橢球顆粒隨機緊密堆積實驗研究

趙述敏,胡志剛

(西安交通大學理學院,710049,西安)

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橢球顆粒隨機緊密堆積實驗研究

趙述敏,胡志剛

(西安交通大學理學院,710049,西安)

針對隨機堆積問題在數理領域和實際生產中意義重大且目前尚無一般性的理論模型的問題,采用一種基于高分辨率工業X射線斷層掃描(CT)無損檢測的實驗方法較精確地測定了橢球顆粒隨機緊密堆積體系的3個重要參數,即堆積分數、取向序和配位數分布,結果表明,橢球縱橫比為0.5左右時,堆積分數達到的最大值為74%,與現有的模擬結果一致,而在一定縱橫比范圍內,配位數的分布呈偏態分布,取向角與取向軸呈現出高對稱性,但離散性較強,該結果與球體隨機緊密堆積的差異較大。在不考慮摩擦剛體所需平均配位數為剛體自由度的2倍、有限堆積物的配位數分布滿足古典的幾何分布的2個假設下,提出了一種橢球的堆積理論,其能解釋堆積參數的變化趨勢。結論和實驗手段對探討非球體填充理論和計算堆積體孔隙率有一定的參考價值。

隨機緊密堆積;堆積分數;配位數;取向序

顆粒物質的堆積問題已成為當前工程、材料等領域研究的熱點之一,很多科學及工程都與堆積密切相關。數學上有關于堆積的著名Kepler猜想[1]和Hilbert第18問題已逐步得到解決,但距離堆積一般性理論還有一段距離;物理中液體、晶體和玻璃的微觀結構[2]相態的轉變會遇到堆積體系的處理問題。所以,堆積問題非常普遍,其中緊密堆積研究很有意義。有學者運用緊密堆積理論從統計角度研究了森林樹木直徑的分布[3],工程上利用顆粒緊密堆積對流可以顯著提高換熱效率[4]等。隨機堆積體系的特征尚難以用解析的形式給出[5],利用相圖分析[6]可以給出球體隨機緊密堆積分數的極限,但無法提供配位數和取向序分布等其他重要的堆積參數,因此實驗和計算機模擬成為研究隨機緊密堆積體系的主要手段。Bernal實驗研究了球體隨機緊密堆積體系的特征,得到球體隨機緊密堆積分數約為64%的結果[7]。球體的堆積算法相對容易實現[8],一些學者用不同的數值方法對非球體(如橢球)隨機緊密堆積進行了研究。Donev等運用經過推廣的Lubachevsky-Stillinger球堆積算法、通過分子動力學模擬的方法給出了橢球堆積分數Φ和配位數Z隨縱橫比α變化的曲線[9-10],李水鄉等通過組合球模型、結合松弛算法給出了橢球隨機緊密堆積的堆積分數[11],兩者的趨勢基本一致。近年來隨機緊密填充實驗均以橢球堆積為主[12-14]。Donev以M&M豆為樣本,采用噴涂油漆干燥后對接觸油漆痕跡計數的方法得到了配位數,但油漆會改變表面摩擦系數,對堆積體系產生較大的影響,且容易存在干燥不完全等問題;Schaller等通過X斷層攝影和圖像處理技術分析了緊密堆積橢球體系,但只局限于配位數的分析[15]。

為了克服上述實驗的不足,同時盡量保留其中合理的部分,在合理選用橢球樣本的情況下采用了工業X射線斷層掃描(CT)無損檢測方法。該方法對堆積體系基本無附加影響,且能較為準確地測定出5種縱橫比的橢球隨機緊密堆積體系的3個主要參數:堆積分數、取向序和配位數,實驗結果與現有的仿真結果[9]基本一致。為了解釋橢球隨機緊密堆積的實驗結果,在假定平均配位數和自由度的關系及配位數滿足幾何分布的情況下,導出了配位數分布和隨機緊密堆積分數的表達式,以解釋堆積參數的變化趨勢。

1 CT無損檢測和樣本選擇

工業CT成像是一種無損檢測方法,其原理主要是不同密度的物質對X射線的線性吸收系數有所不同[16],根據透過樣本的X射線的強度、結合CT重構算法,可以對掃描樣本進行組織成像。本文使用了西安交通大學機械結構強度與振動國家重點實驗室的工業CT設備,正常工作X射線管電壓為500 kV,空間分辨率為20 μm。

實驗中選取了5種橢球狀有機玻璃珠子樣本,如圖1所示。為了簡便起見,將這幾種橢球樣本視為旋轉橢球,相對于一般的橢球,旋轉橢球自由度較少,可以用縱橫比(橢球縱軸b與橫軸a之比)α唯一地表征。對于扁橢球,其特征軸為短半軸,α<1;對于長橢球,其特征軸為長半軸,α>1。橢球材料為有機玻璃,密度相對金屬較小,且有足夠的剛度,實驗擠壓后變形不超過2 μm,加工性好,沿特征軸鉆孔方便,取向角的測量簡單、可靠。有機玻璃珠子接近理想橢球,其偏差r/Δr≤0.01,樣本的具體參數見表1。

