桁架結構拓撲及截面尺寸優化設計方法

周奇才,吳青龍,熊肖磊,王璐

(同濟大學機械與能源工程學院,201804,上海)

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桁架結構拓撲及截面尺寸優化設計方法

周奇才,吳青龍,熊肖磊,王璐

(同濟大學機械與能源工程學院,201804,上海)

為克服傳統基結構設計方法對最優解的束縛,實現桁架結構的拓撲布局及尺寸優化,提出了將連續體與離散桿系相結合的桁架結構優化設計方法。從連續體出發,基于SKO連續體拓撲優化方法得到了最優拓撲布局;以二值圖像細化算法為基礎,提出了基于有限單元8鄰域網格模型的骨架提取算法,通過剝離冗余單元,得到了連續體拓撲優化結果的中心傳力骨架;以單元主應力為判據,精確找到骨架中的關鍵點,并連接關鍵點形成了初始桁架結構;基于拉格朗日乘數法和Kuhn-Tucker條件,以初始桁架中桿件的內外半徑為設計變量,結構體積為約束條件,結構柔度為目標函數,建立了桁架結構桿件尺寸優化的數學模型,并推導出其優化迭代準則。最后,以一懸臂結構為例對該優化方法的應用進行了說明,并使用一經典算例與其他文獻中的方法進行了對比,結果表明:該優化方法得到的桁架結構具有優化的拓撲構型和力學特性,桿件布局、尺寸合理,應力均勻。

桁架;連續體;拓撲優化;骨架提取;尺寸優化

桁架結構因具有造價低、重量輕、施工簡便的特點而在工程領域中得到了廣泛應用。桁架結構的優化設計包擴結構的拓撲和布局優化及桿件的尺寸優化。在桁架拓撲和布局優化方面,Michell于1904年提出的Michell桁架理論以及Prager于1977年建立的經典布局理論為其奠定了理論基礎,而Dorn等提出的基結構法則標志著桁架拓撲優化工作的真正開始[1-2]。在隨后的若干年中,幾乎全部研究都是基于基結構展開的。這些研究主要包括基于尺寸優化的拓撲優化[3-4],基于獨立變量的拓撲優化,以及集拓撲、形狀和尺寸于一體的布局優化[5]。基于基結構進行拓撲優化,所得的優化解本質上是給定基結構中的一個子集,因此基結構的采用其實一開始就限制了優化解的范圍,并且真正的最優解很可能沒有包含在該范圍內。為消除基結構的限制,一些非基結構法的桁架拓撲、布局優化方法相繼出現。例如:Giger等利用數學圖論對桁架結構進行參數化建模,結合遺傳算法實現擺脫了基結構的桁架拓撲優化[6];Mroz等借鑒生物生長規則,由基礎結構出發,不斷添加桿件生成了最優拓撲結構[7];Azid等采用遺傳算法的思想,在給定載荷和約束作用點的情況下,突破基結構束縛實現了桁架的智能布局優化設計[8]。在桿件尺寸優化方面,廣泛使用的是滿應力法,采用滿應力準則調整截面尺寸,使每根桿件充分發揮其承載性能,達到滿應力狀態[9-10]。

本文提出一種與上述方法均不相同的桁架結構優化設計方法:將連續體拓撲優化和離散體拓撲優化相結合,避免了傳統桁架優化中基結構對優化結果的限制,可最大限度地尋求結構的最優拓撲分布;將桁架結構拓撲優化和尺寸優化分離開來,使用連續體優化尋求結構的最優拓撲,使用骨架提取算法抽離骨架得到桁架布局,最后建立桁架桿件尺寸優化的數學模型,并使用拉格朗日乘數法和Kuhn-Tucker條件推導出桿件截面尺寸的優化迭代準則。優化方法的流程如圖1所示。

圖1 桁架拓撲優化流程

1 連續體拓撲優化

連續體拓撲優化采用SKO(soft kill option)方法,這是一種基于生物自適應生長規律的啟發式連續體結構拓撲優化方法,最早是由德國的Karlsruhe研究中心提出的[11-12]。

SKO算法流程圖如圖2所示,其核心迭代關系式為

(1)

