變換參考系統(tǒng)一兩種多普勒效應(yīng)

宋輝武

(鄂爾多斯市第一中學(xué) 內(nèi)蒙古 鄂爾多斯 017010)

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變換參考系統(tǒng)一兩種多普勒效應(yīng)

宋輝武

(鄂爾多斯市第一中學(xué) 內(nèi)蒙古 鄂爾多斯 017010)

機(jī)械波多普勒效應(yīng)在高中基礎(chǔ)物理中只要求定性掌握，但是在自主招生及競賽中卻必須要掌握其定量表達(dá)式并能熟練運(yùn)用，在大學(xué)普通物理學(xué)中更是要求掌握電磁波多普勒效應(yīng).嘗試另辟蹊徑，創(chuàng)新地通過變換參考系的方式結(jié)合相對(duì)論效應(yīng)簡單形象地得出多普勒效應(yīng)的一般表達(dá)式，并據(jù)此揭秘多普勒效應(yīng)中蘊(yùn)含的種種玄機(jī).

機(jī)械波 電磁波 多普勒效應(yīng) 橫向 縱向

眾所周知，我們一般習(xí)慣于將多普勒效應(yīng)獨(dú)立地分為機(jī)械波多普勒效應(yīng)和電磁波多普勒效應(yīng)，并且認(rèn)為二者之間只有區(qū)別沒有聯(lián)系，譬如電磁波多普勒效應(yīng)只跟波源和觀察者之間的相對(duì)速度有關(guān)，且電磁波具有橫向多普勒效應(yīng)，而機(jī)械波并不具備這些特點(diǎn).對(duì)于電磁波多普勒效應(yīng),文獻(xiàn)[1]給出了復(fù)雜的證明，而且證明的條件是波源靜止觀察者運(yùn)動(dòng)，筆者認(rèn)為首先其證明過程并不具有一般性，其次,該文作者簡單地認(rèn)為電磁波多普勒效應(yīng)和機(jī)械波多普勒效應(yīng)的定量表達(dá)式是截然不同的,難道沒有什么簡單易懂的方式可以得出電磁波多普勒效應(yīng)的頻移公式嗎？機(jī)械波多普勒效應(yīng)和電磁波多普勒效應(yīng)難道真的只有區(qū)別沒有聯(lián)系嗎？這就是本文要詳細(xì)探討的問題.

在得出機(jī)械波多普勒效應(yīng)頻移公式時(shí)，我們往往習(xí)慣以介質(zhì)系為參考系，頻移公式中的速度即指介質(zhì)系中的速度.而實(shí)際上，在多普勒效應(yīng)的問題中，我們對(duì)參考系選擇的余地很大，除了可以選擇介質(zhì)系，還可以選擇波源系以及觀察者系.筆者最近通過詳細(xì)計(jì)算發(fā)現(xiàn)，分別以介質(zhì)系、波源系、觀察者系為參考系時(shí)得出的結(jié)論是一致的.而在以觀察者系為參考系進(jìn)行計(jì)算時(shí)收到了意想不到的效果，令筆者真正體會(huì)到了物理學(xué)中的簡潔美與對(duì)稱美.本文主要通過計(jì)算形象具體地向讀者解釋4個(gè)典型的疑問：

(1)如何簡單、有效地推導(dǎo)出電磁波多普勒效應(yīng)頻移公式？

(2)為何電磁波多普勒效應(yīng)只與波源和觀察者之間的相對(duì)速度有關(guān)？

(3)什么是橫向、縱向多普勒效應(yīng)？

(4)電磁波多普勒效應(yīng)和機(jī)械波多普勒效應(yīng)有何潛在聯(lián)系？

下面為了方便我們暫時(shí)只討論波源和觀察者的速度在一條直線上的情形.

設(shè)波相對(duì)介質(zhì)的速度為v，方向向右，波源相對(duì)介質(zhì)的速度為vs，方向向右，觀察者相對(duì)介質(zhì)的速度為vr，方向向右，該波的固有頻率為f0，固有周期為T0.下面我們一反常態(tài)創(chuàng)新地以觀察者系為參考系，此時(shí)在得出觀察者接收的頻率時(shí)，為了方便理解，可以利用等效的思想，這樣一來便不難得到觀察者接收到的頻率

(1)

其中u有效為有效速度，λ有效為有效波長(也可以叫做表觀波長)，對(duì)式(1)進(jìn)行變形并結(jié)合相對(duì)論中的洛倫茲速度變換關(guān)系，取向右為正方向，則有

(2)

其中

為波相對(duì)觀察者的速度.由于v>vr，因此vwr方向向右，符號(hào)恒為“+”.vsr為波源相對(duì)觀察者的速度，有

當(dāng)vs>vr時(shí)，vsr方向向右，符號(hào)為“+”，當(dāng)vs

(3)

式(3)即為多普勒效應(yīng)的一般表達(dá)式，任何波的多普勒效應(yīng)都可以用此公式進(jìn)行計(jì)算.需要注意的是，上式表達(dá)的是一個(gè)矢量關(guān)系.下面我們具體來看一下以觀察者系為參考系帶來的方便(下面討論時(shí)取v,vs,vr皆大于零).