2 實驗方案

采取在一定高度下自然下落的方式實現顆粒在容器內的隨機分布,同時完成一層堆積后適當搖晃容器,給顆粒施加一定壓力,以保證緊密堆積。對堆積完成的堆積系統進行CT成像分析,可以得到堆積體系的3個重要參數(堆積分數、取向序和配位數)與縱橫比的關系。

圖1 5種縱橫比的橢球樣本

樣本編號樣本數2a/mm2b/mm2r/mmα12811750±002871±04705021911556±0251290±01108332031198±0391041741080±0151080±0292051481210±0133964±00733

2.1 隨機緊密堆積分數

實驗中同一縱橫比的橢球顆粒之間的偏差在5%以內,這樣可以認為樣本中的橢球顆粒是全同的。用精確的排水方法驗證得出,在全同下計算得到的橢球樣本總體積與實際顆粒總體積相差1%左右,且計算簡便,適用性更廣,因此本文采用該方法計算。

堆積分數也稱為致密度,堆積系統的堆積分數Φ定義為堆積顆粒總體積Vg占堆積容器體積Vc的比例,即

Φ=Vg/Vc

(1)

其中堆積顆粒總體積可以用橢球顆粒平均體積乘以總數來獲得,堆積容器體積可以通過測量容器幾何尺寸獲得。

2.2 配位數

圖2為實驗中選取單元體和利用接觸圖樣確定橢球顆粒配位數的過程。堆積體經掃描后重構出三維圖像,其中單元體選自合適大小的包含選定的橢球顆粒。掃描平面從單元體底部向頂部移動,一旦存在接觸點,則會在二維斷面圖中顯示出來。從圖2中的二維斷面中可以清晰看出,橢球顆粒接觸點有6個,表明這個橢球顆粒的配位數為6。

圖2 單元體的選取及配位數的計數

2.3 取向序

采用高分子及液晶中常用的取向序定義,利用cosθ的二階Legendre多項式作為取向序S的描述[17],則有

(2)

式中:θ為取向角,即橢球特征軸與重力方向的夾角在豎直平面的投影。當橢球顆粒為完全無規取向時S=0;當橢球顆粒取向完全一致時S=1。S可作為特征軸取向離散性的一個度量,S接近0,離散性越強,取向越無序;S接近1,離散性越弱,取向越有序。

圖3為取向角的測量示意。沿特征軸方向的鉆孔在二維斷面成像中會出現鉆孔的投影,借助投影的位置及形狀可以有效地確定特征軸的方向,以盡量消除人為判斷引入的誤差。圖4為實驗步驟框圖。

圖3 取向角的測量示意

圖4 實驗步驟框圖

3 實驗結果

通過實驗獲得了橢球模型隨機緊密堆積體系的3個參數:堆積分數、取向序和配位數,同時研究形狀因子(縱橫比)對這3個參數的影響,相關實驗數據見表2。

表2 堆積體參數實驗結果

3.1 隨機緊密堆積分數

圖5為5種縱橫比下橢球的隨機緊密堆積分數的實驗結果。圖中誤差棒代表了不確定度的大小,由誤差傳遞公式計算。圖5實驗表明:堆積分數在縱橫比為0.5和2.0附近出現峰值,當縱橫比進一步提高會有下降的趨勢;球體的隨機緊密堆積分數在0.60左右,而橢球的最高可達0.745。

圖5 5種縱橫比下橢球隨機緊密堆積分數的實驗結果

3.2 配位數分布

圖6為橢球配位數概率分布的實驗結果,縱橫比為1時是球體。圖6實驗表明,球體配位數呈正態分布,擬合參數中方差為0.87,均值為6.5,與仿真結果[10]一致。

圖6 不同縱橫比下配位數概率分布的實驗結果

由圖6還可以看出:縱橫比變化(不為1)時,配位數8、9、10出現的概率(約為85%)最大,縱橫比為1時,配位數6、7出現的概率最大;橢球的配位數基本呈偏態分布,而球體配位數呈正態分布。

3.3 取向角分布

圖7為不同縱橫比下取向角的分布,0°基準軸代表重力方向。圖7實驗表明:取向角關于參考軸成近似對稱分布,但離散性較強;縱橫比偏離1越大,取向角在一定區間集中的趨勢越明顯。

圖7 不同縱橫比下取向角的分布

4 橢球堆積理論

4.1 基本假定

由平衡理論知,若物體只有一個平動自由度,則平衡需要有方向相反、大小相同的兩個力;若物體有兩個平動自由度,或一個平動自由度、一個轉動自由度,則平衡需要兩對力,或一對力加一對力矩。依次類推,假設剛體的自由度為d,在不考慮摩擦的情況下,平衡所需的約束數應為2d,即平均配位數為2d。由于堆積體數有限,且堆積顆粒之間存在關聯,從簡化的角度看,假設配位數分布滿足幾何分布,當顆粒為無窮時,堆積收斂為正態分布。