圖2 SKO算法流程圖

SKO算法通過每次有限元分析中單元的應力情況不斷地更新單元溫度,進而改變結構中單元的材料信息,最終刪除軟化的單元,獲得優化的拓撲結構。

2 骨架提取

連續體拓撲優化后的結果包含較多的冗余單元信息,為將其轉換為桁架結構,需去除冗余的單元信息,找到中心骨架。目前,在結構優化領域尚未見到對連續體拓撲優化結果進行簡化進而提取中心骨架的相關文獻。本文借鑒圖像處理中的二值圖像細化算法[13],結合有限元模型中的網格特性,提出一種基于有限單元8鄰域網格模型的骨架提取算法。該算法可直接應用于各種低階和具有中間節點的高階四邊形單元,但要求有限元模型具有規則的網格劃分,并且在骨架提取算法中使用的均為單元頂點節點,中間節點不參與骨架提取運算。該算法不適用于使用三角形單元或自由網格劃分形成的不規則有限元模型。

連續體拓撲優化后的結果中包含優化單元(優化后保留下來的單元)和背景單元(優化后刪除的單元)。在有限元模型中,每一個優化單元周圍都可視為有8個單元與之相鄰接(邊界上的單元可假設背景單元與之相鄰接),稱為該單元的8鄰域。通過對每個單元的8鄰域單元的判斷,可將冗余優化單元轉化為背景單元,最終剩下的單元即為骨架單元。單元模型和單元的8鄰域如圖3所示。

圖3 單元模型和單元的8鄰域

2.1 骨架提取算法流程

圖4 骨架提取算法流程圖

2.2 8鄰域單元查找模型

要判斷當前單元是否為骨架單元,需要先找出當前單元對應位置的8鄰域單元及其對應單元的信息。如圖5所示,假設當前單元ec的8鄰域單元按圖示的ec1～ec8的順序排列,則需要依次判斷出ec1～ec8所在的8個位置的單元分別是背景單元還是優化單元。

圖5 8鄰域單元查找模型

為查找出當前單元的8鄰域單元,首先對有限元網格模型約定如下基本定義。

定義1 網格(G)、單元(E)、線(L)的表達形式為

G(E,L,N),E(L,N),L(N)

(2)

分別表示網格由單元、線、節點組成,單元由線、節點組成,線由節點組成。

定義2 E、L、N表示網格中所有單元、線、節點的集合

(3)

定義3 若構成四節點平面單元ex的節點集為{nx1,nx2,nx3,nx4},則ex可表示為

ex=(nx1,nx2,nx3,nx4)

(4)

定義4 同時含有節點ni,nj,…的單元的集合表示為

Ex(ni,nj,…)

(5)

定義5 單元ec的8鄰域:單元ec的上下左右4個相鄰單元及對角線上的4個相鄰單元組成的集合即為單元ec的8鄰域單元

Eec={ec1,ec2,…,ec8}

(6)

在上述定義的基礎上,當前單元ec的8鄰域單元查找方法如下。

(1)首先找到當前單元ec的節點集{nx1,nx2,nx3,nx4}。

(2)通過算法式(7)定位ec1、ec3、ec5、ec7所在位置的單元

(7)

式中:Ec={ec},表示當前單元;∩和為集合的交、差運算符。

(3)通過算法式(8)定位ec2、ec4、ec6、ec8所在位置的單元

(8)

至此,可獲得當前單元ec的8鄰域單元Eec={ec1,ec2,…,ec8}。找到對應的8鄰域單元后,提取單元信息并存儲,為單元判斷做準備。

2.3 骨架單元判斷算法

若判斷某單元為非骨架單元,則將其抹去成為背景單元。判斷算法如下。

首先,提出以下定義。

定義6 若單元ex為優化單元,則有|ex|=1;若ex為背景單元,則有|ex|=0。

定義7 A(ec)為當前單元ec的8-鄰域單元中優化單元的數目

(9)

定義8 定義B(ec)為當前單元ec的8鄰域單元按ec1-ec2-…-ec8-ec1的順序轉一周從背景單元變為優化單元的次數

||ec1|-|ec8||)

(10)

在上述定義6～定義8的基礎上,若當前單元ec的8鄰域單元滿足條件式(11)或式(12),則認為ec為非骨架單元

(11)

(12)

式中:條件2≤A(ec)≤6用于保證刪除的單元為邊界單元,同時保證骨架的端點不會被刪除;條件B(ec)=1保證刪除單元不會破壞骨架的連通性;式(11)的后2個條件保證刪除的單元處于模型的右側邊界、下側邊界和左上角邊界;式(12)的后2個條件保證刪除的單元處于模型的左側邊界、上側邊界和右下角邊界。在上述條件約束下,即可保證從邊緣向內部逐步刪除非骨架單元,得到最終的骨架。