情況1:

如圖1所示，規(guī)定向右(v的方向)為正方向，則式(3)變?yōu)?/p>

(4)

圖1 情況1示意圖

情況2：

如圖2所示，規(guī)定向右(v的方向)為正方向，則式(3)變?yōu)?/p>

(5)

圖2 情況2示意圖

情況3：

如圖3所示，規(guī)定向右(v的方向)為正方向，則式(3)變?yōu)?/p>

(6)

圖3 情況3示意圖

情況4：

如圖4所示，規(guī)定向右(v的方向)為正方向，則式(3)變?yōu)?/p>

(7)

圖4 情況4示意圖

分情況討論：

(1)機(jī)械波多普勒效應(yīng)

不難看出對(duì)于一般的機(jī)械波而言，由于波源以及觀察者相對(duì)于介質(zhì)的速度都遠(yuǎn)小于真空中的光速c，因此可知式(4)～(7)中的

因此式(4)～(7)可分別回歸到

這便是在教學(xué)中常見的機(jī)械波多普勒效應(yīng)的頻移公式，一般我們習(xí)慣將這4種情況合并成一個(gè)表達(dá)式

可以看出機(jī)械波的多普勒效應(yīng)屬于一般多普勒效應(yīng)在低速情況下的經(jīng)典近似.

(2)電磁波多普勒效應(yīng)

根據(jù)上述表達(dá)式可以很容易地推出電磁波多普勒效應(yīng)的頻移公式.此時(shí)有v=c，式(3)中的

因此式(3)回歸到

這個(gè)公式也是大家非常熟悉的，在這里vsr可能大于零也可能小于零，若我們?cè)O(shè)|vsr|=v>0，則對(duì)于情況1,2,3,4來說，可以歸納合并成兩種情況，一種情況是波源和觀察者之間的距離逐漸減小的情形，由于vsr方向向右，因此可以得到

另一種情況是波源和觀察者之間的距離逐漸增大的情形，由于vsr方向向左，因此可以得到

由此可以看出觀察者接收到的真空中的電磁波的頻率僅與波源和觀察者之間的相對(duì)速度vsr有關(guān).

(3)對(duì)于電磁波來說，考察波源相對(duì)觀察者的速度與波源和觀察者的連線不在同一條直線的情況

設(shè)波源相對(duì)觀察者的速度vsr與波源和觀察者的連線所成的角度為θ，則此時(shí)可將vsr分解到波源和觀察者的連線方向上，即分解為vsrcos θ，則式(3)可寫為

可以看出當(dāng)θ=90°時(shí)

此即電磁波的橫向多普勒效應(yīng)，可以看出這是相對(duì)論效應(yīng)中時(shí)間膨脹的必然結(jié)果.當(dāng)θ角為零或180°時(shí)，即為光的縱向多普勒效應(yīng)；當(dāng)θ角為其他值時(shí)，不難理解，理論上不論是電磁波還是機(jī)械波，橫向多普勒效應(yīng)與縱向多普勒效應(yīng)是共同存在的，只不過強(qiáng)弱不同而已，而機(jī)械波由于忽略時(shí)間膨脹效應(yīng)，因此表觀波長不會(huì)因?yàn)椴ㄔ聪鄬?duì)觀察者的橫向運(yùn)動(dòng)而發(fā)生改變，而有效速度又沒有發(fā)生改變，因此才會(huì)導(dǎo)致其沒有橫向多普勒效應(yīng).

綜上所述，可以看出機(jī)械波多普勒效應(yīng)和電磁波多普勒效應(yīng)是可以統(tǒng)一起來的，二者只是不同情況下的兩種特例，這一切看似簡潔美妙的結(jié)論只有以觀察者系為參考系才能顯現(xiàn)出來.希望本文的討論可以澄清廣大物理教師對(duì)多普勒效應(yīng)的種種誤解.

1 沈瑞清．光波的多普勒效應(yīng)公式是什么．中學(xué)物理教學(xué)參考，2004(5)：19

宋輝武(1989- )，男，碩士，中教一級(jí)，主要從事中學(xué)物理教學(xué)及研究.

2016-07-13)