從簡單開始，逐步抽象概括
——《表面涂色的正方體》教學實錄

翟運勝（特級教師）

【教學內容】

蘇教版六年級上冊第26～27頁。

【教學過程】

一、情境引入，誘發問題

師：媽媽做了一塊正方體形狀的面包，把面包的表面涂滿果醬，然后把這塊面包棱長三等分，這樣這塊面包被分成了多少份呢？

生：3×3×3=27（份）。

師：大寶非常喜歡吃果醬，你認為它會選擇哪一塊？為什么呢？

生：大寶會選頂點處的那一塊。因為這一塊上有三面是涂有果醬的。

師：二寶比較喜歡吃果醬，那么他會選擇哪一塊呢？

生：棱上的，因為棱上的小正方體面包兩面沾有果醬。

師：三寶只要沾一點果醬的面包就可以了，他會選擇哪一塊呢？

生：三寶會選擇中間的那塊，因為這樣的一塊只有一面沾有果醬。

師：如果我們把這塊面包當作正方體來思考，這就是我們今天要學的“表面涂色的正方體”，站在數學的角度，你想提出什么樣的數學問題呢？

生：如果是表面涂色的正方體，像這樣，棱被3等分后，三面涂色、兩面涂色、一面涂色的小正方體各有多少個呢？

二、從簡單開始，逐步歸納規律

1.探索棱3等分的正方體中各種涂色小正方體的個數。

師：誰來說一說三面涂色有幾個？你是怎樣數的呢？

生：8個，按頂點數的。

師：你發現這8個三面涂色的小正方體有什么相同的地方嗎？

生：這8個三面涂色的小正方體都在頂點處。

師：為什么三面涂色的都在頂點處呢？

師：頂點是正方體三條棱相交的點，每兩條棱呢？

生：每兩條棱組成了一個面，所以三面涂色的都在頂點處。

師：誰來說一說兩面涂色的正方體有多少個？說一說你是怎樣數的呢？

生：一條棱上有1個兩面涂色的，一共有12條棱，所以就是12個。

師：為什么兩面涂色都在棱上呢?

生：因為兩個面相交成了棱。

師：一面涂色的小正方體有多少個呢？

生：一面涂色的小正方體在每個面的正中間。一共有6個面。所以有6個一面涂色的。

2.探索棱4等分、5等分、6等分的正方體中各種涂色小正方體的個數。

師：如果棱4等分，那么各種涂色的小正方體又各有多少個呢？

（根據學生的回答相機出示下圖）

師：如果現在棱5等分,三面涂色的小正方體是多少個，兩面涂色的呢？一面涂色的呢？（示意圖略）

師：如果把棱6等分，三面涂色、兩面涂色、一面涂色的小正方體各有多少呢？（示意圖略）

（根據學生回答填寫下表）

棱3等分 棱4等分 棱5等分 棱6等分棱平均分的份數 3 4 5 6小正方體的個數 27 64 125 216 3面涂色的個數 8 8 8 8 2 面涂色的個數 1×12=12 2×12=24 3×12=36 4×12=48 1 面涂色的個數 1×16=16 4×6=24 9×6=54 16×6=96

三、比較歸納，概括規律

師：對照這些數據和我們思考的過程，你有什么想法？

三面涂色兩面涂色一面涂色棱2等分8 0×12=0 0×6=0棱3等分 棱4等分 棱5等分 棱6等分8 8 8 8 1×12=12 2×12=24 3×12=36 4×12=48 1×6=6 4×6=24 9×6=54 16×6=96

師：讓我們來觀察三面涂色的情況，如果棱被n等分，三面涂色有多少個呢？

生：三面涂色有8個。

師：讓我們觀察兩面涂色的情況，如果棱被n等分，兩面涂色是多少個呢？你能用一個式子表示出來嗎？

生：（n-2）×12。

師：為什么可以這樣表示呢？

出示課件，引導學生觀察思考下面兩個問題：

（1）每條棱有（ ）個2面涂色的小正方體。

（2）12條棱有（ ）個2面涂色的小正方體。

師：讓我們來觀察一面涂色的情況，如果棱被n等分，一面涂色有多少個呢？你能用一個式子表示出來嗎？

生：大正方體一面上有（n-2）×（n-2）個一面涂色的小正方體，6個面上就有 6×（n-2）×（n-2）。

師：為什么可以這樣表示呢？

出示課件，引導學生觀察思考下面兩個問題：（1）每個面有（ ）個1面涂色的小正方體。（2）6個面有（ ）個1面涂色的小正方體。

教師組織學生總結：

每條棱等分數 三面涂色數 兩面涂色數 一面涂色數n 8 （n-2）×12 6（n-2）(n-2）

師：當n=20時,三面涂色的小正方體有多少個，兩面涂色的小正方體有多少個，一面涂色的小正方體有多少個呢？

生：三面涂色的小正方體有8個，兩面涂色的小正方體有216個，一面涂色的小正方體有1944個。

四、運用規律，拓展規律

師：我們知道了棱20等分后，三面、兩面、一面涂色的小正方體各有多少個，那么沒有涂色的小正方體有多少個呢？

生：20×20×20=8000（個），8000-8-216-1944＝5832個）。

師：沒有涂色的小正方體有多少個，如果這樣去求的話，是不是很麻煩，那么我們能不能也總結出相應的規律呢？回憶剛才的過程，我們是怎樣找到不同涂色小正體的個數與大正方體棱的等分數之間關系的呢？

生：先從棱3等分開始，再到4等分、5等分，看沒有涂色的小正方體的個數與棱的等分數有什么關系。

師：從簡單開始，找出規律，找到了關系，就可以通過計算來解決了。

師：讓我們剖開正方體的內部，觀察這些沒有涂色的小正方體個數，你會發現什么呢？

師：正方體內部表面沒有涂色的小正方體個數怎樣被數出來呢？如果棱長等分成n等分呢？

棱平均分的份數 3 4 5 n沒有涂色的個數 13 23 33 （n-2）3

師：這個規律對不對呢？讓我們來驗證一下。當正方體的棱被20等分，我們已經求出表面沒有涂色的正方體有5832個，那么等于多少呢？大家計算一下。

生：真的等于5832個。

師：這說明我們發現的這個規律是正確的。