3 形成桁架結構

得到連續體優化拓撲結構的骨架后,即找到了優化拓撲的中心路徑。此時,只要找到骨架中的關鍵節點,并依據連續體優化模型的拓撲關系連接關鍵節點,就可形成具有優化拓撲和布局的桁架結構。

由于連續體優化拓撲模型的復雜性和骨架提取算法的缺陷,得到的骨架可能會有如下問題:

(1)骨架不一定是標準的直線;

(2)在拓撲分支的交界處骨架將會呈現復雜性和不規則性;

(3)骨架可能不經過約束和載荷作用點。

針對以上問題,骨架關鍵節點的提取需綜合考慮約束和載荷作用點、骨架、優化的連續體拓撲結構及其應力分布情況來進行確定。關鍵點確定的基本原則是:盡量使得到的桁架結構在關鍵點的受力狀態與連續體中該點的應力狀態一致,即桿件的布局方向與單元主應力方向保持一致。具體方法如下:

(1)在提取骨架時,人為設定所有載荷和約束作用點為骨架點,并依據骨架提取結果,選擇與骨架直接相連的約束作用點作為桁架的約束關鍵節點;

(2)為保證形成的桁架結構是直桿相連,將骨架中的拐點作為關鍵節點,連接拐點形成初始桁架,由于拓撲分支交界處骨架的復雜性,交界處將形成復雜的過渡桁架;

(3)桁架結構主要是軸向拉壓受力,而在單元體的主應力方向上,切向應力為0,表現為拉壓狀態,因此需繪制拓撲優化結果的主應力矢量圖,依據單元的主應力方向選擇合適的關鍵點,對第(2)步中得到的初始桁架進行簡化和修正,形成最終的桁架布局。

4 桁架結構尺寸優化算法

初始得到的桁架結構僅具有優化的拓撲構型,要得到最優桁架結構還需對結構中桿件的尺寸進行進一步優化。下面,將以桁架中桿件的截面內徑和外徑為設計變量、體積為約束條件、桁架結構柔度為目標函數[14],建立桁架桿件截面的優化數學模型;基于拉格朗日乘數法和Kuhn-Tucker條件并結合有限元理論,推導出設計變量的優化迭代準則;根據體積約束,使用泰勒展開式推導出拉格朗日乘子的表達式。

4.1 優化數學模型

以桁架中桿件的截面內、外半徑為設計變量,體積為約束條件,桁架結構柔度為目標函數的優化數學模型為

findR=(r1,1,r1,2,r2,1,r2,2,…,ri,j,…,rn,1,rn,2)

s.t.KU=Fi=1,2,…,nj=1,2

rmin≤ri,1

(13)

式中:ri,1、ri,2為桿件i的內、外半徑;R為所有桿件內外半徑組成的矢量;n為桁架中桿件的數量;C為結構柔度;U為結構節點的位移矢量;K為結構的總剛度矩陣;ui為i單元節點的位移矢量;ki為i單元的剛度矩陣;F為結構載荷矢量;V為結構體積;V*為約束體積;rmin、rmax為半徑的下限和上限。

4.2 優化準則推導

對式(13)表示的數學模型采用拉格朗日乘數法,構建如下拉格朗日函數

(14)

式中:λ1、μ1、μ2、μ3、μ4為拉格朗日乘子,其中λ1為矢量;x1、x2、x3、x4為松弛變量。

針對設計變量R取得極值R*時的情況,當ri,1=rmin時,設計變量半徑的下限起約束作用,有μ2>0,μ3=0;當ri,2=rmax時,設計變量半徑的上限起約束作用,有μ4>0,μ3=0,;當rmin

(15)

(16)

將C=UTKU代入式(16),得到

(17)

由剛度矩陣的對稱性可知

(18)

將式(18)代入(17),并考慮λ1為結構平衡約束拉格朗日乘子,因結構平衡始終滿足,故λ1可取任意值,這里取λ1=-2U,式(17)可簡化為

(19)

整理后得

(20)

在有限元理論中,二維桿單元的剛度矩陣為

(21)

單元剛度矩陣ki和單元體積vi對桿單元內、外半徑的偏導數為

(22)

(23)

式(20)可化為

(24)

整理后得

(25)

(26)