綜上所述橢球堆積理論[8]的兩個基本假定是:①理想情況(不考慮摩擦)下,約束自由度為d的剛體所需平均配位數為2d;②有限數堆積配位數分布概率滿足幾何分布。

4.2 橢球堆積理論

圖8為橢球堆積理論計算結果。考慮一個未充滿橢球的容器,若此時繼續增加一個橢球,由假定①易得最概然配位數約為d,由圖8b知,該橢球的中心可能落在縱向矩形著色區域,概率為λ,但落在橫向矩形著色區域更穩定,假設橫向矩形區域的配位數為d-1,則平均配位數滿足

(3)

其中λ滿足:縱橫比α>1,λ=3/2-(1/2)α;α<1,λ=1/2+(1/2)α2。

由假定②經過推導可得配位數Z的分布概率

(4)

其中p=(d+λ-1)/2d,同時給出隨機堆積分數的表達式,并將隨機堆積分數看作配位數為Z的球體緊密堆積分數的加權,則有

(5)

值得指出的是,理論值只適用于縱橫比為1附近的有限區域,而本文利用該理論解釋了實驗參數的變化趨勢。

4.3 趨勢解釋

(a)不同縱橫比下的配位數分布

(b)橢球顆粒堆積平衡區域

(c)不同縱橫比下的平均配位數分布

(d)不同縱橫比下的隨機緊密堆積分數分布

(e)平均配位數實驗和理論對比

(f)隨機緊密堆積分數實驗和理論對比圖8 橢球堆積理論計算結果

圖8a理論配位數分布與圖6的實驗配位數分布對比可知,理論配位數分布更為均勻,但是配位數為8、9、10的概率仍最大,且與實驗結果一致。考慮到橢球堆積理論在縱橫比為1附近會失效,該區域的理論值應由球體堆積理論計算而得。經過修正后,平均配位數和隨機緊密堆積分數的實驗和理論的對比見圖8e和圖8f。可以看出,雖然變化趨勢上呈現較好的一致性,但誤差卻高達20%,尤其體現在平均配位數上。其原因是:實際堆積容器的體積和顆粒數有限,所以存在邊界效應,即邊界上堆積分數顯著小于內部堆積分數;實際堆積顆粒之間存在摩擦,由此增加了約束;堆積體系沒有完全達到隨機緊密堆積狀態。

5 結 論

本文實驗研究了具有大量隨機橢球顆粒模型的緊密堆積系統,選取了5種不同形狀因子(縱橫比)的堆積樣本,包括扁橢球、長橢球、球體。利用工業CT進行了無損堆積成像,得到了取向角和配位數的分布,計算了堆積體系的隨機緊密堆積分數、取向序和平均配位數,通過實驗測量給出了這些特征量隨縱橫比的變化。實驗結果表明:當橢球縱橫比為0.5左右時,隨機緊密堆積分數最大值為0.745,遠大于球體所能達到的0.6;對于橢球模型,配位數為8、9、10出現的概率最大,而球體模型的最大概然平均配位數為6.5左右;橢球模型取向角關于取向軸呈對稱分布,取向角的離散性與形狀因子(縱橫比)有關。

需要指出的是,橢球模型隨機緊密堆積特性與球體模型有較大的差異,以往研究中把橢球轉換為當量球體,借助球體研究橢球體的做法缺乏合理性。以上結果對于進一步深入研究各種非球形顆粒堆積物的填充問題具有參考價值。

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(編輯 苗凌)

Experiments for Randomly Close Packing of Ellipsoids

ZHAO Shumin,HU Zhigang

(School of Science, Xi’an Jiaotong University, Xi’an 710049, China)

Random packing has important significance in both mathematical field and practical application. For a randomly close packing of ellipsoidal particle system, three important parameters, namely stacking fraction, orientational order and coordination number distribution, are accurately measured by an experimental method based on high resolution industrial CT nondestructive testing. The experimental results show that: When the aspect ratio of ellipsoid is 0.5 or 2.0, packing fraction reaches the maximum; The maximum packing fraction is 0.745 ±0.037; Within the scope of the aspect ratio of the test sample, the distribution of coordination number obeys skewed distribution; The orientation angle has high symmetry on the orientation axis. These results are quite different from those of the sphere randomly close packing. An ellipsoid packing theory is proposed under two assumptions to explain the variation trend of the packing parameters. The theoretical simulation results coincide with the experimental ones. The conclusion and the experimental means are of some reference value for researching theory of non-sphere filling and calculation of bulk porosity.

random close packing; packing fraction; coordination number; orientational order

2016-03-07。 作者簡介:趙述敏(1977—),女,講師。 基金項目:國家自然科學基金資助項目(11374237);中央高校基本科研業務費專項資金資助項目(xjj2016060)。

時間:2016-06-14

10.7652/xjtuxb201609022

O4

A

0253-987X(2016)09-0140-06

網絡出版地址:http:∥www.cnki.net/kcms/detail/61.1069.T.20160614.1723.016.html