標的資產收益率的其他分布、模型的Delta對沖、波動率偏離的修正需要進一步研究，這也是下一步研究的重點。

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OptionPricingofMixtureofLognormalDistributionswithTime-varyingVolatilityin50ETFOption

WANG Peng，YANG Xinglin

Institute of Chinese Financial Studies, Southwestern University of Finance and Economics, Chengdu 611130, China

The classic Black-Scholes model has experienced the development process from the constant volatility to time-varying volatility and from the normal distribution to non-normal distribution.

This paper extends prior studies on option pricing models with time-varying volatility and mixture of lognormal distributions. Two frameworks have been proposed to correct misspecification of Black-Scholes model. The first category involves relaxing the constant volatility assumption with sigma shape polynomial (SSP), in which the specification shows that conditional volatility is stochastic, as it is a function of future return over the life of the option. The second category involves relaxing the normality assumption using mixture of lognormal distributions, which can capture departures from normal returns with two subordinate lognormal distributions. Furthermore, we rebuild the Black-Scholes model based on the generalized Student t-distribution and study the risk neutral probability distribution, which is changed along with the alternative volatility parameterizations, assuming normality in stock returns. The empirical application is based on 50ETF call options′ contracts traded on the selected days in the month of February 2015, a total sample of over 10000 observations. Each record in the data set comprises bid-ask quote, the synchronously recorded spot price of 50ETF, the time at which the quote was recorded, and the strike price. In addition, a range of performance criteria are used to evaluate the model. The first consists of conducting standard tests of significance on the parameter estimates. The second concentrates on comparing the relative size of mispricing errors of each model. The third focuses on comparing the relative size of forecasting errors of each model.

Finally, the empirical results show that there are some significant characteristics of leverage effect, clustering, and long memory as well as conditional skewness and fat-tail in the high frequency yield of underlying assets of the 50ETF option contracts. Meanwhile, the modified classic Black-Scholes model with time-varying volatility can significantly improve the pricing accuracy of 50ETF option contracts in China. Furthermore, in considering the model of the underlying asset price changes in the dynamics of depict and the pricing accuracy on the option contract, the option pricing model with the characteristics of time-varying volatility and mixture of lognormal distributions is a relatively more reasonable option pricing model selection, compared with that of correcting the volatility skew associated with the Black-Scholes model.

This paper not only provides a more accurate option pricing method for investors and regulators, but also enriches the empirical research conclusions about the typical statistical characteristics of 50ETF option contracts in China.

mixture of lognormal distribution；time-varying volatility；Black-Scholes model；option pricing；50ETF

Date:February 29th, 2016

DateJune 3rd, 2016

FundedProject:Supported by the National Natural Science Foundation of China(71473200) and the Humanities and Social Science Research Project of China(15YJA790057)

Biography:WANG Peng, doctor in management, is an associate professor in the Institute of Chinese Financial Studies at Southwestern University of Finance and Economics. His research interests include financial risk management and financial econometrics. His representative paper titled “Dilemma of classical financial theory and the rising of econophysics” was published in theJournalofManagementSciencesinChina(Issue 9, 2014). E-mail：wangpengcd@126.com

YANG Xinglin is a master degree candidate in the Institute of Chinese Financial Studies at Southwestern University of Finance and Economics. His research interest focuses on derivative pricing. E-mail：xinglinyang@2015.swufe.edu.cn

F830.9

A

10.3969/j.issn.1672-0334.2016.04.013

1672-0334(2016)04-0149-12

2016-02-29修返日期2016-06-03

國家自然科學基金(71473200)；教育部人文社會科學研究規劃基金(15YJA790057)

王鵬，管理學博士，西南財經大學中國金融研究中心副教授，研究方向為金融風險管理和金融計量經濟學等，代表性學術成果為“經典金融理論的困境與金融物理學研究的興起”，發表在2014年第9期《管理科學學報》，E-mail：wangpengcd@126.com

楊興林，西南財經大學中國金融研究中心碩士研究生，研究方向為衍生品定價等，E-mail：xinglinyang@2015.swufe.edu.cn

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