式(26)即為通過拉格朗日函數和Kuhn-Tucker條件推導出的桿件截面尺寸優化準則,它反映了單元截面尺寸與應變能在優化過程中應滿足的關系。將fi作為迭代準則,可以得到桿件截面尺寸的迭代公式

(27)

式中:δ為阻尼系數。引入δ可減緩優化進程,保證數值計算的收斂性和穩定性。

4.3 拉格朗日乘子計算

(28)

(29)

假設V(k+1)正好滿足體積約束要求,即V(k+1)=V*,則可以求得

(30)

5 算例說明

5.1 算例1——算法流程示意

5.1.1 問題描述 如圖6所示,在一個1.6 m×1.0 m的區域內設計一桁架結構,區域左側為約束端,右側邊緣中部作用一方向向下、大小為50 kN的力F。

圖6 算例示意圖

5.1.2 優化設計流程 具體優化設計流程如下。

(1)在設計區域上建立連續體有限元模型,依據設計要求施加約束、載荷并進行有限元分析。有限元模型和結構的von Mises應力云圖如圖7所示。

圖7 初始連續體有限元模型及應力云圖

(2)使用SKO算法對連續體模型進行拓撲優化,得到優化的連續體拓撲結構及優化結構的von Mises應力云圖,如圖8所示。

圖8 SKO算法優化后的有限元拓撲及應力云圖

(3)人為設定優化模型中的約束和載荷作用點為骨架點,并使用骨架提取算法提取優化模型的骨架,見圖9a;再選擇與骨架直接相連的約束點(A、B)、載荷點(C)和骨架的拐點作為關鍵點,連接關鍵點形成初始桁架,如圖9b所示。

(a)骨架 (b)初始桁架圖9 骨架及初始桁架

圖10 主應力矢量圖及關鍵點調整示意

繪制拓撲優化結果的主應力矢量圖,如圖10所示。因為桁架結構是軸向受拉壓的桿件,所以可依據單元的主應力圖對初始桁架進行調整和簡化。在本例中,對圖中①、②、③區域的關鍵點布局進行調整。從區域①的主應力矢量圖中可以看出,主應力方向均指向A點,因此可將圖9中的I、J、K點簡化到A點。區域②的簡化需尋找到一點,使得該區域能良好過渡。該點的選取原則為:使該點的主應力方向與桿JL和CM的夾角α、β大致相同,且與桿DN基本垂直。這樣,以該點作為節點形成的桁架在該節點的受力將與連續體優化結果中該點的應力狀態一致,這個點就是圖10中的點E。對于區域③,因結構的對稱性,需要找到第一主應力和第三主應力相等的點,即點D。

連接各新的關鍵點形成調整后的桁架布局,如圖11所示。

圖11 調整后的桁架布局

(4)建立桁架結構的有限元模型,使用上述尺寸優化算法進行桁架桿件的尺寸優化。優化前、后的桁架有限元模型及應力如圖12和圖13所示。在本模型中,分別為桿件編號1～8。

圖12 初始桁架的有限元模型及應力圖

圖13 尺寸優化后桁架的有限元模型及應力圖

5.2 優化分析

對桁架桿件進行優化時所使用的材料及優化參數如下:碳素結構鋼Q235,其彈性模量為206 GPa,泊松比為0.3,體積約束為30%,半徑下限為5 mm,阻尼系數為0.3。桿件初始截面的選取應使結構有足夠的優化余量,故內半徑ri,1取20 mm,外半徑ri,2取30 mm。優化后的半徑取值見表1,由于結構的對稱性,對稱位置的桿件尺寸相同,所以表中僅列出了桿1、3、5、7的尺寸。

表1 桿件優化前后的尺寸

圖14所示為尺寸優化過程中,目標函數(桁架柔度)和約束條件(體積)隨優化迭代次數的變化情況,結構初始體積為9.64×10-3m3,初始柔度為3.8 N·m。隨著優化的進行,體積逐漸收斂于2.89×10-3m3,滿足原先30%的體積約束條件。最終結構柔度收斂于12.2 N·m,驗證了算法的收斂性和穩定性。

圖14 桁架柔度和體積的優化過程

圖15 桁架桿件應力的優化過程

圖15所示為優化過程中桁架桿件的應力變化情況,由于結構的對稱性,對稱位置桿件的應力絕對值相同,故僅選取了桿1、3、5、7繪制其應力變化趨勢圖。由圖15可見,在初始時各桿件中的應力具有較大差異,隨著迭代的進行,各桿件中的應力趨向均勻,最后達到幾乎完全相同,表明算法可使結構的應力趨于均勻,符合結構優化設計的滿應力準則。優化前、后各桿件的具體應力值如表2所示。

表2 桿件優化前后的應力值

優化后的應力為93.65 MPa。若要更加充分地利用材料,可以在優化參數中調整體積約束和半徑的下限。

5.3 算例2——算法驗證

圖16所示為桁架結構優化中的經典算例模型,現以該模型為例進行算法的有效性驗證。在以下2種工況下,求滿足約束的最小質量桁架:工況1,F1=445 kN,F2=0;工況2,F1=0,F2=445 kN。約束條件為各節點的y向位移小于5.08 cm。桿件材料為鋁,彈性模量E=68.97 GPa,密度ρ=2 768 kg/m3,許用應力[σ]=172.4 MPa。截面積取離散值{6.45,19.35,32.26,51.61,67.74,77.42,96.77,109.68,141.94,154.84,167.74,180.64,187.10,200.00,225.81} cm2。

圖16 算例2示意圖

算例中2種工況的處理方法為:在拓撲優化時,為得到滿足2種工況的優化拓撲構型,2種工況同時加載,求得最優拓撲構型;在尺寸優化時,對2種工況分別進行優化,然后取優化結果的并集(即桿件的截面尺寸取2種工況單獨優化結果中的較大值)。相關文獻和本文的優化結果對比如圖17和表3所示,可以看出在相同約束條件下,本文算法得出的桁架質量較參考文獻的明顯減小,且結構應力更均勻,從而驗證了本文算法的有效性。

圖17 不同算法的桁架布局及桿件尺寸優化結果示意圖

參數文[15]文[16]文[5]本文ai/cm2桿11806416774967710968桿2967796771677410968桿396771096851616774桿419351935141946774桿53226193551617742桿6141941096877425161桿7109681419496775161桿8109685161桿910968桿1010968m/kg20113196511998417154u1，max/cm2546320915272312σ1，max/MPa128691500174789588u2，max/cm5077506550755062σ2，max/MPa5738512371885580

ai:桿件截面積;u1,max,u2,max:工況1、2下結構的最大y向位移;σ1,max,σ2,max:工況1、2下結構中的最大應力。

6 結 語

本文提出了一種將連續體與離散桁架結構相結合的桁架優化設計方法。這種方法不同于現有的桁架結構優化設計方法,是利用連續體尋找結構的優化拓撲和布局,使用骨架提取方法獲取優化拓撲路徑并生成桁架結構,再基于拉格朗日乘數法和Kuhn-Tucker條件推導出優化準則對桁架桿件進行優化。該優化方法結合了拓撲優化、圖像處理和優化準則法,能穩定地收斂于約束條件,得到的桁架具有優化的拓撲布局和桿件尺寸,桿件應力均勻,因此有望為桁架結構的優化設計提供一種新的思路。

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(編輯 葛趙青)

Optimal Design of Topology and Section Size of Truss Structures

ZHOU Qicai,WU Qinglong,XIONG Xiaolei,WANG Lu

(School of Mechanical Engineering, Tongji University, Shanghai 201804, China)

To achieve the topology and section size optimization of the truss structures without being restricted by the traditional ground structure method, a new optimization method combining continuum with discrete bars is proposed. Starting from continuum and using SKO topology optimization method, an optimal topological layout is obtained. Then based on the FEM 8-neighbourhood elements and binary image thinning method, a skeleton extraction algorithm is put forward to remove the redundant element of the optimal topology and get its central force flow skeleton. Through principal stress calculation of the elements, the key points of the skeleton are found precisely, and the initial truss structure is obtained by connecting these key points. For the optimization of bar section size, a mathematical model is established using section sizes as the design variables, truss volume as the constraint condition and truss flexibility as the objective function. And based on this model the optimization criteria are derived according to the Lagrange multiplier method and Kuhn-Tucker condition. Finally this truss design method is illustrated and verified by two examples. Results show that the optimal structures achieve excellent layout, appropriate bar section sizes and uniform stress distribution.

truss; continuum; topology optimization; skeleton extraction; section size optimization

2016-02-25。 作者簡介:周奇才(1962—),男,教授,博士生導師。 基金項目:國家自然科學基金資助項目(51375345)。

時間:2016-06-12

10.7652/xjtuxb201609001

TH11

A

0253-987X(2016)09-0001-09

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